(x)=

x 2

∞

(k!)2

2k

+2

−3

21.

f

=

∑

x

x

≤ 2, ε =10

2 arcsin

,

.

2

k =0 (2k

+ 2)!

22.

f

+1)! x2k +3 ,

x ≤ 2, ε = 2 10−3.

(x)= 2x − 2(4 − x2 )2

arcsin

x = ∑ k!(k

1

∞

− x2

2

k =0

(2k + 3)!

23.

(

)=

(

+

)

=

+ x3 − x4

+

+

∞

(−

)k +1

x k

+

−

<

≤

ε =

−3

f

x

ln 1

x

x

...

∑

1

...,

1

x

1,

3

10

.

2

3

4

k

k =1

f

x

2

=

x

−

1

x

3

+

1 3

x

5

−

1 3 5

x

7

+ ...,

(x)= ln x +

+1

3

5

7

24.

4

2

2 3

2

2 4 5

2

2

4 6 7

2

2

x < 2, ε = 10−3.

25.

f

(x)= ln cos x = −

x2

−

x4

−

x6

−

17 x8

−

511x10

+ ...,

x

<

π

, ε = 10−3.

2

12

45

2520

467775

2

26.

f

(x)=

1

[6x + 3x 2

+ 2x3 + 6(1 − x3 )ln(1 − x)]= ∑∞

x k +3

,

x

≤ 1, ε = 10 −3.

18

(−1)k x2k +2

k =1 k(k +

3)

27.

f (x)= −2x arctg x + ln(1 + x2 )= ∑∞

,

x

≤1, ε = 2 10−3.

k =0 (k +1)(2k +1)

(x)= x +

x

1 + x

2 + x2

f

1

(x2

−1)arctg

2

−

1

(x2

+1)ln

=

28.

2

4 2

1 − x2

8 2

1 − x 2 + x2

∞

(−1)k x4k +5

= ∑

,

x

≤1, ε =10−3.

(4k + 3)(4k + 5)

k =0

(−1)k x4k +7

(x)=

1

(x

x 2

1 + x 2 + x2

∞

f

2

− ln

2

=

∑

,

4

−1) 2 arctg

29.

16

2

1 − x

1 − x

2 + x

k =0 (4k + 3)(4k + 7)

x

≤1,

ε =10−3.

30.

f

(x)=

1

(sh x − sin x)

= ∑∞

x 4k +3

,

x

< ∞, ε = 10 −4.

2

k =0 (4k + 3)!

Самый простой подход при локальной интерполяции состоит в построении набора

полиномов

P(0,1,..., m), P(1,2,...,m +1),..., P(n − m, n − m +1,...,n) фиксированной степени m ,

P2

каждый из которых совпадает с табличны-

ми значениями в m +1 последовательной

P1

точке. Каждый такой полином использует-

P3

ся для интерполяции тех x [a, b], для ко-

торых выбранные узлы таблицы являются

ближайшими. Ясно, что в этом случае

а

разрывы I рода

b

имеются разрывы I рода интерполирован-

ной функции в местах стыка многочленов

Другой подход состоит в кусочно-поли-

номиальной интерполяции. В этом случае ис-

P1

P2

P3

ходный отрезок [a, b] разбивается на несколько

отрезков меньшей длины, на каждом из которых

y = f (x) интерполируется своим многочленом.

При этом аппроксимируемая функция будет не-

a

b

прерывной, но будет иметь точки излома, то есть

не будет непрерывно дифференцируемой.

x0 = a < x1 < ... < xn−1 < xn = b на n частичных отрезков [xi−1, xi ].

Сплайном степени m называется функция Sm (x),

удовлетворяющая следую-

щим свойствам:

непрерывна на [a, b] вместе со

1) Sm (x)

всеми производными

Sm(1)(x), Sm(2)(x),..., Sm(p)(x) до некоторого порядка p ;

2) на каждом отрезке [xi−1 , xi ] [a, b] Sm (x) совпадает с некоторым алгебраиче-

ским многочленом

Pm,i (x) степени m .

совпадают

с

кубическим многочленом S

3

(x) = P

(x) = a

i

+ b

(x − x

)+ c

(x − x

i−1

)2 +

+ di (x − xi−1 )3 и имеют на отрезке [a, b]

3,i

i

i−1

i

по крайней мере одну непрерывную производную

S3/ (x).

а). Интерполяционный сплайн.

Пусть на концах отрезка [x

0

, x ]

заданы значения

y

0

, y , y

/ и y/

. Тогда интерполяци-

P3 (x) ,

1

1

0

1

P3 (x0 ) = y0 , P3 (x1 ) =

онный

многочлен

удовлетворяющий

условиям

= y , P / (x

0

) = y /

, P / (x ) = y / , может быть представлен в следующем виде:

1

3

0

3

1

1

P

(x)= y

0

(x1 − x)2 (2(x − x0 )+ h)

+ y/

(x1 − x)2 (x − x0 )

+

3

h3

0

h2

(3.10.1)

(x − x0 )2 (2(x1 − x)+ h)

(x − x0 )2 (x − x1 )

+ y

+ y/

, h = x − x

.

1

h3

1

h2

1

0

S(x)-сплайн-функция, то

x∫n [S // (x)]2 dx min. С математической точки зрения доказано, что

x1

порядка ясно, что если xi −i -й узел, то

Sm

(xi − 0)= Sm

(xi + 0),

Sm/

(xi − 0)= Sm/

(xi + 0),

.....................................

Sm(p )(xi − 0)= Sm(p )(xi + 0).

Рассмотрим весь отрезок [a, b]. Построим на нем систему сплайнов

S3 (x) с узлами

сопряжения a = x0

< x1 < x2 < ... < xn−1 < xn

= b с непрерывной второй производной. Для это-

го необходимо выбирать наклоны s

i

= S /

(x)

так, чтобы в точках x

i

«стыка» многочленов P

3

3,i

и P3,i+1

совпали значения их вторых производных:

P//

(x

)= P

//

(x

), i =1,2,..., n −1.

3,i

i

3,i+1

i