Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

1132

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3.8. Лабораторная работа №5. Экономизация степенных рядов

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Говорят, что многочлен Pn (x) при-
ближает функцию f (x) равномерно на отрезке [a, b] с точностью ε, если
(P	)= max	f (x)− P (x)		≤ ε .	(3.8.1)

n	[a, b]		n

Можно поставить и решить задачу нахождения многочлена Qn (x), для которого величина
погрешности равномерного приближения ε			минимальна.		Эта задача называется задачей о

наилучшем равномерном приближении. Теоретически доказано, что для любой непрерывной на [a, b] функции многочлен наилучшего равномерного приближения степени n существует

и он единственный.

В большинстве практических случаев задача о наилучшем равномерном приближении функции f (x) очень трудна и требует применения специально разработанных численных методов. Если же ограничиться заданной точностью ε , то можно построить многочлен, близкий к наилучшему в следующих двух случаях.

1. Если для функции f (x) ее n +1-я производная f (n+1)(x) медленно меняется на от-

резке [a, b], то интерполяционный многочлен Pn (x) с узлами, расположенными в нулях многочлена Чебышева Tn (x), близок к многочлену наилучшего равномерного приближения (см. пример в подразд. 3.7).

2. Если функция f (x) представлена на отрезке [a, b] равномерно сходящимся степен-

ным рядом
f (x) = ∑∞ ak xk ,	(3.8.2)
k =0

то на основе этого ряда можно построить многочлен минимальной степени, равномерно приближающий функцию f (x) на отрезке [a, b] с заданной точностью ε .

Рассмотрим вторую задачу более подробно. Метод ее решения называется экономизацией степенных рядов.

Пусть Pn (x)= an xn + an−1 xn−1 +... + a0 - многочлен степени n ≥1, представляющий собой отрезок ряда (3.8.2) на стандартном отрезке [−1,1]. Аппроксимируем этот многочлен много-

членом на единицу меньшей степени Qn−1 (x) наилучшего равномерного приближения. Их

разность многочлен Rn (x)= Pn (x)−Qn−1 (x) должен удовлетворять условию

max

(x)

min .

(3.8.3)

[−1,1]

(x)=

T (x), для

Как показано в подразд. 3.6, решением этой задачи является многочлен R

2n−1

которого max

(x)

. Тогда многочлен наилучшего равномерного приближения имеет

[−1,1]

2n−1

вид Q

(x)= P (x)−

(x).

(3.8.4)

n−1

2n−1

Практически сначала берут отрезок ряда (3.8.2) Pn (x)= ∑ak xk , аппроксимирующий

k =0

функцию f (x) с точностью ε0 < ε . Далее степень многочлена понижают на единицу по опи-

санной процедуре. Если погрешность понижения степени P (x), равная	ε	1	=	an	, такова, что


n

2n−1

ε0 +ε1 < ε, то многочлен Pn (x) заменяется многочленом (3.8.4). Затем степень Qn−1 (x) снова

понижают и так до тех пор, пока ε0 + ε1 + ε2 +... + εi < ε . Процесс останавливают, когда оче-

редное i +1- е понижение степени дает ε0 + ε1 + ε2 +... + εi+1 > ε. В этом случае f (x)≈Qn−i (x). Пример. Найти многочлен минимальной степени, аппроксимирующий интеграл ве-

роятности erf

(x)=

−t2 dt

на отрезке [−1,1] с точностью ε =1.5 10−3.

∫e

Интегралом вероятностей называют функцию y = erf (x) =

2 ∫e−t 2 dt =

π 0

∞

2k −2

2x 1 − x

+ x

− x

+ ...

2x ∑

< ∞.

1! 3 2! 5 3! 7

(k −1)!(2k −1)

(3.8.5)

π k 1

Это знакопеременный ряд, поэтому погрешность приближения по признаку Лейбница оце-

нивается величиной ε0 , равной модулю первого отброшенного члена ряда.

Выберем k = 5,

то есть оставим в ряду (3.8.5) пять членов. Тогда если

≤1, то

−4

P9 (x)

ε0 =

≈ 8.5 10

. Таким образом, многочлен

−

5! 11

1 −

1! 3

2! 3

3!7

4! 9

аппроксимирует функцию y = erf (x) с точностью ε0

≈ 8.5 10−4 .

Понизим степень этого многочлена на единицу по формуле (3.8.4):

Q8 (x) = P9

(x)−

T9 (x) = 2x

− 2x3 +

2x5

− 2x7

2x9

−

(256x9 − 576x7 +

10 π

216 π

216

π 28

3 π

42 π

+ 432x5 −120x3 +9x). Здесь a9 - коэффициент при x9

в формуле (3.8.5), а многочлен Чебы-

шева T9 (x) посчитан по рекуррентной формуле (3.5.6). Поскольку и исходный многочлен P9 (x), и многочлен Чебышева T9 (x) содержат лишь нечетные степени аргумента, то в ре-

зультате проведенной процедуры степень исходного многочлена понизится на две единицы. В результате получим

				Q7 (x)=					1	6143			x	−		763			x	3		+		59			x	5		−		3			x		7						(3.8.6)
				Q7 (x)=						3072			x	−	1152				x			+		320			x			−	112				x		.						(3.8.6)
									π	3072					1152									320							112
		Понижение степени многочлена														P9 (x)					сопровождается дополнительной погрешно-
стью		(3.8.3) ε1 =		a9		=			2			≈		1				= 0.2 10−4 . Тогда																ε0			+ ε1 = 8.7 10−4 < ε , то есть
стью		(3.8.3) ε1 =		28		=			π	28		≈	49005					= 0.2 10−4 . Тогда																ε0			+ ε1 = 8.7 10−4 < ε , то есть
				28		216			π	28			49005
многочлен наилучшего равномерного приближения Q7 (x)																															обеспечивает заданную точность
аппроксимации.
		Возможно ли дальнейшее понижение степени? При этом величина дополнительной
погрешности будет ε2 =							a7/		=			3					≈ 2.3 10							−4		. Суммарная погрешность возрастет до
погрешности будет ε2 =							26		=			π 26					≈ 2.3 10									. Суммарная погрешность возрастет до
							26		112			π 26
ε0	+ ε1 + ε2 =1.1 10−3					< ε, поэтому возможно дальнейшее понижение																																			степени многочлена
Q7	(x).
		Итак, по формуле (3.8.4)
Q5		(x)= Q7 (x)−	a7/			T7 (x)=			1	6143				x	−			763			x	3	+			59		x		5	−			3			x	7		+	3		×
											3072						1152								320								112
			2		6																																				112 π	26
			2		6				π																																112 π	26
		× (64x		7	−112x			5	+ 56x		3	− 7x)			=			1			3067					x	−		23		x		3	+		11			x	5	=
		× (64x			−112x				+ 56x			− 7x)			=						1536					x	−		36		x			+		80			x		=		(3.8.7)
																		π			1536								36							80							(3.8.7)

= 1.126543x − 0.360454x3 + 0.077576x5 .

Дальнейшее понижение степени многочлена наилучшего равномерного приближения

в пределах заданной точности					ε =1.5 10−3	невозможно, ибо ошибка при таком понижении
составит:	ε3	=	11	≈ 4.8	10−3 . Тогда	ε0 + ε1 + ε2 + ε3 ≈ 6.0 10−3 > ε . Поэтому реше-
		80	π 24

нием задачи является многочлен (3.8.7).

Выполним теперь эти же действия средствами пакета Mathcad, при этом, как и в лабораторной работе №2, воспользуемся меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню содержит операции символьной математики. Пункт Evaluate (Вычислить) содержит три опе-

рации: Symbolically (Символьно), Floating Point (С плавающий запятой) и Complex (Ком-

плексное).

Строкой Simplify (Упростить) мы уже пользовались во второй лабораторной работе. Совершенно аналогично после щелчка по Expand (Развернуть) в выделенном выражении раскрываются скобки, после щелчка по кнопке Factor (Разложить на множители) выделенное выражение раскладывается на множители, наконец, результатом щелчка по кнопке Collect (Собрать) является приведение подобных членов в выделенном выражении.

Итак, наберем в рабочем документе

ORIGIN :=1
P9(x):= 2	x		−	x2	+	x4	−	x6	+	x8
P9(x):= 2	π	1	−	3 1	+	5 2	−	7 6	+	9 24
	π			3 1		5 2		7 6		9 24

После щелчка по кнопкам Symbolics→Expand ниже определенной функции появится выражение

2	x	−	2	x3	+	1	x5	−	1	x7	+	1	x9	.
	π		3	π		5	π		21	π		108	π

Числовые коэффициенты этого выражения можно представить в десятичной форме. Для этого выберем операции с плавающий запятой: Symbolics → Evaluate→Floating Point. Появится дополнительное меню:

Зададим в маленьком окошечке этого меню, например, девять значащих чисел после запятой. После щелчка по кнопке OK в рабочем документе появится выражение исходного многочлена в виде

1.12837917 x −0.37612639 x3 + 0.112837917 x5 −0.0268661707 x7 + 0.00522397763 .

Для вычисления многочленов Чебышева в пакете Mathcad имеются две функции: Tcheb(n,x) и Ucheb(n,x). К сожалению, они становятся встроенными в Mathcad лишь после подгрузки соответствующего электронного учебника. В меню Insert (Вставить) имеется кнопка подменю Function (Функция), которая открывает окно диалога списка встроенных функций пакета. В этом списке Tcheb и Ucheb отсутствуют.

Однако многочлены Чебышева определяются разными способами (см. формулы (3.5.3) – (3.5.8)). Среди них есть очень простые и легко программируемые определения. Воспользуемся, например, формулами (3.5.3) и (3.5.8).

Введем с клавиатуры

T 9(x):=	1	(x +	x2 −1)9 + (x −	x2 −1)9
	2

Выделим введенное выражение правым нижним синим углом, тогда после нажатия клавиш

Symbolics→Expand получим

256 x9 −576 x7			+ 432 x5		−120 x3 + 9 x
Далее	9				Γ(9 − m)
T 99(x):=		∑4 (−1)m				(2 x)9−2 m
	2			Γ(m	+1) Γ(9 − 2 m +1)
		m=0

Здесь Γ(n +1)= n!-гамма–функция, имеющаяся в окне диалога списка встроенных функций

под именем Gamma. Аналогично, после нажатия клавиш Symbolics→Evaluate →Symbolically будет получено то же выражение:

256 x9 −576 x7 + 432 x5 −120 x3 +9 x

Выполним следующие действия лабораторной работы:

ε0 :=	2	Γ(6)	ε0 = 8.548 10	−4 ε1 :=	2		ε1 = 2.041 10−5
	π 11				π 216	2
							8

Q7(x):= P9(x)− ε1 T 9(x)

Symbolics→Expand

30726143 xπ −1152763 xπ3 + 32059 xπ5 −1123 xπ7 Symbolics→Evaluate→Floating Point

1.12819551 x −0.37367765 x2 + 0.104022455 x5 −0.015112221 x7

α1 := ε0 + ε1		α1 = 8.752 10−4
α2 := α1 + ε2		α2 =1.111 10−3
T 7(x):= 1	(x + x2 −1)7 + (x −
2

Symbolics→Expand

64 x7 −112 x5 + 56 x3 − 7 x

Q5(x):= Q7(x)+ ε2 T 7(x)

