Спиглазов_Механика материалов для з.о

11.Кручение.

11.1.Общие понятия сдвига

Сдвиг – это такой вид напряженно-деформированного состояния, когда в поперечных сечениях действует только поперечная сила.

Если по граням элемента, выделенного из деформированного тела, действуют только касательные напряжения, то тело испытывает чистый сдвиг.

Деформации сдвига экспериментально получают двумя способами: 1. Перекашиванием пластины.

F

τ

τ

τ

τ

2. Кручением тонкостенной трубы.

Mk

Mk

Если рассмотреть какой-либо элементарный объем (например, в форме куба), то при сдвиге длины граней этого куба изменяться не будут, а углы будут изменяться.

При сдвиге происходит искажение прямых углов продольно поперечной сетки линий, нанесенных на исходное тело. Данное искажение называется угло-

вой деформацией мерой которой выступает угол сдвига.

11.2. Напряжения при сдвиговых деформациях.

При сдвиге в поперечных сечениях от действия поперечной силы появляются касательные напряжения.

После приложения сдвиговых нагрузок прямоугольная сетка линий на поверхности тела изменит лишь угол между перпендикулярными линиями, сами же линии останутся прямыми и параллельными по направлениям.

Таким образом, можно предположить, что касательные напряжения (вдоль линий сетки) распределены равномерно.

Касательные напряжения являются мерой интенсивности поперечных сил возникающих в сечении тела:

τ QA ,

где Q – внутренняя поперечная сила (Q = F – простой случай, для других случаев применяется метод сечений); A – площадь, по которой происходит сдвиг (площадь сдвига).

11.2.1. Условие прочности при сдвиге.

Условие прочности при сдвиге можно записать в виде:

τ ;

где τ – величина допускаемого напряжения (определяется по опасным напряже-

ниям с учетом коэффициента запаса прочности).

При чистом сдвиге условие прочности имеет вид:

τmax Qmax τ .

A

На практике допускаемы напряжения при сдвиге связаны определенным соотношением с допускаемыми при растяжении, что можно использовать при выполнении расчетов:

τ 0,5 0,6 σ .

11.3. Закон Гука при сдвиге

При сдвиге, так же как и при растяжении, в определенных пределах напряжений между нагрузкой и деформацией существует прямо-пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при сдвиге. Закон Гука получен в результате анализа экспериментальных данных и имеет вид:

τ G γ;

где G – модуль упругости второго рода (или модуль сдвига) – коэффициент пропорциональности между касательными напряжениями и углом сдвига.

Для сталей G 8 104 МПа .

Модуль сдвига это физическая константа, определяемая экспериментально и является одной из трех упругих постоянных изотропного материала ( μ, E, G ).

Решая геометрическую задачу можно найти взаимосвязь трех упругих постоянных:

где µ – коэффициент Пуассона; Е – модуль продольной упругости.

11.4. Общие положения кручения

Кручение – это такой вид напряженно-деформированного состояния, при котором в поперечном сечении бруса или стержня возникает только один ВСФ –

крутящий момент.

Деформацию кручения вызывает пара сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня или бруса. Момент от внешней пары сил назы-

вается скручивающим моментом (T).

Стержни, передающие крутящий момент, называются валами. Если вал передает крутящий момент, но не вращается, тогда он называется торсионным ва-

лом.

11.5. Деформации при кручении

При кручении бруса его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол φi .

Все нижесказанное будет касаться кручения стержней круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглого бруса базируется на следующих предположе-

ниях:

1.Плоские поперечные сечения до деформации остаются плоскими и после деформации, лишь поворачиваясь друг относительно друга на некоторый угол.

2.Радиусы поперечных сечений после деформации остаются прямыми.

3.Расстояния между сечениями не изменяются.

Рассмотрим деформации элемента длиной dx, выделенного из бруса. Все продольные линии, нанесенные на поверхности бруса, в результате кручения (поворота произвольного сечения на угол dφ ) меняют положение на один и тот же

угол γ . Т.е. прямоугольник cbdk на поверхности стержня приобретает форму па-

Для упрощения выражения для стержней круглого поперечного сечения

где d – наружный диаметр стержня.

Для полых стержней (сечение в виде кольца) момент сопротивления определяется только через суммарный момент инерции. Выполнять действия по вычитанию моментов сопротивления не допустимо.

Неправильно:

Отсюда условие прочности для стержней круглого поперечного сечения примет вид:

M max

τmax k τ

Wp

Расчеты на прочность при кручении позволяют решать те же задачи, что при растяжении (сжатии) и изгибе:

1.проверочные расчеты;

2.конструкционные (проектировочные) расчеты;

3.монтажные (проверка несущей способности) расчеты.

11.8. Расчеты на жесткость при кручении.

Расчеты на жесткость при кручении позволяют решать те же задачи, что при растяжении (сжатии) и изгибе:

1.проверочные расчеты;

2.конструкционные (проектировочные) расчеты;

3.монтажные (проверка несущей способности) расчеты.

Условие жесткости определяется в виде ограничения величины угла закручивания стержней. При этом подразумевается, что все деформации упруги, т.е. выполняется закон Гука при кручении.

11.9. Рациональная форма сечения при кручении

Т.к. материал при кручении в центральной зоне практически не нагружен, то «оставлять» его там не имеет смысла. Значит, рациональными будут пустотелые сечения (трубчатое или коробчатое).

τmax

Во избежание потери устойчивости оболочки стержня центральную полость заполняют веществом малой плотности (цветной металл или сплав на его основе, полимер и пр.).

Момент инерции полых цилиндрических стержней рассчитывают по фор-

муле:

Приняв, что отношение наружного и внутреннего диаметров известно:

Dd α 0,8;

Получим: