Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спиглазов_Механика материалов для з.о

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

3.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Для обозначения усилий в стержнях используют метод сечений. Стержень рассекают на две части, часть не связанную с элементами конструкции, воспринимающими внешние нагрузки, отбрасывают (совместно с шарнирами). Вектора продольных силовых факторов (N1, N2, …, Ni) направляют от точки сечения вдоль оси стержня в сторону отброшенной части. Отброшенную часть стержней и связанные с ней элементы в дальнейшем при расчетах не учитывают.

Реакции связи в шарнирных соединениях оставшихся частей стержней между собой или с жестким брусом на расчетной схеме не обозначают и в расчетах не учитывают, так как они являются для рассматриваемых элементов (стержни, брус) внутренними.

Реакции в опорах обозначают в соответствии с их типом с учетом ориентации осей принятой системы координат.

На расчетной схеме жесткий брус КВ зафиксирован с помощью неподвижного шарнира в точке О. Указывают две составляющие реакции в проекциях на оси x и y – RxO , RyO .

3. Вычислим степень статической неопределимости системы.

C E I 3 n 6 4 3 3 1

где E = 6 – количество составляющих опорных реакций (по две на каждый неподвижный шарнир в точках О, Е и D); I = 4 – количество внутренних связей между элементами (крепление стержней к жесткому брусу с помощью шарниров в точках К и В); n = 3 – количество элементов

всистеме (два стержня и брус).

4.Рассмотрим равновесие системы.

В равновесии находится плоская произвольная система сил. Для нее записывает три

уравнения равновесия статики:
1. Fx	0;	N1 cos(α) RxO 0;
2. Fy	0;	N1 sin(α) F RyO N2 0;
3. MO (Fi ) 0;		N1 sin(α) (1,5 a a) F a N2	2 a 0.
Уравнения содержат четыре неизвестных величины ( RO , RO , N , N				2	) следовательно,
		x	y 1	2

решение данной системы из трех уравнений невозможно. Требуется запись дополнительного уравнения, не являющегося уравнением равновесия.

5. Составим уравнение совместности деформации.

Отобразим систему в деформированном состоянии с учетом требований по перемещению элементов. Жесткий брус условно отобразим в виде прямой линии, так как его толщиной при расчетах можно пренебречь.

Брус КВ под действием сосредоточенной силы F может проворачиваться относительно неподвижного шарнира в точке О в направлении приложенной нагрузки (против хода часовой стрелки). Точка О при этом смещаться не может, так же как и точки Е и D – по определению шарниры неподвижны. Точки К, С и В, принадлежащие брусу, смещаются только по перпендикулярам к этим точкам в исходном положении бруса, причем ось бруса остается линейной при любых деформациях. Отсюда отрезки КК`, СС` и ВВ` перпендикулярны брусу КВ. Так как брус поворачивается на определенный угол и не деформируется, то все смещения его точек пропорциональны расстоянию до оси вращения (т.е. до точки О):

KK '	CC '	BB '
KO	CO	BO	(*)

В виду того, что деформации стержней напрямую связаны с перемещением точек бруса, полученная пропорция позволяет найти связь между удлинениями стержней.

Вследствие малости деформаций по отношению к размерам элементов системы угол поворота бруса и поворот, связанного с ним, стержня 1 на угол относительно исходного положения малы и стремятся к нулю ( β 0, γ 0 ).

Из анализа деформированной системы следует: а) первый стержень:

–так ка угол γ 0 то справедливо, что KE K '' E l0KE , где l0KE – начальная длина первого стержня;

–конечная длина lk1 первого стержня равна отрезку K ' E ( K ' E lkKE );

–удлинение первого стержня: l1 K ' E K '' E K ' E KE K ' K '';

–так как угол γ 0, то EKK '' KK '' E 90 , следовательно, из подобия углов вытекает, что K '' KK ' EKO α;

–связь между удлинением первого стержня и перемещением точки К жесткого бруса

определяется из взаимоотношения сторон прямоугольного		треугольника KK ' K '' –
KK ' δK	– гипотенуза, K ' K '' l1 – катет, α	– противолежащий угол:

l1 KK ' sin(α); KK ' l1 sin(α) .

