8.7. Свойства разностных схем для дифференциальных уравнений: способность аппроксимировать исходную дифференциальную задачу, устойчивость и сходимость

Общая схема решения задач для дифференциальных уравнений методом конечных разностей, которая была использована выше, состоит в следующем. Пусть задан некоторый дифференциальный оператор второго порядка Lu , который является линейным, то есть обладает свойством L(c1u1 +c2u2 )= c1Lu1 +c2 Lu2 , справедливым для любых дважды непрерывно

дифференцируемых функций u1 , u2 и действительных чисел c1 , c2 . Для решения уравнения

нулю при неограниченном измельчении сетки, то говорят, что разностная схема удовлетворяет свойству аппроксимации дифференциального оператора. В разностных схемах,

использованных в подразд. 8.4 – 8.6, погрешность имела вид O(h2 + τ) или O(h2 + τ2 ). В результате исходное дифференциальное уравнение может быть переписано так

относительно приближенного решения ui, j .

Для оценки точности приближенного решения важное значение имеет свойство устойчивости решения системы уравнений (8.7.3), которое состоит в следующем. Пусть fi, j -

эффициентов оператора Lhτu . Устойчивость решения означает малые его изменения при ма-

лых изменениях правой части системы. Покажем, что свойства аппроксимации и устойчивости обеспечивают сходимость приближенного решения к точному: аппроксимация + устойчивость => сходимость.

Действительно, для разности u −ui, j где u(xi ,t j ) - значения решения уравнения (8.7.1) в узлах сетки, а ui, j - решение системы (8.7.3), благодаря свойству устойчивости (8.7.5) по-

так как f − fi, j = 0 в узлах сетки.

8.8. Некоторые обобщения

Линейные уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов с

где α(x,t)> 0 . Решение краевых задач для уравнений (8.8.1) – (8.8.3) может осуществляться с

помощью тех же разностных схем, которые описаны в подразд. 8.4 – 8.6, хотя в некоторых случаях могут возникать определенные трудности, например, в случае уравнения параболи-

ческого типа (8.8.1) с преобладающем влиянием конвективного слагаемого d (x,t)∂∂ux по

сравнению с диффузионным слагаемым α(x, t)∂∂x2u2 (см. (8.4.20)). Отметим также важное от-

личие уравнения эллиптического типа (8.8.3) от первых двух, состоящее в необходимости выполнения условия g(x, y)≤ 0 в области D , которое обеспечивает существование и единст-

венность точного решения краевой задачи. При нарушении этого условия корректность исходной задачи может нарушаться.

В качестве краевых условий могут быть заданы не значения решения на границе рассматриваемой области, а значения его производной по нормали к границе. Например, для

которые заменяют условия (8.3.3). Решение такой задачи может быть получено с помощью тех же разностных схем, которые построены в подразд. 8.4. Действительно, значение приближенного решения во внутренних узлах i =1,2,..., n −1 слоя t = t j+1 может быть найдено,

например, по формуле (8.4.9). Значения решения в левой граничной точке u0, j+1 могут быть

значения решения в правой граничной точке un, j+1 могут быть найдены из соотношения

≈ 3un, j+1 −4un−1, j+1 +un−2, j+1 . Поэтому значения приближенного решения во всех узлах, 2h

расположенных на слое t = t j+1 , оказываются известными, и можно переходить к нахождению решения на слое t = t j+2 .

Примерами нелинейных уравнений параболического, гиперболического и эллиптиче-

где a > 0 . Решение задач для уравнений (8.8.4) – (8.8.6) может производиться по тем же алгоритмам, которые представлены в подразд. 8.4 – 8.6. Однако важным свойством нелинейных уравнений гиперболического типа (8.8.5) является возможность возникновения разры-

вов решений даже при гладких начальных данных в результате нарастания величины ∂u ∂x с

лического, гиперболического и эллиптического типов с тремя независимыми переменными являются:

где α(x, y,t)> 0 . Уравнение (8.8.7), например, описывает распространение тепла в твердом

