Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

0.511		0.2554		1.030		-0.497		3.419		31.539		59.500			-0.810		2.750		0.9280

0.555			0.2988	2.170			0.828	3.875			49.183		70.450			-0.897	2.935			0.9790

0.609			0.3552	2.500			-0.781	4.200			67.686		82.100			-0.954	3.150			0.9999

								Номера вариантов
	21				22				23					24				25

xi			yi	xi			yi	xi			yi		xi			yi	xi			yi
0.000		2.7183		0.100		-3.928		0.000		1.0000		0.500			0.9273		0.100		0.0905

0.425			2.4869	0.330			-3.743	0.175			0.9703		0.625			0.8938	0.300			0.2222

0.870			1.9057	0.519			-3.567	0.308			0.9133		0.800			0.8434	0.490			0.3002

1.395			1.1911	0.728			-3.344	0.514			0.7910		1.100			0.7573	0.730			0.3518

1.850		0.7591		0.997		-3.004		0.800		0.6098		1.450			0.6669		0.950		0.3674

2.410		0.4752		1.264		-2.598		0.996		0.5020		1.810			0.5890		1.200		0.3614

3.215		0.3689		1.513		-2.146		1.213		0.4046		2.250			0.5123		1.500		0.3347

3.397		0.3800		1.875		-1.332		1.456		0.3205		2.570			0.4668		1.710		0.3093

3.830			0.4620	2.011			-0.969	1.678			0.2621		3.000			0.4164	1.980			0.2734

				Номера вариантов
26			27		28		29		30
xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi
1.100	0.438	1.500	0.919	1.000	2.3198	0.000	0.540	0.125	0.9058
1.250	0.709	3.750	0.247	1.500	2.7115	0.479	-0.044	0.180	0.9310
1.400	0.169	5.120	-0.062	1.985	2.4979	0.896	-0.770	0.236	0.9540
1.575	-0.042	8.300	-0.519	2.470	1.8631	1.365	-0.715	0.291	0.9730
1.720	-0.148	11.450	-0.723	2.990	1.1630	1.700	0.690	0.347	0.9879
1.900	-0.318	17.900	-0.967	3.500	0.7041	1.915	0.876	0.400	0.9969
2.070	-0.461	21.680	-0.998	3.875	0.5120	2.148	-0.655	0.462	0.9999
2.310	-0.624	25.100	-0.997	4.218	0.4147	2.583	0.784	0.517	0.9944
2.500	-0.718	30.000	-0.967	4.500	0.3762	2.995	0.421	0.560	0.9839

3.13. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье и его реализация на ЭВМ

Задача интерполяции функции y = f (x) заданной таблично на сетке x0 < x1 <... < xn−1

тригонометрическим многочленом, решается во многом аналогично задаче полиномиальной интерполяции. Здесь обобщенный многочлен имеет вид

Φn (x) = n∑−1 ak exp(2πikx).	(3.13.1)
k =0

В инженерных задачах широко используется представление функций в виде сходящихся тригонометрических рядов, а также различные варианты преобразования Фурье. Задача тригонометрической интерполяции имеет некоторые особенности, например, для нее оптимальным является равномерное распределение узлов.

Известно, что абсолютно интегрируемая и кусочно-гладкая на конечных отрезках функция y = f (x) представима интегралом Фурье

f (x)= ∞∫	∞∫ f (u)exp(2πit(x −u))dudt .	(3.13.2)
−∞ −∞

Из этого соотношения легко получить преобразования Фурье в комплексной форме:

x , что легко проверяется непосредственно:

S(t)= ∞∫		f (u)exp(− 2πitu)du,	(3.13.3)
	−∞	∞

	f (x)=	∫S(t)exp(2πitx)dt.

		−∞

Эти преобразования играют большую роль в распознавании образов, в моделировании фильтров, описании изображений и в целом ряде других задач. Поскольку аналитическое вычисление интеграла (3.13.3) вызывает значительные трудности, большое распространение получили методы численной реализации этих интегралов. Был разработан метод дискретного преобразования Фурье, а в 1965 году Кули и Таки предложили так называемый алгоритм «быстрого преобразования Фурье» - БПФ.