б) второй стержень:

–начальная длина второго стержня: l0BD BD;

–конечная длина второго стержня: lkBD B ' D;

–удлинение второго стержня: l2 B' D BD δB ;

	l0	1	E
			E
l k	α=40w		γ 0
l k	α=40w		β
			β

K		C
α	K''
	K''
δK	l1	C'
δK	l1
K'

	B'
0	δΒ =Δl2
0
O
	B
	k
	l
δC	0
δC	l
	2
	D

Рис. 2. Деформированное состояние системы

Уравнение совместности деформаций получим из соотношения перемещений точек бруса и установленных их связей с удлинениями стержней:

KK ' l1

sin(α); BB' l2 ;

;

sin(α) KO

sin(α) (1,5 a a)

2 a

l2 sin(α) (1,5 a a)

– уравнение совместности деформаций.

Из закона Гука удлинения стержней связаны с внутренними продольными усилиями:

l1	N	l KE	; l2	N	l BD	;
	1	0		2	0

	E	A1		E A2

Используя данные выражения и уравнение совместности деформаций, получим связь между внутренними продольными усилиями:

N	l KE	N		l BD sin(α) (1,5		a a)
E	A	E A			2 a
1	0		2	0
	1			2

Определим значения величин для представленного соотношения:

l0KE КЕ 1,25 a / sin(α) 1,25 1 / sin(40 ) 1,94 м; l0BD ВD 2 a 2 1 2 м.

Подставив известные значения величин, получим:


N 1,94 N		2	sin(40 ) (1,5 1 1)		N	0,83 N	;
	2
1		2		1	1	2

6. Определим усилия в стержнях и компоненты реакции в опоре.

С помощью полученного отношения продольных усилий решим систему уравнений равновесия.

Значения внутренних усилий определим из третьего уравнения (уравнение моментов):0.83 N2 sin(α) (1,5 a a) F a N2 2 a 0;

N2 (2 1 0.83 sin(40 ) (1,5 1 1)) F 1;

N2 F 1 0,3 F 0,3 50 15 кН; 3,33

N1 0,83 N2 0,83 15 12, 45 кН.

Положительные значения Ni указывают на то, что стержни работают на растяжение. Из первого и второго уравнений равновесия определим реакции в опоре:

N cos(α) RO 0;			RO N cos(α) 12, 45 cos(40 ) 9,54 кН;
1	x		x	1
N sin(α) F RO N		2	0;
1	y	2

RyO N2 F N1 sin(α) 15 50 12, 45 sin(40 ) 57 кН.

Знак «–» перед значением компонента реакции RxO свидетельствует о том, что на рас-

четной схеме она должна быть указана в противоположном направлении.

7. Определим площадь поперечного сечения стержней из условия прочности при растяжении (сжатии). Определение площади стержней относится к конструкционным (проектировочным) расчетам – по известным усилиям в стержнях и свойствам материалов рассчитывают минимально необходимые размеры сечений.

Для первого стержня:

	N		12, 45 103			1, 25 10 4 м2 1, 25 см 2 ;
A	1
			100		106
1	[σ]
Для второго стержня:
A		N2		15	103	1,5 10 4 м2 1,5 см 2 ;
				100 106
2	[σ]

Так как по условию задачи площади стержней должны быть равны (и это условие использовалось при определении отношения между N1 и N2 из уравнения совместности деформаций), то окончательно принимаем наибольшее из двух полученных чисел:

					A A 1,5 см2 .
					1	2
	В ином случае произойдет				разрушение второго стержня, так как в нем при
A A 1,25 см2		будут возникать напряжения:
2	1
		σ	N2		15 103	120 106 Па 120 МПа ,
		σ				120 106 Па 120 МПа ,
			A	1, 25 10 4
		2

что на 20 % превышает допускаемую величину [σ] 100 МПа .

