7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теорема 7.1. (Теорема существования и единственности решения). Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна в области G и удовлетворяет в ней условию

то есть условием ограниченности частной производной.

7.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения

Численное решение задачи Коши строится для ее дискретного аналога. В этом случае отрезок [x0 , X ] - область непрерывности изменения аргумента x заменяется множеством

ωh - конечным множеством точек x0 < x1 < ... < xN = X , которое называется сеткой. Величина hn = xn − xn−1 - шаг сетки - является, как правило, постоянным, то есть сетки в большинстве случаев равномерные.

Функции, определенные лишь в узлах сетки ωh , называются сеточными. Они поме-

где yh - значения сеточной функции в k +1 последовательных точках xn+1−k ,..., xn , xn+1. Сумма в левой части формулы (7.2.1) рассматривается как разностная аппроксимация производной y / по одной из формул численного дифференцирования, а правая часть - как специальным образом построенная аппроксимация функции f (x, y).

При нахождении приближения yn+1 в очередной точке сетки по формуле (7.2.1) используются найденные ранее значения сеточной функции yh в k предыдущих точках xn+1−k ,..., xn . Такие методы называются k -шаговыми. При k =1 уравнение (7.2.1) принимает вид

Рудольф Липшиц (1832 - 1903) - немецкий математик.

163

В случае, когда входящая в уравнение (7.2.1) функция Φ не зависит от yn+1 , вычисление yn+1 не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

дом шаге приходится решать относительно yn+1 нелинейное уравнение (7.2.1). Методы, реализующие такой алгоритм, называются неявными.

7.3. Решение с помощью рядов Тейлора

Начнем с метода, который теоретически пригоден для решения любых дифференциальных уравнений, но с вычислительной точки зрения не представляет почти никакого практического интереса. Его ценность заключается в том, что он дает некоторый эталон для сравнения различных практически удобных методов.

Запишем разложение функции y(x) в ряд Тейлора в окрестности точки xn+1 :

чить лучшее приближение, то есть меньшую ошибку, то необходимо вычислить yn/// , которая равна:

Последующие производные становятся еще более сложными, а их вычисление чаще всего является весьма трудоемкой и даже невыполнимой операцией.

7.4. Методы Рунге - Кутты

Методы Рунге - Кутты обладают следующими отличительными свойствами:

Мартин Вильгельм Кутта (1867-1944) - немецкий физик и математик.

164

1) являются одношаговыми: чтобы найти yn+1 нужна информация только о предыдущей точке (xn , yn ) ;

2) согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h p , где степень p различна для различных методов и называется порядком метода;

3) не требуют вычисления производных от f (x, y), а только вычисления функции.

Именно благодаря третьему свойству методы Рунге - Кутты более известны, нежели ряд Тейлора. Однако для вычисления одной последующей точки решения приходится вычислять f (x, y) несколько раз при различных значениях x и y.

вестных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Формула (7.4.1) может быть получена из (7.2.2), если принять Φ(xn , yn , yn+1 , h)≡ f (xn , yy .). Так как здесь функция Φ не зависит от yn+1 , то метод является явным.

Ошибка интегрирования при x = xn+1 показана на рисунке в виде отрезка ε. Очевидно, что найденное таким образом приближенное решение согласуется с разложением в ряд

ного уравнения (7.2.1) на решении y(x).

Метод Эйлера, реализуемый формулой (7.4.1), можно усовершенствовать множеством различных способов. Рассмотрим две модификации: а) исправленный метод Эйлера и б) модифицированный метод Эйлера.

а). В исправленном методе Эйлера находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек (xn , yn ) и (xn + h, yn + hyn/ ). Геометрически процесс нахождения точки

(xn+1 , yn+1 ) можно проследить по левому рисунку на следующей странице. С помощью метода Эйлера находится точка (xn + h, yn + hyn/ ), лежащая на прямой L . В этой точке снова вы-

Леонард Эйлер (1707-1783) - швейцарский математик. Долгое время жил и работал в России.

165

Проведем через точку M (xn , yn ) прямую L1 , параллельную L . Пересечение этой прямой с ординатой x = xn + h и даст искомую точку (xn+1 , yn+1 ). Так как уравнение прямой L1 можно записать в виде y = yn + (x − xn )Φ(xn , yn , h), то

Формула (7.4.6) описывает модифицированный метод Эйлера.

Влитературе исправленный метод Эйлера называют иногда методом Эйлера - Коши ,

амодифицированный метод - усовершенствованным. Как и в предыдущем случае, можно легко показать, что модифицированный метод является методом Рунге - Кутты второго по-

рядка.

Оба рассмотренных метода описываются формулами вида yn+1 = yn + hΦ(xn , yn , h),

причем в обоих случаях функция Φ имеет вид

Методы Рунге - Кутты третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно

аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Общая идея вывода формулы метода Рунге - Кутты любого заданного порядка состоит в следующем.

Если бы интеграл в формуле (7.4.8) вычислялся точно, то она была бы основной рабочей формулой всех методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. В дейст-

Здесь неизвестны значения y(xn(i ) ). Применяя формулу (7.4.8), получим

xn(i )

y(xn(i ))= y(xn )+ ∫ f (x, y(x))dx, i = 2,3,..., m.

xn

Огюст Луи Коши (1789-1857.) - французский математик.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716.) - немецкий математик, создатель дифференциального исчисления.

167

ет ту или иную модификацию методов Рунге - Кутты. Приведем рабочие формулы метода четвертого порядка. Он применяется настолько широко, что в литературе называется просто «методом Рунге - Кутты» без всяких указаний на тип или порядок. Этот классический метод Рунге - Кутты описывается системой следующих шести уравнений:

168