С.Д. Шапорев

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2002

1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ; ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

Инженерные вычислительные задачи в настоящее время решаются с помощью ЭВМ и имеют некоторые характерные особенности:

1)ярко выраженная практическая направленность: необходимость доведения результатов до конкретных чисел;

2)большой объем вычислительных работ;

3)сложность математических моделей процессов;

4)широкое использование готовых вычислительных методов.

При решении задач пункт три имеет определяющее значение. Математическая модель – это приближенное описание исследуемого процесса на языке математики. Для любой задачи математическая модель никогда не бывает полностью адекватной. Сам процесс построения моделей всегда протекает итеративно, модель при исследовании непрерывно усложняется, происходит ее подгонка и адаптация, улучшение качества. Решение инженерной задачи с помощью ЭВМ обычно содержит следующие этапы:

1)постановка задачи;

2)выбор математической модели;

3)постановка вычислительной задачи;

4)анализ вычислительных свойств вычислительной задачи;

5)выбор или создание нужного численного метода;

6)алгоритмизация и программирование;

7)обработка и интерпретация результата;

8)использование результата и коррекция математической модели.

1.1.Источники и классификация погрешностей результата численного эксперимента

Точный результат решения получить численно невозможно, он всегда содержит погрешность, то есть является приближенным. Наличие погрешности решения обусловлено следующими причинами.

1.Математическая модель всегда приближенна. Характеристики истинного процесса всегда отличаются от модельных характеристик.

2.Исходные данные всегда содержат погрешность, ибо результат эксперимента неизбежно получается с ошибкой.

3.Теоретические и численные методы решения задач являются приближенными. Лишь решение тривиальной задачи можно получить в виде конечной формулы.

4.При вводе и выводе с ЭВМ производятся округления. Такие же округления производятся и при вычислениях.

Если y - точное значение вычисляемой величины, то это значение содержит следую-

вестна точно, но ее можно оценить приближенно, адаптируя модель к изучаемому процессу δм y должна быть примерно на порядок меньше δн y , а δв y на порядок меньше δм y . В

этом случае достигается разумный компромисс и повышается достоверность конечного результата.

1.2. Погрешности чисел

Пусть a - точное и неизвестное значение некоторой величины, а a - ее известное приближенное значение.

3

Ошибкой (или погрешностью) приближенного значения числа a называется

По ней не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Для этого вводится понятие относительной погрешности.

Эта погрешность не зависит от масштаба величины единицы измерения. Непосредственное вычисление по формулам (1.2.1) и (1.2.2) невозможно, так как a неизвестно. Часто

Значащую цифру числа a называют верной, если абсолютная погрешность

верных значащих цифр тесно связано с величиной относительной погрешности числа. Имеют место следующие результаты.

пример, если дано a = 0.364001, то есть a имеет шесть значащих цифр, то ε = δ (a )≈ 10−6.

При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Существуют два способа округления.

1.Усечение – отбрасывание всех цифр, расположенных правее n - ой значащей цифры. При этом погрешность ε не превышает (достигает) единицы того же разряда.

2.Округление по дополнению. Это следующее правило: если первая цифра слева от отбрасываемых меньше пяти, то лишнее просто отбрасывается, как при усечении; если же первая цифра слева от отбрасываемых больше или равна пяти, то в младший сохраняемый

4

разряд добавляется единица. Абсолютная величина погрешности по дополнению не превышает половины единицы последней оставляемой значащей цифры.

1.3. Погрешности арифметических операций

Теорема 1.4. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, то есть (a ± b )≤ (a )+ (b ).

Доказательство

Запишем формулу для абсолютной погрешности алгебраической суммы двух величин по определению и воспользуемся свойствами модуля. Получим сразу необходимый резуль-

Доказательство

Поступим так же, как и в предыдущей теореме. Выразим абсолютную погрешность

Из последних двух равенств видно, что при вычитании двух близких чисел может произойти катастрофическая потеря точности, так как при a −b → 0 в последней формуле

δ (a − b )→ ∞.

Теорема 1.6. Для относительных погрешностей произведения и частного прибли-

Для вывода второй оценки предварительно получим, используя свойства модуля, следующую формулу: b = b + (b − b) ≥ b − (b )= b [1 − δ (b )]. Тогда

5

δ(a b )≈ δ a ≈ δ (a )+ δ (b ). Чаще всего на практике делают именно так.

b

1.4.Погрешности функций