8. Определим перемещение точки приложения сосредоточенной силы F (точка С). Используя отношение между перемещениями точек жесткого бруса (*) свяжем переме-

щение точки С с удлинением одного из стержней – например первого:

СO K ' K ''

CO l CO

N l KE

δС СС ' KK '

;

sin(α)

E A1 sin(α)

1,5 a a

Подставив все известные величины, получим:

N1 l0KE

12,45 103 1,94

δС E A

sin(α) 1,5 a a

200 109

1,5 10 4 sin(40 ) 1,5 1 1 5,01 10

м 0,5 мм;

Аналогично можно найти перемещение точки С и через удлинение второго стержня:

N2 l0BD

15 103 2

δС СС '

BB ' BO

l2 BO

E A

2 a 200 109

1,5 104

2 1 5,01 10

м 0,5 мм;

Так как δС [δ], то условие жесткости конструкции выполняется, т.е. действующие пе-

ремещения меньше допускаемых.

Ответ:

RO 9,54 кН; RO 57 кН; N 12,45 кН; N

15 кН; δС 0,5 мм.

Пример 2:

Стальной ступенчатый стержень жест-

ко закреплен между двумя опорами и

нагружен внешними силами F1 и F2.

RC C

D F1

Геометрия стержня известна (длины

ступеней li

и их площади поперечного

сечения Ai).

Определить реакции опор.

Решение:

1. Рассчитаем степень статической неопределимости системы.

C E I 3 n 6 4 3 3 1

Система один раз статически неопределима.

2. Рассмотрим равновесие системы.

Все нагрузки и реакции связи лежат на оси ступенчатого стержня. Условие равновесия

имеет вид:

Fx 0;

RC F1 F2 RB 0;

(*)

Решение данного уравнения невозможно, так как содержится две неизвестные величины.

3. Составим уравнение совместности деформаций.

Под действием внешних сил и реакций в опорах внутри ступеней стержня будут возни-

кать внутренние усилия Ni. Следовательно, согласно закона Гука, элементы стержня будут под-

вержены деформациям.

В рассматриваемом примере торцы ступенчатого стержня жестко фиксированы, следова-

тельно, смещение точек С и В равны нулю ( δC 0 , δB 0). В качестве начальной точки при

рассмотрении деформаций системы примем неподвижную точку С, тогда полное смещение

второй крайней точки В можно рассчитать по формуле:

δB li l1 l2

l3 0;

– уравнение совместности деформаций

Используя закон Гука для определения деформаций участков, получим:

δB

N1 l1

N2 l2

E A

Применив метод сечений для расчета значений внутренних силовых факторов в преде-

лах участков (ступеней), получим:

– для участка СD: N1 RC ;

– для участка DK: N2 RC F1;

– для участка ВК: N3 RB ;

С учетом всех определенных величин, получим:

B RC	a	(RC F1)	b	RB	c	0;

	E A		E A		E A
	1		2		3

Преобразовав данное выражение, получим:

(**)

Решая совместно уравнения (*) и (**) при известных размерах ступеней стержня вычисляют значения реакций в опорах.

6.3. Температурные напряжения.

При температурном воздействии любой материал подвергается деформированию за счет изменения объема (расширение или сужение). При ограничении таких деформаций в материале возникают напряжения, называемые температурными напряжениями. При неограниченном деформировании напряжений в материале не возникает. Ограничение температурных деформаций может быть вызвано следующими факторами:

1.взаимодействием с другими элементами конструкции или окружением;

2.внешними силами и реакциями связи;

3.неоднородностью материала и (или) его свойств по объему элемента.

Для стержневых элементов определяющее значение имеют деформации

вдоль их оси. Связь между перепадом температур T T2 T1 в материале стержня и изменением его длины lT линейна и описывается уравнением:

lT αT l0 T ,

где αT – температурный коэффициент линейного расширения (ТКЛР) материала,С–1; l0 – начальная длина стержня, м.

Значения ТКЛР для ряда материалов представлены в таблице.

В ряде случаев, кроме температурных деформаций в элементе конструкции возникают деформации от внешних нагрузок. Общая деформация l определяется как сумма температурной деформации lT и деформации от действия нагрузок lN :

l lT lN ;

При этом необходимо учитывать, что напряжения от температурного расширения возникают только при условии ограничения деформации lT на некото-

рую величину lR , причем пропорционально только величине ограничения температурной деформации lR .

Таблица

Температурные коэффициенты линейного расширения

Материал	ТКЛР, 10–6 С–1
Алюминий	22,2
Сталь	13,0
Медь	16,6
Бетон	14,5
Древесина	3,5–5,0
Полимеры	50–200

Таблица

Схемы деформирования с учетом температурного воздействия

Вид нагружения

Деформации и напряжения

1) нагрев на величину T :

– удлинение

l lT αT l0 T ;

– напряжения

σ σT σN 0 – так как отсутствуют

ограничения для температурного расши-

рения lT

2) нагрев на величину T при ограничении дефор-

– удлинение ( N R ):

мации:

l l l

α l T R l0 ;

E A

– напряжения:

lR E 0 R

R B

σ σ

– опре-

опора

деляется величиной ограничения темпе-

ратурной деформации

3) нагрев на величину T при растяжении силой F:

– удлинение ( N F ):

l l l

α l T F l0 ;

E A

– напряжения:

B B'

B''

0 lF E F

σ σ

– опре-

деляется величиной внешней нагрузки

4) нагрев на величину T при сжатии силой F:

– удлинение ( N F ):

l lT lF

αT l0 T

F l0

;

lF= lR

E A

– напряжения:

B B'

B''

σ σ

lR E lF E F

=σ

–

определяется

величиной

внешней

нагрузки

6.3.1. Примеры расчета с учетом температурных напряжений

Пример 1: температурные напряжения.

								Неоднородный стержень, изготовленный из
					lT	меди (ступень 1) и стали (ступень 2) соответствен-
					lT	но с длинами l1			a , l2 b и площадью A1	и A2 ,
						но с длинами l1			a , l2 b и площадью A1	и A2 ,
	2	A2=100 см		2		установлен между опорами с зазором = 5 мм.
A1=200 см		A2=100 см				После установки стержень нагрели на 300 С ( Т =
						После установки стержень нагрели на 300 С ( Т =
	R			R	C	300 С).
B	R			R	C	Дано: 1. ТКЛР			материалов: α1 16,6 10	6	C ,
	медь		сталь			Дано: 1. ТКЛР			материалов: α1 16,6 10		C ,
	медь		сталь					13,3 10 6	C ; 2. Упругие характеристики:
						α	2	13,3 10 6	C ; 2. Упругие характеристики:
	1		2		lN		2
	1		2		lN	E1 100 ГПа ;			E2 200 ГПа .
	a=1м		b=1,5м			Определить напряжения в медной и стальной сту-
						пенях стержня.

Решение:

При отсутствии опоры С полное удлинение при нагреве ступенчатого стержня равно величине lT и состоит из температурных удлинений ступеней из меди ( l1 ) и стали ( l2 ):

lT l1 l2 α1 l1 T α2 l2 T T (α1 l1 α2 l2 );

Подставив известные величины получим:

lT 300 (16,6 10 6 1 13,0 10 6 1,5) 10,8 10 3 м 10,8 мм;

Однако стержень может свободно деформироваться только на величину зазора = 5 мм, отсюда температурные деформации будут ограничены на величину lR (см. рис.) равную:

lR lT 10,8 5 5,8 мм;

Т.е. с торца стержня в точке С должна возникнуть реакционная сила R препятствующая растяжению на величину lR , иначе – с торца стерня нужно приложить силу R способную его

сжать на величину lR .