теле в случае, когда определяющее значение имеет теплопередача в двух пространственных направлениях, а в третьем направлении потока

нок). Требуется найти решение уравнения (8.8.8), удовлетворяющего следующим начальным и краевому условиям:

Построим область решения, покроем ее сеткой с шагом h1 = h2 = h , xi = i h , y j = j h, i = 0,1,..., n, j = 0,1,..., m и вычислим значения искомой функции u(x, y) в граничных точках области по формулам (8.9.2). Введем обозначения ui, j = u(xi , y j ) и аппроксимируем

O(h2 ). Уравнение (8.9.4) вместе со значениями ui, j в граничных узлах образуют систему ли-

нейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений u(x, y) в узлах сетки:

При получении сеточных уравнений (8.9.5) использовалась схема узлов, изображенная на с. 208.

Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D состоит в нахождении приближенных значений ui, j искомой функции u(x, y) во внутренних узлах сет-

ки. Для определения величин ui, j необходимо решить систему линейных алгебраических

уравнений (8.9.5).

В данной лабораторной работе система (8.9.5) решается методом простых итераций (см. подразд. 5.5) по формулам

где верхним индексом k обозначен номер итерации. В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять

Как следует из теории, изложенной в подразд. 8.6, описанная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Это означает, что, выбрав достаточно малый шаг h , можно сколь угодно точно решить исходную задачу.

Итак, решим по описанной процедуре модельный пример. Пусть надо найти решение u(x, y) задачи Дирихле в квадрате со стороной, равной единице, для уравнения Лапласа (8.9.1) с краевыми условиями вида

u(0, y)= ψ1 (y)= y 2 , u(1, y)= ψ2 (y)= cos y + y(3 − cos1),

u(x,0)= ψ3 (x)= x3 , u(x,1)= ψ4 (x)= 2x +1, 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1.

214

Зададим одинаковый шаг по x и по y , равный h = 0.1, и вычислим все краевые условия. На приведенном рисунке известные значения функции u(x, y) в граничных точках поме-

1 x

u1,1 u1,2 u1,3 u1,4 и так далее u1,10 u1,11

чены жирными точками, разыскиваемые приближенные решения внутри квадрата D - кре-

стиками, внутри D выделен используемый шаблон.

ORIGIN:=1

разом рассчитаем начальные значения функции во внутренних точках других горизонталей. Выполним теперь эти же действия средствами пакета Mathcad:

215

Теперь можно запустить вычисления по методу простых итераций. На практике вместо условий (8.9.7) окончания итерационного процесса применяют более надежный критерий

шой подпрограммы. Попытка огранизовать вычисления с помощью дискретных аргументов приведет к неоправданной сложности математических выражений. Записать процесс последовательных приближений в векторно-матричной форме, как в лабораторной работе № 9 (см. с. 137), тоже не удастся, так как необходимо обеспечить выход из итерационного процесса по достижении заданной точности.

Программа метода простых итераций очень проста и понятна и может быть, например, такой:

eps :=10−6 u := Iteratio(u,eps)

Число итераций для выполнения условия сходимости (8.9.8) в этом примере рав-

но 111.

Наконец, описанный выше алгоритм можно оформить в виде единственной подпро-

граммы Dirichlet:

Входные параметры этой подпрограммы: [a, b]- отрезок по оси x , [c, d ]- отрезок по оси y , n - число шагов по x . Так как использована формула (8.9.5), где h1 = h2 = h , то число

217

шагов сетки по оси y вычисляется в самой программе. Желающие могут легко усовершенствовать алгоритм для случая h1 ≠ h2 .

Итак, решим еще раз уравнение Лапласа для этого примера. u := Dirichlet(0,1, 0,1,11, eps)

Если распечатать еще раз матрицу u , получим точно такую же таблицу, как на предыдущей странице. Как видно, результаты вычислений полностью совпадают.

Задание № 1. С помощью подпрограммы Dirichlet найти приближенное решение

h1 = h2 = h = 0.1.

218