Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

				f / (0.2)=					f (0.4)− f (0.0)								=	1.49182 −1.00000				= 1.22955,

									0.4				(0.2)							0.4
									0.4											0.4
				f / (0.4)=					f (0.6)−			f					=	1.82212 −1.22140				= 1.50180,
				f / (0.4)=					0.4				(0.4)				=			0.4		= 1.50180,
									0.4											0.4
				f / (0.6)=					f (0.8)−			f					=	2.22554 −1.49182				= 1.83430,
				f / (0.6)=					0.4				(0.6)				=			0.4		= 1.83430,
									0.4											0.4
				f / (0.8)=					f (1.0)−			f				=		2.71828 −1.82212				= 2.24040.
				f / (0.8)=					0.4							=				0.4		= 2.24040.
									0.4											0.4
	Сведем значения производной в таблицу, подобную исходной таблице задания функ-
ции:
		x	0.0					0.2					0.4							0.6		0.8	1.0


		f / (x)	1.10700				1.22955					1.50180							1.83430		2.24040		2.46370

		r(x)	-0.10700				-0.00815					-0.00998							-0.01218		-0.01486		0.25458
r(x) в данном случае легко вычисляется, так как																				f / (x)= ex	= f (x). Погрешности можно бы-
ло бы вычислить и по приведенным формулам для r(x, h). Например, в точке
		x = 0.0		r	≤	1	M	2	h =	1	max			ex	h =			1	e0.2	0.2 = 0.5 0.2 1.22140 = 0.12214.



				x=0	2				2 [0, 0.2]									2
					2				2 [0, 0.2]									2

4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях, когда возникает необходимость вычисления ∫ f (x)dx

и первообразной не существует, приходиться интеграл считать численно. Наиболее широко на практике используются квадратурные формулы - приближенные равенства вида

		b	N	~	(4.5.1)
				~
		∫ f (x)dx ≈ ∑Ai f (xi ),
	~	a	i=0
где	~	- некоторые точки из отрезка [a, b] - узлы квадратурной формулы (4.5.1), Ai			- число-
где	xi				- число-
вые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, N ≥ 0 - целое число. Сумма

N	~
	~
∑Ai f (xi ), которая принимается за приближенное значение интеграла, называется квадра-
i=0
турной суммой.
	b	N	~
			~
	Величина R = ∫ f (x)dx − ∑Ai f (xi ) называется погрешностью или остаточным чле-
	a	i=0

ном квадратурной формулы. Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из геометрической интерпретации определенного интеграла:

y	N	1	y	N 3
	i−	2		2
		2		2
			N 1	N	1
			2	n−	2
			2		2

112

xi−1

xi−

a = x0

x2 ...

xn−2 xn−1

xn = b

Будем интерпретировать интеграл I = ∫ f (x)dx

как площадь криволинейной трапеции, огра-

ниченной графиком функции

y = f (x)a

(f (x)> 0),

осью абсцисс и прямыми

x = a и x = b.

Разобьем отрезок [a, b]

на элементарные отрезки [xi−1 , xi ] точками

a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Интеграл I

представится таким образом:

I = ∑Ii ,

= ∫ f (x)dx.

(4.5.2)

i=1

xi−1

= f (xi

), f

xi−1 + xi

Введем обозначения: fi

где

1 =

, h = const.

1 = f x

1 ,

i−

Формула центральных прямоугольников. Заменим приближенно площадь элемен-

тарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является

отрезок [xi−1 , xi ], а высота равна значению

i−

1 . Тогда сразу получается элементарная квад-

по всему отрезку [a, b], получим

ратурная формула прямоугольников Ii

≈ hf

i−

1 . Суммируя Ii

f 5

+... + f

1 .

(4.5.3)

I ≈ Iпрям

= h f 1 + f 3 +

= h∑ f

n−

i=1

i−

n−1	n
Совершенно аналогично можно получить формулы I ≈ h∑ fi	и I ≈ h∑ fi , которые назы-
i=0	i=1

ваются квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Их точность O(h), тогда как точность формулы (4.5.3) O(h2 ).

Формула трапеций. Соединив точки Ni−1 (xi−1 , fi−1 ) и Ni (xi , fi ), получим формулу

Ni−1

Формула парабол

y = P2 (x)

Ni−12

Ni−1

(Симпсона

трапеций. Заменим площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. То-

гда Ii ≈ h

(fi−1 + fi ), а итоговая формула примет вид

I ≈

Iтрапh = h

f1 + f2

+... + fn−1

+ f

n−1

= h

+ ∑ fi .

(4.5.4)

i=1

). Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной

под	параболой, проходящей через точки
Ni−1	, N	1 , Ni , то получим приближенное равенст-
	i−
	i−	2
		2

	во Ii ≈	x∫i P2 (x)dx, где P2 (x) - интерполяционный
y = f (x)		xi−1
y = f (x)	многочлен второй степени с узлами xi−1		, x	1 , xi .
			i−
			i−	2
				2

xi−1	x			Для этих точек справедлива формула
xi−1	x	1	xi
	i−
	i−	2
		2

Томас Симпсон (1710-1761) - английский математик.

113

P (x)= f				f		− f							fi − 2 fi−			1		+ fi−1							2
				f	i	− f	i−1						fi − 2 fi−					+ fi−1
		1	+		i		i−1	x − x		1	+					2				x − x				1	.	(4.5.5)
			+					x − x			+				2					x − x					.	(4.5.5)
2	i−					h			i−					h	2								i−

		2								2														2
		2								2		2												2
												2
												(xi−1 ), f													= P2 (xi	). Кроме того,
Действительно, легко проверить, что									fi−1	= P2							1					1	,	fi
Действительно, легко проверить, что									fi−1	= P2					i−		1		= P2 x		i−	1	,	fi

																	2					2

формула (4.5.5) относительно x представляет уравнение второй степени. Подставим теперь

точки xi−1 ,

1 ,

в уравнение (4.5.5). Получим

i−

− f

2 fi

− 2 fi−

fi−1 h2

i−1

P (x

i−1

)= f

−

= f

−

− f

= f

i−1

i−

− 2 f

1 +

fi − fi−1

2 fi

fi−1

P (x

)= f

h +

i−

= f

−

− f

= f

i−

Таким образом, точки xi−1 ,

xi−

, xi параболы P2 (x)

удовлетворяют уравнению (4.5.5).

Проинтегрируем полученную формулу по отрезку [xi−1 , xi ]. Тогда

(x)dx = hf

fi − fi−1

fi − 2 fi

−

1 + fi−1

∫

− x

dx +

∫

− x

dx = hf

i−

−

i−

xi−1

− x

x − x

i−

− 2 f

+ f

−

−1

i−

i−1

−1

− f

i−1

= hf

1 +

−

i−

fi − 2 f

+ fi−1

i−

= hf

−

i−1

+ 4 f

24 24

i−

3 i−

i−

Применяя полученную формулу на каждом элементарном отрезке, получим квадратурную формулу парабол (Симпсона)

I ≈ Iпарабh =	h		+	n			n−1	(4.5.6)
	6	f0		fn + 4∑ f	i−	1	+ 2∑ fi .
				i=1		2	i=1

4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул

Теорема 4.1. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на [a, b]. Тогда для формул (4.5.3) и (4.5.4) справедливы следующие оценки погрешности:

I − Iпрямh	≤	M 2	(b − a)h2	,	(4.6.1)

		24

		114

I − I трапh

≤

M 2

(b − a)h2 .

(4.6.2)

Доказательство

Получим, например, формулу (4.6.1). По определению погрешности

R = ∫ f (x)dx − h∑ f

1 =

∑ ∫

f (x)−

1 dx.

i=1

i−

i=1

xi −1

i−

С другой стороны, по формуле Тейлора

f (x)=

f // (ζ)

где x [x

ζ (x

+ f

/ x

x − x

i−1

, x

i−1

, x

i−

f // (ζ)

Тогда Ri =

∫

dx =

f (x)− f x

dx =

x − x

−

i−

x −

i−

(ζ)

M 2

− x

∫

− x

dx ≤

∫

− x

∫

1 dx

1 dx =

i−

xi−1

i−

xi−1

i−

xi−1

i−

x − x

h3 .

i−

6 8

i−1

M 2 (b − a)

Но (b − a)= nh, следовательно, R = R n ≤

M 2

h2 n b − a =

h2 .

Аналогично выводит-

ся и формула (4.6.2).

y = f (x)

[a, b] непрерывную четвертую

Теорема 4.2. Пусть функция

имеет на

производную. Тогда для формулы (4.5.6) справедлива следующая оценка:

I − Iпарабh

≤

M 4 (b − a)

h4 .

(4.6.3)

2880

cos(0.4x2 +1)

Пример. Вычислить интеграл ∫

dx по формулам прямоугольников,

2.3 + sin(1.5x + 0.3)

0.5

трапеций и парабол и оценить погрешность вычислений.

	i				xi

	0				0.50

	1/2				0.55

	1				0.60

	3/2				0.65

	2				0.70

	5/2				0.75

	3				0.80

	7/2				0.85

	4				0.90

	9/2				0.95

	5				1.00

0.4x 2 +1	числитель	1.5x + 0.3	знаменат.	yi

1.100	0.453596	1.050	3.167423	0.143207

1.121	0.434782	1.125	3.202268	0.135773

1.144	0.413957	1.200	3.232039	0.128079

1.169	0.391072	1.275	3.256570	0.120088

1.196	0.366083	1.350	3.275723	0.111756

1.225	0.338946	1.425	3.289391	0.103042

1.256	0.309623	1.500	3.297495	0.093896

1.272	0.294370	1.575	3.299991	0.089203

1.324	0.244299	1.650	3.296865	0.074100

1.361	0.208261	1.725	3.288134	0.063337

1.400	0.169967	1.800	3.273848	0.051917

115

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf