Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

15.

y/ = cos(1.5x + y)+1.5(x − y),

y(0)=1.

16.

y/ = 1 − sin(2x + y)+

0.3y

y(0)= 0.

cos y

x + 2

17.

y / =

− 0.5y2 ,

y(0)= 0.1.

1.75 + x

18.

y/ =1 + (1 − x)sin y −

(2 + x)y,

y(0)= 0.5.

19.

y/ = (0.8 − y2 )cos x + 0.3y, y(0)= 0.

20.

y/ =1+ 2.2sin x +1.5y, y(0)= 0.

21.

y/ = cos(x + y)+ 0.75(x − y),

y(0)= 0.3.

22.

y/ = 1 − sin(1.25x + y)+

0.5y

y(0)= 0.5.

x + 2

cos y

23.

y/ =

− 0.3y2 , y(0)= 0.

x + 2

0.1y

24.

y/ = 1 − sin(1.75x + y)+

y(0)= 1.

x + 2

cos y

25.

y / =

− 0.5y2 ,

y(0)= 0.

1.25 + x

26.

y/ = cos(1.5x + y)− 2.25(x + y), y(0)= 2.

27.

y/ =

cos y

−1.25y2 ,

y(0)= 1.

1.5 + x

28.

y/ =1 − (x −1)sin y + 2(x + y),

y(0)= 0.5.

29.

y / = 1 − sin(0.75x − y)+

1.75y

y(0)= 0.

x +1

30.y / = cos(x − y)+ 1.25y , y(0)= 0.5.

1.5+ x

7.9.Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Как правило, на практике приходиться решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для системы вида

y1/ (x)= f1

(x, y1 (x), y2

(x),..., yn

(x)),

(x)= f

(x, y

(x), y

(x),...,

(x)),

(7.9.1)

.....................................................

(x)= f

(x, y

(x), y

(x),...,

(x)).

Здесь y1 (x), y2 (x),..., yn (x) - искомые функции,

значения которых подлежат определению на

[x0 , X ]. В момент x = x0 задаются начальные условия

(x0 )= y10 ,

(x0 )= y20 ,

(7.9.2)

....................

(x0 )= yn0 ,

определяющие начальное состояние системы (7.9.1).

(x,

Введем

вектор-функции

(x)= (y1 (x), y2 (x),..., yn (x))T ,

= (f1 (x,

), f2 (x,

),..., fn (x,

))T

и вектор

0 = (y10 , y20 ,..., yn0 )T . Тогда задачу

Коши (7.9.1),

(7.9.2) можно записать в компактной форме:

177

(x)= f (x,

y),

(7.9.3)

Теорема 7.3. (Теорема существования и единственности решения). Пусть век-

тор - функция

(x,

) определена и непрерывна в области GX

и удовлетворяет условию

Липшица

(x,

1 )−

(x,

2 )

≤ L

1 −

L = const,

L > 0,

(7.9.4)

для x [x

0 , X ] и произвольных

1 ,

2 .

Тогда для каждого начального значения

0 су-

ществует единственное решение

(x) задачи Коши, определенное на отрезке [x0 , X ].

Если функции f1 , f2 ,..., fn

непрерывно дифференцируемы по

y1 , y2 ,..., yn , то усло-

вие (7.9.4) эквивалентно условию

f y/ (x,

)

≤ L, где матрица Якоби

(x, y)

...

f1 y1

f1 y2

(x, y)

f /

(x,

)

f /

(x,

)

...

f /

(x,

)

(7.9.5)

f y/ (x, y)=

2 y1

2 y2

...

fn/ y1

(x,

)

fn/ y2

(x,

)

...

fn/

(x,

)

На практике методы решения задачи Коши одного уравнения можно использовать и для систем, причем уравнения претерпевают минимальные изменения. Следует лишь заме-

нить в расчетных формулах числа yi

на векторы

= (y1, y2 ,..., yn )T , а функцию f

- на век-

тор - функцию

расчетная формула метода Эйлера yi+1 = yi + hf (xi , yi ) применительно к

Например,

системе (7.9.3) примет вид

(xi ,

i ) или

i+1 =

+ h

= y

+ hf

, y

,..., y

1,i+1

= y2i

+ hf2 (xi , y1i , y2i ,..., yni ),

(7.9.6)

y2,i+1

.....................................................

= y

+ hf

, y

,..., y

n,i+1

Метод Рунге - Кутты четвертого порядка точности (7.4.13) порождает следующие

формулы:

(1)

(2)

(3)

(4)

yi+1 = yi + hk i , k i =

(k i

2k i

+ 2k i

+ k i

(1)

(2)

(1)

= f

(xi , yi ),

= f

, yi +

(7.9.7)

k i

k i ,

(2)

(3)

(4)

(3)

= f

, yi +

k i

xi +

k i

, k i

= f (xi + h, yi + hk i

Теория численных методов решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения.

7.10. Сведение задачи Коши для уравнения n -го порядка к задаче Коши для системы

уравнений первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение n -го порядка в нормальной форме y(n )(x)= f (x, y(x), y/ (x),..., y(n−1)(x))

178

y(x0 )= y10 ,

с начальными условиями

y/ (x0 )= y20

(7.10.1)

...................

(n−1)

(x0 )= yn0 .

Положим

y (x)= y(x),

(x)= y / (x),..., y

(x)= y(n−1)(x). Кроме

того,

очевидно, что

(x)= y // (x)= (y /

(x))/ = (y /

(x))/ = y /

(x)= y/

(x), например, y

(x)= y/ (x)

= y

(x), y

(x) и так

k −1

далее. Тогда уравнение (7.10.1) с заданными начальными условиями примет вид

y1/ (x)= y2 (x),

y2 (x)= y3 (x),

...................

(7.10.2)

(x)= y

(x),

n−1

(x)= f (x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)).

Начальные условия в новых обозначениях будут выглядеть так:

(x0 )

= y10 ,

(x0 )= y20 ,

(7.10.3)

...................

(x0 )= yn0 .

Чаще всего при необходимости решить уравнение (7.10.1) его приводят к виду (7.10.2) и (7.10.3), а далее решают систему дифференциальных уравнений. Редко, но бывают случаи, когда сведение к системе (7.10.2) не требуется. Обычно иными способами решают

дифференциальные уравнения специального вида.
Пример. Методом РунгеКутты	решить		дифференциальное уравнение
y// − xy/ + 2xy = 0.8 с начальными условиями	y(1.5)=1,		на отрезке	x [1.5,1.8] с шагом
		2,
	y/ (1.5)=

h = 0.1.

Сведем это уравнение к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть

y(x)= y (x),

y/ (x)= y

(x).

Тогда

y/ (x)= y/ (x)

= y

(x),

y// (x)=

(y/ (x))/ =

= y/ (x)= 0.8 − 2xy + xy

. Таким образом, нужная система имеет вид

y1/ (x)= y2 (x),

(x),

(7.10.4)

y/ (x)= 0.8 − 2xy

(x)

+ xy

при начальных условиях

(1.5)

=1,

(7.10.5)

(1.5)= 2.

Удобнее всего все вычисления для y1 (x)

y2 (x) помещать в одну таблицу. Опишем

подробно последовательность действий при заполнении этой таблицы при i = 0.

1. При

i = 0

записываем

= 1.5 ,

столбец

(y1 (xi

), y2

(xi ))

заносим

(1)

= f1 (x0 , y10 , y20 )= y20

= 2,

y1 (x0 )=1,

y2 (x0 )= 2. Вычисляем

k0 y

Эти ве-

(1)

)= 0.8 − 2x

= f

, y

+ x

= 0.8.

0 y2

личины k0(1)y

заносим также в столбец

f , так как в формуле интегрирования они использу-

ются с множителем единица.

2. Для x = x0 + h2 = 1.55 в столбце (y1 (xi ), y2 (xi )) записываем

179

+ h k (1)

=1 + 0.05 2 =1.100000,

+ h k0(1)y2 = 2 + 0.05 0.8 = 2.040000.

y20

k0(2)y

Вычисляем

для

следующего

столбца

записываем

него

= 2.040000,

(2)

(1)

= 0.8 −

2 x

0 y2

= 0.8 −2 1.55

1.10

+1.55 2.04 =

0 y2

= 0.552000. В столбец

записываем k0(2)y

и k0(2)y

с множителем два (см. формулу (7.4.13)).

3. Следующие две строки таблицы заполняются аналогично пункту два. Именно, в

столбец

записываем

= 1.55

Для

столбца

), y

)) находим

+ h k

(2)

=1 + 0.05 2.040000 =1.102000,

+ h k0(2)y2 = 2 + 0.05 0.552000 = 2.027600.

y20

Для

следующего

столбца

вычисляем

величины

k0(3)y

= y20

k0(2)y

= y2

= 2.027600, k0(3)y

= 0.8 − 2 1.55 1.102 +1.55 2.0276 = 0.526580. На-

конец, в столбец

ставим числа

2k0(3)y и 2k0(3)y

4. В

столбец

записываем

+ h =1.60.

столбец

(y1 (xi ), y2 (xi ))

записываем

y10

(3)

=1 + 0.1 2.027600 =1.202760,

+ hk0

+ hk

(3)

= 2 + 0.1 0.526580 = 2.052658.

вычисляем

коэффициенты

k0(4)y

= y2

= 2.052658,

(4)

= 0.8 − 2 1.60 1.202760 +1.60 2.052658 = 0.235421.

Записываем

эти

же

значения в

столбец

f .

k0(1−4)y

5. Используя

найденные

значения

коэффициентов

вычисляем

(k (1)

+ 2k

(2)

+ 2k (3)

+ k

(4)

(2.000000 + 4.080000 + 4.055200 + 2.052658)= 2.031310.

0 y

Аналогично

y2 = 0.532096.

+ h =1.60 , y1 (x1 )= y1 (x0 )+

6. Для i =1 находим x1

= x0

=1 + 2.031310 = 3.031310,

y2 (x1 )= y2 (x0 )+

= 2 + 0.532096 = 2.532096. Далее все вычисления повторяются до дос-

тижения x = xn =1.8. Результаты помещены в следующую таблицу:

(y1 (xi ), y2 (xi ))

ki(1−4)

y =1 6 ∑α k

1.50

0.8

1.55

1.100000

2.040000

4.080000

2.040000

0.552000

1.104000

1.55

1.102000

2.027600

4.055200

2.027690

0.526580

1.053160

1.60

1.202760

2.052658

2.031310

2.052658

0.235421

0.532096

180

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf