3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция

3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных

3.5. Многочлены Чебышева

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

1004

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

									Т а б л и ц а 3
xi					yi = f (xi )
xi					Номера вариантов
	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
0.15	0.16	1.89	-1.92	1.10	-2.80	0.00	4.01	0.12	4.13	2.97
0.30	0.02	2.07	-1.60	1.20	-2.66	0.01	4.06	0.31	4.11	3.07
0.45	0.28	2.30	-1.57	1.18	-2.36	0.24	3.88	0.48	3.87	3.04
0.60	0.42	2.26	-1.41	1.14	-2.41	0.74	3.98	0.45	3.74	3.30
0.75	0.31	2.34	-1.36	1.17	-2.13	1.02	4.36	0.84	3.85	3.27
0.90	0.41	2.66	-0.97	1.00	-1.82	1.31	4.18	0.73	3.71	3.54
1.05	0.42	2.88	-0.59	0.99	-1.74	1.53	4.16	0.77	3.53	3.79
1.20	0.36	2.85	-0.71	0.95	-1.76	1.90	4.51	0.64	3.56	4.07
1.35	0.45	3.16	-0.15	0.54	-1.64	2.29	4.53	0.74	3.19	4.30
1.50	0.65	3.49	0.01	0.32	-1.46	2.61	4.38	0.53	3.04	4.51
1.65	0.67	3.88	0.22	0.15	-1.30	3.15	4.76	0.28	2.83	4.83
1.80	0.53	4.22	0.63	0.02	-1.27	3.42	4.66	0.24	2.54	5.06
1.95	0.50	4.45	1.07	-0.30	-1.22	3.89	4.82	0.00	2.41	5.40
2.10	0.35	4.99	1.42	-0.40	-1.11	4.58	4.77	0.03	1.97	5.83
2.25	0.35	5.36	1.68	-0.90	-1.02	4.82	5.12	0.35	1.78	6.54
2.40	0.13	5.71	2.49	-1.37	0.89	5.42	5.23	0.46	1.53	6.68
2.55	0.39	6.51	2.57	-1.65	0.89	6.07	5.40	0.88	1.04	7.36
2.70	0.14	7.35	3.09	-2.00	-1.02	6.44	5.84	1.27	0.86	7.91
2.85	0.14	8.02	3.40	-2.42	0.97	7.15	5.86	1.68	0.48	8.39
3.00	0.09	8.96	4.00	-3.13	0.99	7.66	6.01	1.98	-0.09	8.98

Пусть функция y = f (x) интерполируется на отрезке [a, b]. Метод решения этой за-

дачи единым для всего отрезка многочленом Pn (x) называется глобальной полиноми-

альной интерполяцией. Надежда приблизить y = f (x) везде на [a, b] с заданной точностью

ε единым многочленом P (x) базируются на теореме Вейерштрасса .
n	y = f (x) непрерывна на [a, b].
Теорема 3.1. Пусть функция			Тогда для любого
ε > 0 существует полином P (x) степени n = n(ε) такой, что max		f (x)− P (x)		< ε.

n	[a, b]		n

Однако существуют очень веские причины, по которым глобальная интерполяция многочленами высокой степени в вычислительной практике не используется. Обычный подход увеличения точности интерполяции - увеличение числа узлов. Однако не существует единой для всех непрерывных на отрезке [a, b] функций стратегии выбора узлов интерполя-

ции. Чаще всего узлы располагаются на [a, b] равномерно. Но даже для очень гладких функций это иногда не приносит желаемого эффекта.

больших n интерполяция дает очень хорошие результаты в центральной части отрезка. В то

Карл Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.

Карл Давид Тольме Рунге (1856-1927) - немецкий физик и математик.

же время последовательность Pn (x)

расходится при n → ∞ для 0.73 <

≤1 (см. рисунок

слева). Таким образом, равномерное рас-

пределение узлов оказалось неудачным.

Итак, не существует единой для всякой

0.5

функции y = f (x) стратегии выбора узлов

интерполяции. Об этом же говорит и тео-

рема Фабера .

Теорема 3.2. Какова бы ни была

стратегия выбора узлов интерполяции,

-1

-0.5

0.5

найдется непрерывная на отрезке [a, b]

P10(x)

P6(x)

f(x)

функция

y = f (x), для которой

max

f (x)

− P (x)

→ ∞ при n → ∞.

[a, b]

Однако если функция гладкая (непрерывно дифференцируемая), то такая стратегия существует.

Теорема 3.3. Пусть в качестве узлов интерполяции на отрезке [a, b] выбираются узлы полиномов Чебышева . Тогда для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b] функции y = f (x) метод интерполяции сходится.

Практическая реализация стратегии выбора узлов интерполяции возможна и оправдана в довольно редких случаях и просто невозможна тогда, когда приходится иметь дело с заданной таблицей значений функции.

Помимо погрешности от приближенной замены y = f (x) на Pn (x) возникает еще дополнительная погрешность, связанная с тем, что значения интерполируемой функции тоже

задаются с погрешностью. Пусть заданные в узлах xi , i =

0, n

значения yi содержат по-

грешности

εi .

Тогда Pn (x) = ∑n y j lnj (x) содержат погрешность

Pn (x)− Pn (x) = ∑n ε j lnj (x),

j=0

где {lnj (x)}nj=0 - Лагранжев базис.

(y ), то есть

(y )

Пусть известно, что верхняя граница погрешности yi равна

εi

≤

для i =

Тогда для верхней границы

соответствующей

погрешности

многочлена

0, n

(P )= max

P (x)− P (x)

справедлива оценка

[a, b]

(Pn (x))≤ Λn

(y ),

где

(3.4.1)

Λn

= max ∑n

lnj (x)

- константа Лебега .

[a, b]

j=0

В задаче интерполирования константа Лебега играет роль абсолютного числа обусловленности, то есть в самом неблагоприятном случае погрешность входных данных при интерполяцииможетвозрастив Λn раз. Величина Λn зависитотрасположенияузловинтерполяции. На-

пример, если в качествеузловинтерполяции взятынулимногочленовЧебышева, то

Λ	n	≈	2	ln(n + 1)+ 1.	(3.4.2)

			π

Жорж Фабер (1877-1966) - швейцарский математик.

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) – русский математик и механик.

Анри Леон Лебег (1875-1941) - французский математик.

	2n−1
Если же узлы равноотстоящие, то Λn >	(2n −1) n и уже при n ≥ 4 обусловленность

задачи резко ухудшается. Из этого следует важный практический вывод: в вычислениях не следует использовать интерполяционные многочлены высокой степени с равноотстоящими узлами.

Классический пример - функция Рунге f (x)=

, x [−1,1]. Если использо-

вать глобальную аппроксимацию на [−1,1]

с равномерным распределением узлов, то при

Система функций {ϕn (x)}, заданных на [a, b], называется ортогональной на [a, b],

если

1.	∫b ϕ2n (x)dx = dn	≠ 0 и для n = 0,1,2,...
	a		0, m ≠ n,	(3.5.1)
	b

	2. ∫ ϕn (x)ϕm (x)dx =		≠ 0, n = m.
	a	dn
Система функций {ϕn (x)}, заданных на [a, b], называется ортогональной на [a, b]
с весом ρ(x), если
1. ∫b ϕn2 (x)ρ(x)dx = dn ≠ 0 и для n = 0,1,2,...
a			0, m ≠ n,	(3.5.2)
	b

	2. ∫ ϕn (x)ϕm (x)ρ(x)dx =
Функция ρ(x)	a	dn ≠ 0, n = m.
	называется	весовой	функцией для системы {ϕn (x)}. Если
dn =1 для n , то система функций {ϕn (x)} называется ортонормированной.

В качестве примера системы функций, ортогональной с весом, приведем многочлены Чебышева, которые известны еще и тем, что являются полиномами, наименее уклоняющи-

мися от нуля. Эти многочлены определяют разными способами. Например:
1. Tn (x)=	1	(x +	x 2 −1)n + (x − x 2 −1)n , n =1,2,3,...	(3.5.3)
	2

2.Являются решениями следующего дифференциального уравнения:

(1 − x2 )Tn// (x)− xTn/ (x)+ n2Tn (x)= 0.

3.Определяются из формулы Родрига*

(−1)n d n (1 − x2 )n−

T (x)

, n = 0,1,2,...

1 − x2

dxn

4. Определяются рекуррентно:

T0 (x)=1, T1 (x)= x,

Tn+1 (x)= 2xTn (x)−Tn−1 (x),

n =1,2,3,...

Иногда в качестве полиномов Чебышева берут функции

Tn (x)=

Tn (x).

5. Tn (x) = cos(n arccos x), n = 0,1,2,... x [−1,1].

(n − m −1)!

6. Tn (x) =

∑2 (−1)m

(2x)n−2m .

m!(n − 2m)!

2 m=0

Многочлены Чебышева обладают множеством замечательных свойств.

* Родриг; Бенжамен Оленд Родригес (1794-1851) - французский математик и экономист.

(3.5.4)

(3.5.5)

(3.5.6)

(3.5.7)

(3.5.8)

Теорема 3.4. Полиномы Чебышева Tn (x) образуют на отрезке [−1,1] ортогональ-

ную систему с весом ρ(x) =

, то есть

1 − x2

0, n ≠ m,

(x)Tm (x)

(3.5.9)

∫Tn

1 − x2

π, n = m = 0,

−1

, n = m > 0.

Действительно, ∫1

Tn (x)Tm (x)

x = cos t,

0 ≤ t ≤ π,

−1

1 − x

Tn (cos t) = cos(n arccos(cos t)) = cos nt

n ≠ m,

(− sin t)

= ∫cos nt cos mt

∫cos nt cos mtdt =

π,

n = m, .

sin t

2 −π

n = m > 0.

T2 (x) T3 (x)

T4 (x)

T1 (x)

T0 (x)

T0 (x)=1,

T1 (x)= x,

(x)= 2x2

−1,

(x)= 4x3

− 3x,

(x)= 8x4

−8x2 +1,

-1

T (x)= 16x5

− 20x3 + 5x

и так далее.

-1

Теорема 3.5. При четном

n многочлен

Tn (x) содержит только четные степени x

и является четной функцией, а при нечетном

n многочлен

Tn (x) содержит только не-

четные степени x и является нечетной функцией.

Теорема 3.6. При

n ≥1 старший коэффициент многочлена T (x) равен

2n−1 , то

есть T (x)= 2n−1 xn + ...

n ≥1 многочлен Tn (x) имеет ровно n действительных корней,

Теорема 3.7. При

расположенных на отрезке [−1,1] и вычисляемых по формуле

xk = cos

(2k + 1)π

, k = 0,1,2,..., n −1.

(3.5.10)

(x)

Теорема 3.8. При

n ≥ 0 справедливо равенство max

=1. Если n ≥1

, то этот

[−1,1]

максимум достигается ровно в

n +1 точках, которые находятся по формуле

= cos π m , m = 0,1,..., n.

(3.5.11)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб112Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб1004шапорев выч мат.pdf