Под дискретным преобразованием Фурье понимают пару преобразований, которые

устанавливают взаимосвязь между конечным числом дискретных выборок как функции
f (x), так и ее частотного спектра S(t). Эти преобразования записываются обычно в виде
S(tn ) =		x2∑N −1 f (xk )exp(− 2πitn xk ), n = 0,1,...,2N −1,	(3.13.4)
		k =0
		t2∑N −1S(tn )exp(2πitn xk ), k = 0,1,...,2N −1.
f (xk )	=	t2∑N −1S(tn )exp(2πitn xk ), k = 0,1,...,2N −1.
		n=0

Операцию преобразования набора значений f (x0 ), f (x1 ),..., f (x2 N −1 ) в набор значений частотного спектра S(t0 ), S(t1 ),..., S(t2 N −1 ) принято называть прямым дискретным преобразо-

ванием Фурье, а обратную функцию – обратным дискретным преобразованием Фурье. Осуществление этих операций является важной составной частью многих алгоритмов.

Рассмотрим подробнее функцию S(tn ) из уравнений (3.13.4). Оказывается, S(tn ) имеет период 1

2N −1

2 N −1

∑

S t +

f (x

)exp − 2πi t +

x = x

f (x

)exp(− 2πitk x) = S(t).

k =0

Здесь положено x0

= 0 и xk = k x . Из периодичности следует, что функция S(t) определяет-

ся заданием ее значений на промежутке длиной

, то есть выборки tn в соотношениях

(3.13.4) должны удовлетворять условию tn

< 1 2

x для всех n = 0,1,...,2N −1.

Если tn [0,

]= T

и S(tn ) = 0 , когда tn T , то интервал между узлами x необ-

ходимо выбирать из условия

2T x <1.

(3.13.5)

f (x)

Тогда функция

имеет ограниченный спектр частот, и возможно взаимное вос-

становление функций f (x) и S(t) по их значениям в конечном числе точек.

3.14. Матричная форма записи дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

Будем предполагать далее, что исходная функция f (x) имеет ограниченный спектр частот tn <T ; кроме того предположим, что задан конечный интервал изменения переменной x : 0 ≤ x ≤ X .

Очевидно,

x =

. Из условия (3.13.5) 2T

x <1 получаем условие на выбор числа

2N −1

N : 2T x = 2T

<1,

N >T X . Отсюда же T <

≤ 2T <

. Положив

t =

Кули (Cooly J.W.), Таки (Tukey J.W.) – американские математики.

получим (2N −1) t ≤ 2T <

t <

, где 2N −1

- число интервалов по множеству

2N −1

T . Следовательно,

xk = k

x = k

= n

t =

Тогда дискретное преобразование Фурье в точках xk и tn запишется в виде

X 2 N −1

S(tn )=

∑ f (xk

)exp −

ink , n

= 0,1,...,2N −1,

k =0

(3.14.1)

2N −1

f (xk )

∑

S(tn )exp

ink , k = 0,1,...,2N −1.

X n=0

Каждое из

равенств

(3.14.1)

можно

легко

получить

из

другого.

uk = f (xk ) и vn = S(tn )

умножим

n -е

уравнение

для S(tn )

2 N −1

−i

vn e

, n = 0,1,...,2N −1. При сложении

∑ uk e

k =0

ко вычисляются коэффициенты при uk ; действительно,

2 N −1

−i

2 N −1

−i

(k − j )

0, k

≠

∑ e

e N

∑ e

n=0

2N n=0

X , k =

2 N −1

−i

Пусть, например,

k ≠

и k − j =1,

тогда

∑ e

= 1 + e

n=0

Например					обозначим
			π
на		ei		jn .	Получим
			N
всех 2N равенств лег-
j,
j.
+ e−2i	π	+ ... +e−i				π(2 N −1)
	N					N =

1 − e−i

2 N

1 − e−2πi

= 1

= 0 .

Разделив

найденный

коэффициент на X , получим

1 − e−i

2 N −1

uk =

∑ vn ei N nk , то есть второе соотношение системы (3.14.1).

n=0

Дискретные преобразования Фурье можно записать еще короче в матричном виде.

f (x

)

S(t

)

−i

(x1 )

S(t1 )

Пусть q = e

и U =

, V =

u2N −1

f (x2 N −1 )

v2 N −1

(t2 N −1 )

L q2 N −1

W =

L q2(2 N −1)

L .

2 N −1

(2 N −1)

L q

(2 N −1)2

Тогда систему (3.14.1) можно переписать в следующем виде:

WU,

(3.14.2)

U =

W −1V.

1			1		1	L	1
	1		q−1		q−2	L q−2 N −1
	1		q−1		q−2	L q−2 N −1
Здесь W −1 =	1		q−2		q−4	L q−2(2 N −1)		. Очевидно из (3.14.2), что для непосредст-

L			L		L	L	L
	1	q	−2 N −1	q	−2(2 N −1)	L q	−(2N −1)2
	1	q		q		L q

венного перемножения матриц W и U требуется 2N (2N −1)≈ (2N )2 операций комплексного

умножения и сложения.

Разработанный Кули и Таки алгоритм БПФ использует факт, что, если число 2N не является простым, количество арифметических операций, требуемых для вычисления по

формулам (3.14.2), можно существенно уменьшить. Если 2N = r1 r2 ... rn , где rk -	целые
числа, то матрицу W можно представить в виде произведения n матриц W1 ,W2 ,...,Wn	поряд-

ка 2N ×2N таких, что у каждой матрицы Wk имеется только rk 2N отличных от нуля элементов. Тогда

V =	X	W	n	W	n−1	... W	2	W U	(3.14.3)

	2N							1

Если теперь найти алгоритм, по которому умножение матриц Wk									осуществляется

только путем rk 2N операций (отбрасываются умножения на нули), то для выполнения преобразования (3.14.3) потребуется (r1 + r2 +...+ rn ) 2N операций. Это число может быть при

больших значениях 2N значительно меньше, чем исходное число операций (2N )2 . Особенно эффективным этот алгоритм является тогда, когда 2N является степенью числа два. В

этом случае вместо (2N )2 операций требуется выполнить лишь			2N log2 2N операций.	На-
пример, для 2N =1024 = 210 этот алгоритм позволяет			ускорить вычисления	в
	2N	= 1024 ≈ 50 раз. Программы, реализующие различные варианты этого алгоритма,
	2N log2 2N
	2N log2 2N	20

входят в стандартное математическое обеспечение ЭВМ и доступны массовому пользователю.

3.15. Алгоритм реализации ДПФ

Рассмотрим один из способов разложения матрицы W в случае 2N = 2n и приведем

алгоритм для выполнения соответствующих вычислений. Разложим матрицу W на						n со-
множителей W ,W ,...,W	n	таких, что каждая из матриц	W ,k =1,2,...,n содержит 2n+1			отлич-
1 2	n		k		= (c(m)), i, j =1,2,...,2n .
ных от нуля элементов. Пусть с(m) - элементы матрицы			W	, то есть W	= (c(m)), i, j =1,2,...,2n .
		i, j	m	m	i, j

Тогда один из алгоритмов дискретного преобразования Фурье, не изменяющий порядок че-

редования компонент результирующего вектора

V =

W U , определяется следующим

образом:

−i

q = e

N , i = 0,1,...,2n−m −1,

μ =1,2,...,2m-1 ,

(m)

=1,

ci 2m +μ,i 2m−1+μ

1, ci 2m +2m−1+μ,i 2m−1+μ

c(mm)

= q(μ−1)2

n−m

(3.15.1)

n−1

+i 2

m−1

i 2 +μ,2

+μ

= −q(μ−1)2n−m ,

c(m)

i 2m +2m−1+μ,2n−1+i 2m−1

+μ

ci(,mj ) = 0 для всех остальных пар индексов i, j .

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf