8.4.Уравнения параболического типа. Явные и неявные схемы

Докажем единственность решения методом от противного. Предположим, что существуют два решения u (x,t) и u~(x,t) поставленной задачи. Тогда их разность u = u (x,t)−u~(x,t) удовлетворяет уравнению (8.4.1) с нулевой правой частью:

которые следуют из условий (8.3.2), (8.3.3). Покажем, что решение u(x,t) такой задачи тождественно равно нулю в области D . Умножим обе части уравнения (8.4.2) на u(x,t) и проинтегрируем результат по D :

Теперь разобьем интеграл в левой части на три интеграла и преобразуем первые два в интегралы по периметру прямоугольника с помощью формулы Грина

В силу условий (8.4.3) и (8.4.4) функция u равна нулю на боковых и на нижней сторонах прямоугольника D , поэтому от интеграла по контуру Γ в левой части последнего равенства остается только интеграл по верхней стороне прямоугольника:

Под знаками обоих интегралов стоят неотрицательные функции, следовательно, это равенство возможно, только если каждый интеграл равен нулю. Таким образом,

Георг Грин (1793-1841) - английский математик.

199

шения в точке xi на следующем шаге по времени равно полусумме его значений в соседних узлах xi+1 и xi−1 в данный момент времени.

Условие устойчивости (8.4.13) накладывает ограничение на выбор шага τ по времени. Если пространственный шаг h имеет, например, порядок 10−3 , а коэффициент a0 - поря-

док единицы, то τ ограничено величиной порядка 10−6 , следовательно, требуется очень большое число шагов по времени t , чтобы получить решение во всей расчетной области D .

Чтобы избежать этой трудности, можно использовать другой вычислительный алгоритм, который называется неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности и строится следующим образом.

Запишем разностные аппроксимации производных, входящих в уравнение (8.4.1):

справедливое при i =1,2,..., n −1, j = 0,1,..., m −1 , которое связывает значения решения в четы-

рех соседних узлах, показанных на предыдущем рисунке.

К уравнению (8.4.17) нужно присоединить равенства (8.4.10) и (8.4.11), которые следуют из начальных и краевых условий. Полученную систему алгебраических уравнений можно решить, последовательно определяя значения приближенного решения на слоях t = t j , j =1,2,..., m . Однако в отличие от системы (8.4.9) значения решения на последующем

слое не вычисляются по явной формуле, а должны быть найдены из системы n −1 уравне-

му получаем трехдиагональную систему уравнений относительно неизвестных ui,1 , которая

может быть решена методом прогонки, описанным в подразд. 5.4. После нахождения приближенного решения на первом слое по времени можно аналогично с помощью прогонки вычислить значения решения на втором слое и так далее.

Применение неявной разностной схемы (8.4.17) не требует выполнения какого-либо соотношения между шагами h и τ, которое обеспечивало бы устойчивость решения алгебраической системы уравнений и отсутствие нефизических колебаний. Поэтому вычисления

202

по схеме (8.4.17) можно проводить с использованием большего значения τ, чем при расчетах по явной схеме. Однако глобальная погрешность полученного решения по-прежнему определяется величиной O(τ + h2 ), которая содержит τ в первой степени и поэтому не позволяет

получать решение высокой точности при больших шагах по времени.

В связи с этим возникает необходимость повышения точности аппроксимации производной ∂u ∂t , входящей в дифференциальное уравнение (8.4.1), и использования схемы, ана-

логичной той, которая представлена модифицированным методом Эйлера для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (см. подразд. 7.4). Как можно показать,

i =1,2,..., n −1, j = 0,1,..., m −1 . Здесь использованы значения решения в трех точках, расположенных на слое t j , и трех соседних точках, расположенных на слое t j+1 (см. следующий ри-

сунок). Схема, полученная с помощью (8.4.18) и (8.4.19), называется шеститочечной неявной схемой Кранка - Николсон . Подстав-

которое отличается от (8.4.1) наличием слагаемого с первой производной по пространствен-

ной координате. С физической точки зрения появление слагаемого α ∂∂ux в уравнении означа-

ет учет конвекции (переноса) тепла за счет движения теплопроводящей среды вдоль оси абсцисс. Например, уравнение (8.4.20) описывает распределение температуры в потоке жидкости, движущейся вдоль оси абсцисс со скоростью α(x,t).

Как и уравнение теплопроводности, уравнение переноса имеет параболический тип, поэтому начальное и краевые условия для него записываются в том же виде: (8.3.2), (8.3.3).

Однако при больших значениях отношения αa02 основную роль играют два первые члена, и

это уравнение проявляет свойства, аналогичные свойствам уравнения чистой конвекции:

Джон Кранк (р.1916) - английский математик, Филлис Николсон (1917-1968) – английский математик.

203