ε2 :=	3	ε2 = 2.361 10−4
	π 112 26

x2 −1)7

Symbolics→Expand

3067		x	−	23		x3	+	11	x5
1536		π		36		π		80	π

Symbolics→Evaluate→Floating Point
1.12654261 x − 0.360454457 x3 + 0.0775760678 x5
ε3 :=		11				ε3 = 4.849 10−3
	80		π 24

α3 := α2 + ε3					α3 = 5.96 10−3

Задание №1. Для приведенных функций f (x) построить многочлен наилучшего равномерного приближения на отрезке [−1,1], выбрав число членов исходного аппроксимирующего полинома по заданной точности ε:

f (x)= sin x = ∑∞ (−1)k

x2k +1

< ∞, ε =10−3.

k =0

(2k +1)!

f (x)= cos x = ∑∞ (−1)k

x2k

< ∞, ε =10−3.

k =0

(2k )!

f (x)= tg x = x +

125762

x5 +

x7 +

x11 +...,

315

2835

14189175

ε = 5 10−4.

4. f (x)= ctg x =

−

+...,

< π,

945

4725

93555

ε =10

−4.

5.f (x)=

6.f (x)=

7.f (x)=

8.f (x)=

9.f (x)=

sec x = 1 +	x 2	+	5	x4 +	61	x6 +	277	x8 +	50521	x10 + ...,	x	<	π	,


2			24		720		8064		3628800				2

					ε = 1.5 10−3.

cosecx =

7 x3

5 +

127

511

x9 + ...,

< π,

360

15120

604800

23950080

ε = 10−4.

∞

x2k +1

shx = x +

+... + ∑

+...,

< ∞,

ε =10−3.

(2k +

1)!

k =0

∞

x2k

ch x =1 +

+... + ∑

+...,

< ∞,

ε =10−3.

(2k )!

k =0

th x = x −

x5 −

x7 +

9 −

125762

x11 +...,

315

2835

14189175

ε = 5 10−4.

f (x)= cth x =

x5 −

x7 +

10.

−

+...,

< π,

945

4725

93555

ε =10−4.

f (x)= sec hx =

1 −

−

1385

x8 −

50521

x10

+...,

ch x

11.

10!

π , ε =1.5 10−3.

12.

f (x)= cschx =

−

7 x3

−

127

−

511

+...,

sh x

360

15120

604800

23950080

< π,

ε =10−4.

(−1)k

13.

f (x) =

arctg

ln 1 + x

2 + x 2

= ∑∞

x 4k +1 ,

1 − x 2

2 + x 2

1 − x

k =0 4k +1

≤ 1,

ε = 10−3.

3 + x2 =

(−1)k

14.

f (x)=

1 arctg x +

1 arctg

ln 1 + x

∑∞

x6k +1

− x2

1 − x

3 + x2

k =0 6k +1

≤ 1, ε = 1.5 10−3.

15.

f (x)= x + (1 − x)ln(1 − x)= ∑∞

xk +1

≤1, ε =10−3.

k =1 k(k +

16.f (x)=

17.f (x)=

18.f (x)=

19.f (x) =

(1 − x2 )ln(1 − x)= ∑∞

xk +2

≤1, ε =10−3.

2 4 2

k =1 k(k +

3x2

−

(1 − x2 )ln(1 − x)= ∑∞

xk +2

≤1, ε = 5 10−4.

2 2

k =1 k(k +1)(k + 2)

[11x3 −15x2 + 6x + 6(1 − x)3 ln(1 − x)]= ∑∞

xk +3

2)(k + 3)

≤1, ε =10−4.

k =1 k(k +1)(k +

(k!)

+ 4x(4 − x2 )−

arcsin

∑∞

x2k ,

< 2, ε = 10−3.

4 − x2

k =0 (2k )!

∞

20. f (x)= 4(4 − x2 )−

arcsin

= ∑

(k!)

x2k +1 ,

< 2, ε =10−3.

(2k +1)!

k =0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151 Мб120Matlab.doc
#
26.03.20158 Мб1132шапорев выч мат.pdf