Спиглазов_Механика материалов для з.о

Величины ВСФ, действующие на поверхности рассечения могут быть найдены из уравнений равновесия статики (рис.):

Примечание: Для статически определимых систем значения ВСФ зависят только от геометрии системы, места и характера приложения внешних сил, но не зависят от типа материала и размеров поперечного сечения элементов.

2.2.1. Правила выполнения сечений.

Для элементов конструкции сложной формы и при воздействии большого количества различных видов нагрузок с целью упрощения расчетов целесообразно выполнять несколько сечений. Сечения выполняют для каждого из участков.

Участок это отрезок между двумя ключевыми точками.

Ключевыми точками могут быть:

1.торцы элемента;

2.точки приложения сосредоточенных нагрузок (внешние силы F, моменты M и Т; реакции в опорах и заделке);

3.начало и конец распределенной нагрузки (положенные равнодействую-

щей силы от распределенной нагрузки не является ключевой точкой!!!);

4.точки соединения со всеми типами шарниров (в том числе и внутренних);

5.места изменения формы элемента (изменение площади сечения, изменение ориентации и пр.).

Уравнения равновесия составляют для каждой уравновешенной ВСФ отсеченной части.

2.2.2. Простейшие виды нагружения.

Если в поперечных сечениях действует только один ВСФ, то такое нагружение называется простым. Если в поперечных сечениях возникает несколько внутренних усилий, то это – сложное напряженное состояние. Любое сложное напряженное состояние можно представить как комбинацию соответствующих простых напряженных состояний (в соответствии с принципом суперпозиции).

Примеры:

Q

2.3. Правила построение эпюр ВСФ

Эпюра – график изменения ВСФ в направлении оси бруса.

Эпюры отображают величину, характер изменения и знак ВСФ в зависимости от положения сечения на продольной оси элемента конструкции.

Эпюры строят с использованием метода сечения в следующей последовательности:

1.Мысленно разрезают элемент конструкции в интересующем месте – в его границах (абсолютно жесткие элементы разрезать запрещено – жесткий брус);

2.Отбрасывают одну из частей элемента (любую), но обычно отбрасывают ту часть, которая содержит большее количество внешних нагрузок. Отбросить – значить скрыть, т.е. не учитывать нагрузки, действующие на нее;

3.Заменяют действие отброшенной части соответствующими ВСФ;

4.Уравновешивают оставшуюся часть бруса и записывают для нее уравнения равновесия (см. п.п. 1.3, 1.4). Выражают требуемую величину ВСФ, как функцию внешних нагрузок и координаты положения сечения.

Примечание: в уравнения равновесия входят внутренние силы и "видимые" внешние нагрузки. Видимыми называют нагрузки, приложенные только на оставшуюся (рассматриваемую) часть. При записи уравнений равновесия используют те же правила, что и для расчетных систем в целом (см. п.п. 1.3, 1.4).

Метод имеет аббревиатуру – РОЗУ (рассекаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем).

Анализ эпюры позволяет найти опасные сечения, т.е. то место, в котором возможно разрушение бруса (образование чрезмерных остаточных деформаций) – как правило, это точки с наибольшими по модулю значениями ВСФ.

При разбиении сложной конструкции на участки эпюры строят для каждого участка по отдельности, но в одной координатной системе. Уравнения ВСФ используются только в границах того участка для которого они записывались, при этом координата положения сечения изменяться только в пределах между ключевыми точками участка относительно их положения относительно начала отсчета. Вид эпюры на участке обусловлен уравнением равновесия для этого участка.

N, Q, ... (ВСФ)

max

x

(продольная ось)

Рис. 2.4. Пример эпюры ВСФ

Допускается для записи уравнений ВСФ не использовать уравнения равновесия, а выводить их напрямую для каждого участка с учетом определенных правил знаков.

2.4. Примеры построения эпюр ВСФ

2.4.1. Построение эпюр при осевом растяжении-сжатии (Лекция 3, первый час)

При осевом растяжении-сжатии возникает один тип ВСФ – продольное усилие N. Для получения уравнения продольного усилия как функции длины используется метод сечений в пределах характерных участков. Участок – это отрезок между ключевыми точками. Ключевыми точками могут быть:

1.Свободный конец стержня;

2.Точки приложения сосредоточенных сил (продольных);

3.Точки изменения формы (размеров) сечения;

4.Точки расположения опор (защемления);

Уравнение для ВСФ получают из уравнения равновесия в виде суммы всех видимых внешних сил и ВСФ N на ось стержня (см. п.п. 2.2). В общем случае уравнение имеет вид:

Ni f (xi )

При построении эпюры N можно пропустить этап записи уравнений равновесия для участков и сразу писать уравнения в виде:

N j Fi

где Nj – значение продольного силового фактора для j-го участка. Принимается направленным от сечения вдоль оси бруса в сторону отброшенной части (см. пример); Fi – внешние силы, действующие на рассматриваемый участок с учетом правила знаков: если сила направлена от сечения, то ее принимают со знаком «+», если направлена к сечению – со знаком «–».

Примечание: если продольная сила N в результате расчета имеет знак «+», то на данном участке стержень растянут, если знак «–», то – сжат. Эпюра N всегда прямолинейна.

Участки могут быть «правыми» и «левыми». За начало отсчета координаты линий сечения используются крайние точки стержней: для «левых» участков –

M K i f (xi )

При построении эпюры Mк можно пропустить этап записи уравнений равновесия для участков и сразу писать уравнения в виде:

M K j Ti

где M K j – значение крутящего момента для j-го участка. Принимается направленным от сечения вдоль оси бруса в сторону отброшенной части (см. пример); Ti

– внешние (скручивающие) моменты, действующие на рассматриваемый участок с учетом выбранного правила знаков. Правило знаков выбирается произвольно, но неукоснительно соблюдается для всех участков стержня.

Участки могут быть «правыми» и «левыми». За начало отсчета координаты линий сечения используются крайние точки стержней: для «левых» участков – крайние левые; для «правых» – крайние правые (см. рис. Растяжения -сжатия). По аналогии – участки могут быть «верхними» и «нижними».

Примечание: по аналогии с растяжением-сжатием при построении эпюр крутящих моментов можно не рассчитывать реакционный момент в защемлении, при этом все участки в качестве начала отсчета координат для линии сечения должны использовать свободный конец стержня, т.е. защемление всегда отбрасывается.

2.4.3. Построение эпюр ВСФ при изгибе балок (см. тему: Изгиб)

Для расчета балок и рамных конструкций на прочность необходимо знать максимальные значения изгибающего момента и поперечной силы, возникающие в балке и место их действия (по длине). При построении эпюр ВСФ для любого вида изгиба используют метод сечений. При этом балку разбивают на участки между ключевыми точками. В зависимости от того какая часть балки отбрасывается, различают правые и левые участки. Для определения положения линии сечения (ЛС) используют крайние точки балки: для левых участков – крайняя левая точка; для правых – крайняя правая. Координату ЛС сечения обозначаю xi, где i – номер рассмотрения участка. Нумеруют участки в порядке их удаления от крайних точек балки. Для балки, состоящей из нескольких участков, могут совместно использоваться как левые, так и правые участки. Координата xi может изменяться только в пределах участка (между ключевыми точками).

Ключевые точки: К, В, С, D. Участки: КВ, ВС, СD. Участок СD – правый и первый, начало отсчета в крайней правой точке D. Участок CD – правый и второй, начало отсчета в точке D. Участок КВ – левый и третий, начало отсчета в точке К.

Нагрузки в пределах между началом отсчета и линией сечения для участка называют «видимыми»:

– для участка СД:

Записанные для каждого участка уравнения Q и М определяют график (эпюру) только между ключевыми точками данных участков. Для построения эпюр отображают соответствующие оси:

–оси значений – через ключевые точки проводят вертикальные линии по ним откладывают значение функции именно в этих точках;

–ось аргумента – произвольная горизонтальная линия (нулевая линия), относительно которой откладывают значения функции: положительные вверх, отрицательные вниз. Для каждого ВСФ проводиться своя нулевая линия.

Значения функций для каждого уравнения определяют в ключевых точках участка (в крайних положениях координаты xi).

2.4.4. Правила проверки построения эпюр для балок, работающих на из-

гиб.

Эпюра поперечных сил Q:

1.На эпюре поперечных сил «скачки» должны наблюдаться в местах приложения сосредоточенных сил. В иных случаях «скачков» не должно быть.

«Скачек» – это перепад значений в одной ключевой точке для смежных в ней участков.

2.Под равномерно распределенной нагрузкой q эпюра имеет вид наклонной линии, на всех остальных участках эпюра имеет вид горизонтальной линии.

3.На участках, испытывающих чистый изгиб эпюра Q отсутствует.

Эпюра изгибающих моментов М:

1.«Скачки» на эпюре моментов наблюдаются в тех точках, где приложен сосредоточенный момент, больше никаких разрывов быть недолжно.

2.Под равномерно распределенной нагрузкой q эпюра M имеет вид параболы, на всех остальных участках эпюра имеет вид наклонной прямой линии.

3. На участках, испытывающих чистый изгиб эпюра М имеет вид горизонтальной линии.

Если правила проверки не выполняются, то:

1.неправильно рассчитаны реакции опор;

2.неправильно составлены уравнения для расчета Q и M;

3.неправильно отображены значения на эпюрах

Пример 1: Построение эпюр внутренних силовых факторов при изгибе балки на двух опорах.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для статически определимой балки на двух опорах. Численные значения всех нагрузок и реакций в опорах необходимо отображать на схеме с указанием их единиц измерения.