5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

5	5.375470	0.320293	0.811308	-0.051321
6	4.703964	0.461342	0.886644	-0.032067
7	5.425668	0.404845	0.914362	0.006624
8	5.085983	0.439969	0.897778	-0.020557
9	5.298928	0.417814	0.908526	-0.002034
10	5.171134	0.431704	0.901906	-0.014094
11	5.251758	0.422957	0.906120	-0.007328
12	5.226316	0.426272	0.904522	-0.011520
13	5.216012	0.426340	0.904508	-0.009965
14	5.220049	0.426316	0.904519	-0.009929
15	5.219940	0.426331	0.904513	-0.009940
16	5.220039	0.426322	0.904517	-0.009933

Видно, что при вычислении по формуле Кардано не достигнута даже точность ε = 10−3 , так как λ 1≈ 5.220 , а не 5.242, как в предыдущем примере. Главный недостаток этого мето-

да - медленная сходимость, пропорциональная λ 2 λ 1 .

	Для вычисления следующего собственного числа можно использовать сдвиг на
	~
σ = λ 1	. После сдвига рассматривается матрица A = A − σ E , собственными числами кото-

рой являются числа λ i − σ. В этом случае число λ 1− λ 1 будет минимальным по модулю,

следовательно, степенной метод даст другое число, например, λ 2 − λ 1 , сдвиг					которого
максимален.
5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций
Если найдено достаточно точное приближение λ j к собственному числу λ j , то, ка-
залось бы, можно вычислить		j из уравнения по определению
	e
		(A − λ j E)		j = 0.	(5.14.1)
			e
Однако из-за приближенности λ j матрица A − λ j E будет плохо обусловленной,					но невы-

рожденной и, следовательно, e j = 0. Таким образом, уравнение (5.14.1) мало подходит для

определения e j .

В методе обратных итераций приближения к собственному вектору определяются как последовательные решения системы уравнений

(A − λ j E)				(k +1) =			(k ),
(A − λ j E)			y	(k +1) =		x	(k ),

					(k +1)
		(k +1) =		y	(k +1)
						,
	x

					(k +1)
				y	(k +1)
				y

причем в качестве

(0)

берут любой ненулевой вектор, например,

(0)

= (1,1,...,1)T .

Рассмотрим

(0)

(1)

в виде

разложения по базису

из

собственных

x(0)

= ∑ci ei , y(1) = ∑α i ei .

Тогда

(A − λ j E)y(1)

= (A − λ j E)∑α i ei

= ∑α i (λ i − λ

i=1

...

как в базисе {e

i }in=1

λ 2

A =

...

. Система (5.14.2) преобразуется к виду

...

λ n

(5.14.2)

векторов

j )ei , так

146

(1)

∑α i (λ i − λ

j )ei

= ∑ci ei ,

то

есть α i (λ i − λ

)= ci ,

α i

. Отсюда

= ∑α i ei

− λ

i=1

− λ j

= ∑

e j

+ ∑

.Если

достаточно близко

то

− λ

i=1 λ

i≠ j

− λ

λ j − λ j

λ i − λ j

для всех i ≠ j

и второе слагаемое в скобке, то есть ∑

ci e , бу-

− λ

i≠ j

(1)

c j

(1)

дет мало. Тогда

≈

e j = ke j

то есть векторы

и e j будут почти коллинеар-

− λ

ными. Тогда вектор

(k )

будет сходиться к

по направлению со скоростью геометрической

− λ

прогрессии со знаменателем

q = max

. Чаще всего q << 1 и метод сходится очень

− λ

i≠ j

быстро.

Практически метод обратных итераций используют вместе с отношением Релея:

(k )= ρ (x

(k ) )= (A

(k ),

(k ) ), k ≥ 0,

(A − λ (k )E )

(k +1) =

(k ),

(5.14.3)

(k +1)

(0 )

, x

= 1.

(k +1)

(0)

= (1,1,1)T

Пример. Найдем

для матрицы из предыдущего примера, положив

приняв λ 1= 5.220.

− 4.220y1 + 2 y2

+ y3 =1,

Запишем систему из (5.14.3) при k = 0 :

9 y1 − 4.220y2

+ 2 y3 =1,

Решим ее

2 y1

− y2 − 5.220y3=1.

методом Гаусса с выбором главного элемента:

9.000000y1 − 4.220000y2

+ 2.000000y3

=1.000000,

0.021289 y2

+1.937778y3

=1.468889,

− 0.062222 y2

− 5.664444 y3= 0.777778.

9.000000y1 − 4.220000y2 + 2.000000y3

=1.000000,

− 0.062222 y2 −5.664444 y3= 0.777778,

3.097 10

−6

=1.734963.

Отсюда

= 560207.58,

= −6153.83,

264043.38. Наконец, нормируя вектор

(1), по-

0.426327

лучим e1

= x1 =

0.904514

− 0.009936

147

5.15. Лабораторная работа № 10. Вычисление собственных значений (чисел) и векторов матриц

К настоящему времени имеется много различных алгоритмов решения проблемы собственных значений. Все они эффективны, но достаточно сложны и трудоемки. К наиболее простым методам нахождения собственных чисел относится степенной метод. К сожалению, им можно определить лишь два максимальных по модулю собственных значения.

Также довольно простой метод обратных итераций, очень похожий на степенной по алгоритму, позволяет находить собственный вектор, соответствующий заданному собственному числу. Это итеративный метод, он дает приближение к собственному вектору, сходящееся к нему по направлению. Следует заметить, что при вычислении собственных векторов имеется определенный произвол. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие определенному собственному числу, образуют линейное пространство. Различные способы вычисления собственных векторов дают разные базисы этого пространства и, следовательно, разные координаты собственных векторов, удовлетворяющих, однако, основному определению собственного вектора Ax = λ x .

В среде Mathcad собственные значения и векторы находятся функциями eigenvals, ei-

genvec, eigenvecs, genvals и genvecs. Рассмотрим их все по порядку.

Встроенная функция eigenvals(A) вычисляет вектор собственных значений матрицы

A , функция genvals – вектор обобщенных собственных значений															λi	матрицы	A ,
удовлетворяющий условию

				Ax		= λi N x ,										(5.15.1)
где N - матрица с действительными элементами. Если задать N = E , то результаты работы
этих двух подпрограмм будут одинаковыми.
Введем с клавиатуры начало программы
1 1 2 3																1 0 0 0
	0		2 2		4											0 1 0 0
ORIGIN := 1 A :=	0		2 2		4		TOL = 10−3	E		:= identity(4) E =						0 1 0 0
																0 0 1 0
	0 0 1 − 2															0 0 1 0
	0 0 0 2															0 0 0 1
	0 0 0 2										1					0 0 0 1
			1								1
			2								2
c := eigenvals(A) c =			2	c1 := genvals(A, E) c1 =							2
c := eigenvals(A) c =				c1 := genvals(A, E) c1 =								.
			1								1
			1								1
			2								2
			2								2
Аналогично вычисляются и собственные вектора, соответствующие заданным собст-
венным числам:		− 0.643												0.643
		− 0.643												0.643

v := eigenvec(A, c ) v =		− 0.685					v1 := eigenvec(A, c		2	)		v1 =		0.737
1			0.343						2					− 0.187
			0.343											− 0.187
				0										0.093
				0										0.093
Эти вектора удовлетворяют основному определению
Эти вектора удовлетворяют основному определению												Ax	= λ x (см. ниже). Функции

eigenvecs и genvecs также дают все нормированные собственные векторы заданной матрицы. Координаты собственных векторов расположены по столбцам результирующей матрицы, порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных чисел,

148

возвращаемых функциями eigenvals и genvals. Однако в данном случае собственные векторы относятся к иному базису линейного пространства и имеют другие координаты.

	− 0.643			− 0.643			1.287		1.287
	− 0.685			− 0.685			1.473		1.473
A v =	− 0.685	c	v =	− 0.685	A v1	=	1.473	A v =	1.473
A v =		c	v =		A v1	=		A v =
	0.343	1		0.343
	0.343			0.343			− 0.373		− 0.373
	0			0			0.187		0.187
	0			0			0.187		0.187