В виду отсутствия активных внешних сил в ступенях стержня будут возникать усилия равные значению реакции связи:

N1 N2 R ,

Отсюда следует, что деформации сжатия совместно для двух ступеней под действием внутренних усилий N должны быть равны величине сжатия lR свободно деформированного

при нагреве стержня:
	N1 l1	N2 l2		l1		l2
lR l1 l2			R					;
		E2 A2		E1		E2
	E1 A1				A1		A2

Величина реакции:
R lR		l		l	5,8 10 3				1					1,5
	/	1		2		/
	/	E1		E2 A2		/	10	9	200	10	4		10	9	100	10	4
		E1	A1	E2 A2		100	10		200	10		200	10		100	10

		4,64 106				H 4,64 MH;
Напряжения в ступенях стержня:
– первая ступень (медь):
σ		N			4,64 106		232 106 Па 232 МПа;
		1

	1	A			200 10 4
		A			200 10 4
		1
– вторая ступень (сталь):
σ		N	2	4,64 106			464 106 Па 464 МПа;
σ	2	A	2	100 10 4			464 106 Па 464 МПа;
	2

		2

Пример 2: совместное действие температуры и внешних сил.

Жесткий брус KD закреплен шарнирно в точке К и удерживается в горизонтальном положении стержнями 1 (BV) и 2 (DJ). В процессе эксплуатации брусс нагружен сосредоточенной силой F и стержень 2 испытывает нагрев на 200 С ( T 200 C ).

						Дано:
V	1		2	J		1.	материал – Ст.3
y	1	2	2			2.	допускаемые напряжения при рас-
	A1=2 см	2	2			2.	допускаемые напряжения при рас-
	A1=2 см		A2=4 см			тяжении – σ 100 МПа;
			T=200wС		м	тяжении – σ 100 МПа;
			T=200wС		1,25		Модуль упругости – E 200 ГПа ;
	N1			N2		3.	Модуль упругости – E 200 ГПа ;
							ТКЛР – α 13 10 6 С 1
YK			F-?		x	4.	ТКЛР – α 13 10 6 С 1
K XK B		C		D	x	Определить: Максимально возможную
K XK B		C		D		Определить: Максимально возможную
						нагрузку F из условия прочности.
1 м	1 м		1 м
					Решение:
1. Обозначим систему координат xy.

2. Обозначим неизвестные усилия в стержнях ( N1 , N2 ) и реакции в опорах (YK , X K ).

3. Вычислим степень статической неопределимости системы.

C E I 3 n 6 4 3 3 1

4. Рассмотрим равновесие системы.
1. Fx 0;	X K 0;

2.Fy 0; YK N1 F N2 0;

3.MO (Fi ) 0; N1 1 F 2 N2 3 0. (*)

5.Составим уравнение совместности деформаций.

	1
B	δΒ=Δl
B
B'

l l F2 T2 δD

KBB ' KDD '

BB '

DD '

;

BB '

DD '

DD ' 3 BB ' ;

BB ' δB lF

N1 l1

;

E1 A1

DD ' δD lT

α l2 T

N2 l2

;

lF 3 lF –

уравнение совместно-

сти деформаций;

α l

N2 l2

N1 l1

; (**)

E2 A2

E1 A1

6. Определим максимально допустимые усилия в стержнях используя условие прочности при растяжении (сжатии).

N1 A1 100 106 2 10 4 20 103 H 20 кН ;

N2 A2 100 106 4 10 4 40 103 H 40 кН . 7. Определим величину допускаемой силы F.

Решая систему уравнений (*) и (**) выразим последовательно силу F только через N1, а затем только через N2.

Из уравнения (**):

										E2 A2								N1 l1										9			4
							N2			E2 A2		3						N1 l1				α l2 T						200 10 4 10
							N2				l2	3										α l2 T
											l2							E1 A1										1, 25						;
											N1 1, 25																							;
											N1 1, 25														6								3
					3														13 10							1, 25 200 6 N1			208 10
					3				9									4	13 10							1, 25 200 6 N1			208 10
									200 10 2 10
											E1 A1				N2 l2													9		4
								N1			E1 A1				N2 l2						α l2 T						200 10 2 10
								N1			3 l1			E2 A2							α l2 T							3 1, 25
											3 l1			E2 A2														3 1, 25						;
									N2 1, 25																									;
									N2 1, 25														6											3
																13				10				1, 25 200				0,17 N2	34,7			10
									9				4			13				10				1, 25 200				0,17 N2	34,7			10
						200 10 4 10
Из уравнения (*):
– через N1:
											N 1 F 2 3 (6 N 208 103 ) 0;
									1																1
F			1	(19 N 624 103 ) 9,5 20 103																					312 103			122 103 H 122 кН;
F				(19 N 624 103 ) 9,5 20 103																					312 103			122 103 H 122 кН;
N		2						1
	1	2
	1
– через N2:
									(0,17 N2 34,7 103 ) 1 F 2 N2 3 0;
F	1	(3,17 N						34,7 103 )							1		(3,17 40 103 34,7 103 ) 80,8 103 H 80,8 кН;
F		(3,17 N					2	34,7 103 )									(3,17 40 103 34,7 103 ) 80,8 103 H 80,8 кН;
N2	2						2							2
	2													2
Окончательно принимаем:												Fmax FN2 80,8 кН;

6.4. Монтажные напряжения

Монтажные напряжения – это напряжения, возникающие при сборке отдельных деталей в один узел, появляются в результате неточности изготовления формы и размеров элементов конструкции.

При сборке конструкций из стержневых элементов основной причиной возникновения монтажных напряжений является избыточная или недостаточная длина стержня. Как правило, отклонение размера от требуемой величины на расчетной схеме обозначают . Связь с удлинениями стержней li определяется из

условия совместности деформирования элементов системы.

6.4.1. Примеры расчета с учетом монтажных напряжений

Пример 1:

При сборке конструкции выявлено, что длина второго стержня l2 короче требуемой на малую величину .

За счет принудительного деформирования сопрягаемых элементов в них возникают монтажные напряжения σm .

Дано: l1 l2 l ; E1 A1 E2 A2 E A D ;

Определить: σm ?

2		l1
2

l2 l2

исходная схема система в деформированном состоянии Из условия равенства жесткости одинаковых стержней они удлинятся на равную величину:

l l	2	l – уравнение совместности деформаций;
1	2	2
		2
Согласно закону Гука: σ E ε .
Относительные деформации стержней: ε				l				;
Относительные деформации стержней: ε			m	l				;
			m		l		2 l
					l		2 l
Монтажные напряжения в стержнях: σm			E

					2	l
					2	l

При E 200 109 Па ; l 2 м ; 1 мм :

σ 200 109 1 10 3(2 2) 50 106 Па 50 МПа

Пример 2:

Определить монтажные напряжения в элементах конструкции после ее сборки.

Дано: Ai A 1 см2 ; E 200 ГПа ; 2 мм .

Определить: Ni ?

1 м

2		w	N2 N3 3
		w	3
	3	0	0
		0	w

			B
			B'
2 м			1
2 м			N1

	3	30	w
	0w	30
w			3
0			0
0				w
3	B
	B		K
			K
	B''	l	3
l2	B''
l2			1
		l

система в деформированном состоянии

исходная схема 1. Запишем уравнение совместности деформаций.

После сборки элементов конструкции точки B и B ' принадлежащие за счет деформи-

рования стержней смещаться в точку B '' Рассмотрим ВВ'' K :

BB'' K α ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.2019388.41 Кб3Социализация.rtf
#
27.11.201942.87 Кб8Социология. Культ личности.docx
#
24.04.2019165.89 Кб2Социология_материалы_ТДС.doc
#
26.03.201534.83 Кб21Специфика проектирования....docx
#
26.03.2015185.86 Кб27Спецификация(ТОЛЬКО 2 ЛИСТА).doc
#
26.03.20153.48 Mб25Спиглазов_Механика материалов для з.о..pdf
#
26.03.201530.33 Кб51Список частотных отрезков.docx
#
26.03.201546.59 Кб73справка о доходах.doc
#
27.11.201969.04 Кб18Сравнительный анализ стратегии урегулирования с...docx
#
26.03.2015384.51 Кб17СТАНДАРТ БГТУ 12.05.2007-только прилож.doc
#
26.03.2015573.44 Кб44СТАНДАРТ БГТУ 12.05.2007.doc