Спиглазов_Механика материалов для з.о

В силу симметричности системы справедливо, что:

l2 l3 ;

Удлинение первого стержня равно смещению точки B ': B ' B'' l1 .

Из анализа геометрических связей между смещениями точек при деформировании системы, получим:

BB' BB'' B' B''; 1,16 l2 l1 – уравнение совместности деформа-

ций.

Используя закон Гука, полум:

2. Запишем уравнение равновесия для рассматриваемой системы.

Вравновесии находится сходящаяся система сил (равновесие узла B).

Fx 0; N2 sin(α) N3 sin(α) 0;

N2 N3;

Решив совместно уравнения (*) и (**), получим:

N2 N3 6,9 кН;

N1 12,1 кН.

Пример 3:

Абсолютно жесткий брус закреплен шарнирно и удерживается в равновесии тремя стержнями одинаковой площади поперечного сечения. Материал стержней Ст. 3. Второй стержень был изготовлен короче на величину 1 мм .

Дано:

E 200 ГПа ; σ 100 МПа ; A1 A2 A3 2 см2 .

Определить: записать уравнение совместности деформаций.

Решение:

Из подобия треугольников KBB' KCC ' RDD' получим соотношения для сторон:

CC ' CC '' C 'C '' l2 . Отсюда получим:

6.5. Учет пластических деформаций при растяжении (сжатии) статически неопределимых стержневых систем.

В ряде случаев для элементов конструкции, выполненных из пластичных материалов или материалов ограниченной пластичности, наблюдается не линейная связь между внутренними усилиями и деформациями. Это характерно при возникновении в материале элемента напряжений превышающих пропорциональности.

Для пластичных материалов при достижении напряжений равных пределу текучести наблюдается рост деформаций при неизменной величине внутреннего усилия. При ограничений этих пластических деформаций другими элементами конструкции в них возникают добавочные усилия равные величине пластической деформации.

Определим усилие в стержне N при котором в материале будут действовать напряжения, соответствующие пределу текучести:

N σт A 120 106 1 10 4 12 103 Н 12 кН ;

Так как величина внешней нагрузки F, вызывающей возникновение продольной силы N, превышает величину соответствующую пределу текучести, то в материале стержня будут возникать как упругие, так и пластические деформации.

Определим величину упругих деформаций с помощью закона Гука:

Определим величину пластической деформации. Полная деформация стержня ограничена опорой в точке B '' и не может превышать зазор . Так как полная деформация состоит из упругой и пластической составляющей, то справедливо выражение:

ly lo BB ' B ' B '' ; Отсюда получим: lo lу 2 1,2 0,8 мм .

Отсеченная часть стержня совместно с опорой в точке B '' под действием внешних сил (F, R)и внутренних усилий (N) находится в равновесии:

Fx 0; N F R 0; R F N 20 12 8 кН.

Ответ: lo 0,8 мм ; R 8 кН .

6.6. Вопросы для самоконтроля.

1.Степень статической неопределимости системы.

1.1.Понятие степени свободы.

1.2.Понятие внутренних связей, определение их количества.

1.3.Понятие внешних связей, определение их количества.

1.4.Понятие степени статической неопределимости системы.

2.Решения статически неопределимых систем на растяжение или сжатие.

2.1.Алгоритм решения.

2.2.Понятие уравнений совместности деформаций, их назначение.

2.3.Деформированная система и правила ее отображения.

2.4.Примеры решения статически неопределимых систем.

2.5.Условная диаграмма деформирования (УДД) при растяжении пластичного материала.

2.6.Характеристики прочности пластичного материала.

2.7.Характеристики деформативности пластичного материала.

2.8.Характеристики пластичности пластичного материала.

2.9.Явление наклепа для пластичного материала.

2.10.Истинная диаграмма деформирования при растяжении пластичного материала.

2.11.Основные физико-механические характеристики (по ИДД).

2.12.Диаграмма сжатия пластичного материала, отличия от диаграммы растяжения.

2.13.Поведение пластичного материала при сжатии.

2.14.Опасные напряжения для пластических материалов.

3.Температурные напряжения.

3.1.Причины возникновения температурных напряжений.

3.2.Температурные деформации.

3.3.Понятие коэффициента линейного температурного расширения.

3.4.Совместное действие температурных и силовых деформаций (от нагрузок).

3.5.Примеры расчета с учетом температурных напряжений.

4.Монтажные напряжения.

4.1.Понятие монтажных напряжений.

4.2.Причины возникновения монтажных напряжений.

4.3.Примеры расчета с учетом монтажных напряжений.

5.Учет пластических деформаций при растяжении (сжатии) статически неопределимых стержневых систем.

К содержанию

7.2. Линейное (одноосное) напряженное состояние

ЛНС возникает в теле, когда вектора напряжений ориентированы вдоль одной линии (случай растяжения или сжатия).

σ1 0; σ1 σ1 0.

Определим напряжение, действующее в произвольном сечении растянутого стержня.

В поперечном сечении 1–1:

В произвольном сечении 2–2 повернутом на угол относительно поперечного сечения 1–1:

Положительный угол наклона α будем откладывать против часовой стрелки

Напряжения в поперечном сечении 1–1:

σ1 1 σx NA FA ;

Площадь наклонного сечения 2–2 под углом α к поперечному:

На наклонной площадке в направлении нагружения действует напряжение:

Напряжения по нормали к наклонной площадке 2–2 (нормальные напряже-

ния):

σα pα cos(α) σx cos2 (α) ;

Напряжения вдоль наклонной площадки 2–2 (касательные напряжения):

τα pα sin(α) 12 σx sin(2 α) ;

7.3. Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние возникает в том случае, когда вектора всех напряжений лежат в одной плоскости.

σ1 0; σ3 0; σ2 0.

Mk

Выделим из тела в окрестности произвольной точки бесконечно малую треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота их равна dz. Приложим к призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела.

Для определения напряжений σα и τα , действующих по наклонной площад-

ке, составим три уравнения равновесия. Вначале составим условие равенства нулю моментов относительно точки О:

τyx dz dx dy2 τ dz dy dx2 0;

Отсюда получаем закон парности касательных напряжений:

τxy τyx ;

Запишем условия равенства нулю суммы проекций сил на направления напряжений σα и τα :

Fσα σα ds dz σ y dz dx sin(α) τ yx dz dx cos(α) ]σx dz dy cos(α) τxy dz dy sin(α) 0;

Fτα τα ds dz σ y dz dx cos(α) τ yx dz dx sin(α)σx dz dy sin(α) τxy dz dy cos(α) 0;

затем сократим полученные уравнения на ds dz . В результате получим:

σα σ y sin2 (α) σx cos2 (α) (τ yx τxy ) sin(α) cos(α); τα (σx σ y ) sin(α) cos(α) τ yx sin2 (α) τxy cos2 (α);

С учетом равенства касательных напряжений на перпендикулярных площадках последние две формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид:

Для нормальных напряжение для двух взаимно перпендикулярных площадок под углами α и α 90 справедливо равенство:

σα σα+90o σx σy const ,

т.е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная.

7.3.1. Главные напряжения и главные площадки

Для определения величин главных напряжений используем формулу расчета нормальных напряжений:

dσα σy 2 sin(α) cos(α) σx 2 cos(α) sin(α) τxy cos(2 α) 2 0; dα

(σy σx ) sin(2 α) 2 τxy cos(2 α) 0 2 τα ,

отсюда находим:

или

τ

tg(α0 ) xy

σx σmin