											1			0.707			0			0.408
												0		0.707			0.894				0
vv := eigenvecs(A)									vv =			0		0.707			0.894				0		vm := genvecs(A, E)
vv := eigenvecs(A)									vv =			0		0	− 0.447					0.816			vm := genvecs(A, E)
												0		0	− 0.447					0.816
												0		0			0		−		0.408
												0		0			0		−		0.408
	1				0.707				0				− 0.408						1		1.414					0		0.816
			0		0.707			− 0.894						0						0	1.414			0.894					0
			0		0.707			− 0.894						0						0	1.414			0.894					0
vm =			0			0			0.447				− 0.816				A vv =			0	0			− 0.447				1.633
			0			0			0.447				− 0.816							0	0			− 0.447				1.633
			0			0			0					0.408						0	0					0		− 0.816
			0			0			0					0.408						0	0					0		− 0.816
						1							1.414								0								0.816
						0															0.894								0
c	vv	1		=		0	c		vv	2	=		1.414		c		vv	3	=		0.894			c		vv	4	=	0
c	vv			=			c	2	vv		=				c	3	vv		=					c	4	vv		=
1						0		2						0		3									4				1.633
						0								0						− 0.447									1.633
						0								0							0								− 0.816
						0								0							0								− 0.816
Противоположные знаки компонент векторов vv 3																						и vv 4				в матрицах vv и vm объ-

ясняются противоположной направленностью собственных векторов, получаемых подпро-

граммами eigenvecs и genvecs.

Поскольку функции, реализующей формулы (5.13.1) степенного метода, в пакете Mathcad нет, составим такую подпрограмму сами. В качестве исходных данных будем рас-

сматривать саму матрицу A и произвольный вектор x0 , необходимый для запуска процесса итераций по формулам (5.13.1). Сама подпрограмма весьма проста и имеет следующий вид:

Найдем два первых максимальных по модулю собственных числа матрицы

1

1		λ1 := λ(x0, A) λ1 = 2	A1 := A − λ1 E λ2 := λ(x0, A1)+ λ1 λ2 = 1
x0 :=		λ1 := λ(x0, A) λ1 = 2	A1 := A − λ1 E λ2 := λ(x0, A1)+ λ1 λ2 = 1
	1


1

Вычисление собственного вектора можно встроить в подпрограмму λ(x0, A) по формулам (5.14.2) или (5.14.3). Запрограммируем, однако, его нахождение отдельно:




		0.632			1.265			1.265
		0.738			1.476			1.476
v1 := evect (λ1, A)	v1 =	0.738	A v1	=	1.476	v1 λ1	=	1.476
v1 := evect (λ1, A)	v1 =	− 0.211	A v1	=	− 0.422	v1 λ1	=	− 0.422


		0.105			0.211			0.211
		0.105			0.211			0.211

Задание № 1. Определить собственные значения и собственные вектора матрицы A

средствами пакета Mathcad, затем найти максимальное по модулю собственное число и соот-
ветствующий ему собственный вектор с помощью подпрограмм λ(x0, A)													и evect(λ1, A).
		1	1.5	2.5	3.5			1	1.2	2	0.5
		1.5	1	2	1.6				1	0.4	1.2
							1.2
1.	A =	2.5	2	1	1.7	2.	A =	2	0.4	2	1.5

		3.5	1.6	1.7	1			0.5	1.2	1.5	1

		1	1.2	2	0.5			2.5	1	− 0.5		2
			1	0.5	1			1	2	1.2		0.4
	1.2
3.	A =	2	0.5	2	1.5	4.	A =	− 0.5	1.2	−1		1.5

		0.5	1	1.5	0.5			2	0.4	1.5		1

150

			2		1	1.4		0.5
			1		1	0.5		1
			1		1	0.5		1
5.	A =				0.5	2		1.2
		1.4			0.5	2		1.2
			0.5		1	1.2		0.5
			0.5		1	1.2		0.5
			2		1.5	3.5		4.5
			1.5		2	2		1.6
			1.5		2	2		1.6
7.	A =		3.5		2	2		1.7
			3.5		2	2		1.7
			4.5		1.6	1.7		2
			4.5		1.6	1.7		2
		1.2			0.5	2		1
			0.5		1	0.8		2
			0.5		1	0.8		2
9.	A =		2		0.8	1		1
			2		0.8	1		1
			1		2	1		2
			1		2	1		2
			1.2		0.5		2		1
				0.5	1		0.6		2
11.		A =		0.5	1		0.6		2
11.		A =		2	0.6		1		1
				2	0.6		1		1
				1	2		1		2
				1	2		1		2
			1.6		1	1.4			1
				1	1		0.5		2
13.		A =		1	1		0.5		2
13.		A =			0.5		2	1.2
			1.4		0.5		2	1.2
				1	2	1.2		0.5
				1	2	1.2		0.5
				0.5	1.2		2		1
					2		0.5	1.2
15.		A =	1.2		2		0.5	1.2
15.		A =		2	0.5		1	0.5
				2	0.5		1	0.5
				1	1.2		0.5	1.6
				1	1.2		0.5	1.6
				1	1.5		1.2		0.5
				1.5	2		0.4		2
17.		A =		1.5	2		0.4		2
17.		A =			0.4		1.5	1.4
			1.2		0.4		1.5	1.4
				0.5	2		1.4		1.3
				0.5	2		1.4		1.3
				1	1.5		0.4					2
				1.5	−1.2		1			− 0.5
19.		A =		1.5	−1.2		1			− 0.5
19.		A =		0.4	1		2			1.2
				0.4	1		2			1.2
				2	− 0.5		1.2				2.5
				2	− 0.5		1.2				2.5
			1.5		1.6		1.7	1.8
					2.5		1.2	1.3
21.		A =	1.6		2.5		1.2	1.3
21.		A =			1.2		3.5	1.4
			1.7		1.2		3.5	1.4
					1.3		1.4	4.6
			1.8		1.3		1.4	4.6
			1.6		1.6		1.7	1.8
					2.6		1.3	1.3
23.		A =	1.6		2.6		1.3	1.3
23.		A =			1.3		3.6	1.4
			1.7		1.3		3.6	1.4
					1.3		1.4		4.6
			1.8		1.3		1.4		4.6

				2	1.2	−1	1
					0.5	2	−1
	1.2
6.	A =	−1			2	−1.5	0.2

				1	−1	0.2	1.5

				1	0.5	1.2		−1
		0.5			2	− 0.5			0

8.	A =				− 0.5	−1		1.4
	1.2
		−1			0	1.4			1

			0.5		1.2	1	0.9
					2	0.5	1.2
10.	1.2
	A =			1	0.5	1	1

			0.5		1.2	1	2.2

				2	1.5	4.5	5.5
			1.5		3	2	1.6
12.
	A =		4.5		2	3	1.7

			5.5		1.6	1.7	3

	2.4				0.5	2	1
				0.5	1	0.8	2
14.
	A =			2	0.8	1	0.5

				1	2	0.5	1.2

	1.8				1.6	1.7	1.8
					2.8	1.5	1.3
16.	1.6
	A =				1.5	3.8	1.4
	1.7
					1.3	1.4	4.8
	1.8
				1	0.5 − 0.5					1
				0.5	−1		2			0
18.	A =
				− 0.5 2		1				−1.5

				1	0	−1.5				2

		1.9			1.6	1.7	1.8
					2.9	1.6	1.3
20.	A =	1.6
					1.6	3.9	1.4
		1.7
					1.3	1.4	4.9
		1.8
				0.5	1	1.2				2
				1	1.2	−	0.5			0.6
22.	A =
					− 0.5		1			−1
		1.2
				3	0.6	−1			1.2

				2	1.6	1.7	1.8
					3	1.7	1.3
24.	A =	1.6
					1.7	4	1.4
		1.7
					1.3	1.4	5
		1.8
151

		0.5	1.4	2	1			1	1.2	0.3		2
			1	0	1.5				0.5	1	0.7
25.	1.4					26.	1.2
	A =	2	0	2.5	2		A =	0.3	1	− 0.4		1

		1	1.5	2	1			2	0.7	1	1.5

	1.7		1.6	1.7	1.8			2	1.7	1.6	4.5
			2.7	1.4	1.3			1.7	2	2	3.5
27.	1.6					28.
	A =		1.4	3.7	1.4		A =	1.6	2	1	1.5
	1.7
			1.3	1.4	4.7			4.5	3.5	1.5	1
	1.8
		1.6	0.4	1	2			3	1.7	1.6	5.5
		0.4	1	0.5	1				1	2	4.5
29.						30.	1.7
	A =	1	0.5	0	0.2		A =		2	3	1.5
							1.6
		2	1	0.2	0.5			5.5	4.5	1.5	1

152

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf