Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1262 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Спиглазов_Механика материалов для з.о

..pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
3.48 Mб
Скачать
☆

F2=15 кН

F1=10 кН

4R3π

y

d=15 см

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

b=1,5 м

 

 

 

 

а=1 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

10

эп. Q (кН)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

"+"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"-"

"+" 0

"-"

10 эп. М (кН*м)

47,5

1. Строим эпюры Q и Mизг.

M zmax 47,5 кН м , Qmax 25 кН .

Определяем нормальные напряжения

 

 

 

 

 

M max

 

, Wz

π d 3

 

 

 

σmax

z

 

 

,

 

 

Wz

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

47,5 103

32

143, 4 МПа

max

3,14 0,153

 

 

 

 

 

Определяем касательные напряжения

 

 

 

Q S отс

 

 

 

 

π d 2

4 d

 

d 3

τ

 

 

 

z

, S отс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iz

b

 

 

 

 

z

 

 

 

8 2 3 π 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

π d 4

,

b d ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

Q 64 d

3

 

1,7

Q

,

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 π d 5

 

d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τmax 1,7

 

47,5 103

 

3,58 МПа .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.7. Напряжение в наклонных сечениях при изгибе. Главное напряжение.

Воспользуемся теорией для плоского напряженного состояния

 

 

 

 

 

 

 

 

σ1 σ2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

max

 

 

σ σ

2

2

4 τ2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ 2

4 τ2 .

σ

2

, σ

max

 

 

 

σ 2

4 τ2

, τ

max

 

 

 

 

 

 

2

2

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.8. Рациональная форма сечения балки.

Из формулы для определения нормальных напряжений можно сделать следующий вывод: чем больше осевой момент инерции у сечения, тем меньше величина напряжений, следовательно, рациональными при изгибе будут такие сечения, у которых, при одинаковой площади сечения, материал «максимально удален» от нейтральной линии или центра тяжести.

σmax

M max

y

max

, Iz y2dA .

 

z

 

 

 

 

 

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

более рациональная форма

Расчет рациональных форм сечений при изгибе балок из хрупких материалов сводится к тому, что бы подобрать такое сечение, в котором опасное состояние для растянутых и сжатых волокон наступало бы одновременно.

 

 

 

с

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

3

σ

 

,

 

 

 

σc

 

 

σ

 

 

 

yс

 

 

σc

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

.

ymax

 

ymax

ymax

σ

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

р

 

 

 

р

 

 

 

р

 

9.9. Расчет на прочность при изгибе

9.9.1. Изгиб балок

При изгибе балок в поперечном сечении возникают нормальные напряжения двух знаков: отрицательные (сжатие) и положительные (растяжение). Тогда в общем случае условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям имеет вид:

σmax σ

 

;

σmax

 

σ

.

p

 

p

 

c

 

c

Т.е. сравнение с допускаемыми напряжениями осуществляется как максимальных сжимающих, так и максимальных изгибающих напряжений в сечении.

Окончательно при изгибе балок получим:

 

 

 

 

 

ymax

 

 

 

σmax M

 

 

р,с

σ

 

 

 

z

 

 

 

p,c

 

 

 

р,с

 

 

 

 

 

Iz

 

где

ymax

– соответственно, максимальные расстояния от оси изгиба до дочек

 

р,с

 

 

 

 

 

 

наиболее удаленных от нее в сторону растянутых и сжатых волокон

а) Балки из материалов с равной прочностью при растяжении и сжатии

Условие прочности:

 

 

 

 

 

σmax M

 

 

ymax

 

σ

 

 

 

 

 

z

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или σ

max

 

M zmax

 

σ ,

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

где

Wz

Iz

– под y

max

понимают расстояние от центральной оси сечения до

ymax

 

наиболее удаленной точки сечения. При этом не имеет значение в растянутой или сжатой зоне сечения находится эта точка.

Данное условие прочности позволяет решать все типы задач, что и условие прочности при растяжении:

1.Проверочные расчеты;

2.Конструкционные расчеты;

3.Монтажные расчеты (проверка несущей способности);

Подборе сечения из стандартного проката (конструкционный расчет):

1. Из условия прочности определяем требуемое значение осевого момента сопротивления:

M max

Wz z ;

σ

2. Из справочных таблиц (по ГОСТ) выписывают ближайшее меньшее и ближайшее большее значение Wz для стандартных профилей.

Например:

–расчетное значение Wz = 189 см3;

–из таблицы для двутавров:

I №20 – Wz = 184 см3;

II№20а – Wz = 198 см3;

3.Для меньшего профиля вычисляют максимальные напряжения и опреде-

ляют процент перегрузки:

%П

σmax σ

100% 5%

σ

 

 

 

4.Если перегрузка превышает [5%], то используют профиль с большим Wz.

5.Из справочника выписывают площадь поперечного сечения балки.

Подбор сечений в виде простых фигур (круг, прямоугольник и т.д.):

1. Определяют требуемое значение осевого момента сопротивления (или инерции) используя условие прочности:

M max

Wz z ;

σ

2. По известному значению момента сопротивления рассчитывают размеры поперечного сечения:

 

 

yc

 

max

 

d

 

y

c

zc

y

 

 

d

; W

π d 3

;

max

 

 

 

 

 

 

2

 

 

z

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 3

32 Wz

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

A

 

π d

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yc

 

max

с

zc

y

h

 

 

 

b

 

h k b;

 

y

 

 

 

h

;

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

b h2

 

k 2

b3;

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 3

6 Wz

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2

 

 

 

 

 

 

 

 

A b h k b2 ;

 

 

 

 

 

 

yc

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h y

 

 

c

zc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h/3

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h k b; y

2

h 2 k b;

 

 

 

 

 

max

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

b h3

k3

b4 ;

W

k 2

 

z

 

 

b3;

 

 

 

36

36

 

z

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

b 3 24 Wz ;

A 1 b h

 

1 k b2

;

 

 

 

k 2

 

2

 

 

2

 

3.По полученным размерам рассчитывают площадь поперечного сечения

балки:

4.Если задано несколько типов сечений, то окончательно выбирают оптимальное.

Оптимальным является балка с сечением меньшей площади, так как при одинаковой длине обладает меньшей массой, а следовательно ниже затраты материала.

б) Материалы с разными значениями допускаемых напряжений при растяжении и сжатии ( σ p σ c ).

Рассмотрим наиболее общий случай, когда эпюра M имеет разные знаки и сечение не симметрично относительно нейтрального слоя.

эп. Ми (Н*м)

 

y

 

 

 

Mиmax (+)

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

"+"

c

 

z

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

"-"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Mиmax (-)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

В этом случае необходимо рассматривать оба сечения балки с

M max( )

и

 

 

 

 

 

 

и

 

M max( ) :

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

1. определим σmax

и σmax

в сечении с M max( ) :

 

 

 

 

 

p

c

и

 

 

 

 

 

Mи 0

– положительное

1

y

1

эп. σ, Па

(Mmax (+))

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

значение

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

y

 

 

сжатие

 

c

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

y

 

 

растяжение

2

2

 

 

 

 

 

 

"-" 0 "+"

Вдоль линии 1-1 точки испытывают напряжения сжатия, величиной:

 

max

σ1-1

 

 

M max( )

 

 

 

 

и

y1;

 

 

σc

 

 

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вдоль линии 2-2 точки испытывают напряжения сжатия, величиной:

 

max

σ2-2

 

M max( )

 

 

 

и

y2 ;

 

 

σp

 

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. определим σmax

и σmax в сечении с M max( ) :

 

p

c

 

 

 

 

и

 

 

Mи 0 – отрицательное

1

 

 

 

y

1

эп. σ, Па (Mиmax (-))

 

 

 

 

 

значение

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

растяжение

 

 

 

 

c

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

сжатие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

"-" 0 "+"

 

 

 

 

 

 

 

 

Вдоль линии 1-1 точки испытывают напряжения растяжение, величиной:

 

max

σ1-1

 

 

M max( )

 

 

 

 

и

y1;

 

 

σp

 

 

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вдоль линии 2-2 точки испытывают напряжения сжатия, величиной:

 

max

σ2-2

 

 

M max( )

 

 

 

 

и

y2 ;

 

 

σc

 

 

Iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) по полученным значениям проверяют прочность балки.

в) Расчет на прочность рамных конструкций

В отдельных стержнях рамы кроме изгибающих моментов действуют и продольные нагрузки. От этих обоих ВСФ в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения, следовательно, сумарные напряжения в сечении получают сложением этих компонент с учетом знаков:

σ σи σр,с σ ,

где σ

 

M

 

 

ymax

 

M z

– нормальные напряжения изгиба; σ

 

 

N

– нормальные

и

z

р,с

 

 

 

A

 

 

 

Iz

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напряжения растяжения сжатия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получим условие прочности для стержней при совместном дей-

ствии изгиба и растяжения сжатия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ M z

ymax

 

N

σ или σ

M z

 

N

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iz

A

 

Wz

A

 

 

 

 

Рассмотрим пример:

Рама выполнена из стержней круглого поперечного сечения диаметром d равным 100 мм. Выполнить проверку на прочность.

 

0,4 м

50

50

 

 

K

 

B

 

 

м

 

 

0,25

эп. N (кН)

 

 

C

 

 

F=50 кН

12,5

12,5

 

50

 

12,5

эп. Q (кН)

 

эп. M (кН*м)

 

 

50

Из эпюр изгибающих моментов и продольных силовых факторов определяем наиболее нагруженную точку стержней. В нашем случае это точка К, в ней:

M max 12,5 кН м;

N

p

50 кН.

z

 

 

Геометрические характеристики сечения:

A

π d 2

 

3,14 102

78,5 см2 ;

W

π d 3

 

3,14 103

98, 2 см3;

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

z

32

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π d 4

3,14 104

490,9 см4 ;

 

 

 

 

I

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжение в опасной точке:

σ

M z

 

N

 

12,5 103

 

50 103

133,7 106

 

 

98, 2 10 6

78,5 10 4

 

W

A

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

Условие прочности выполняется. Построим эпюру суммарных нормальных

нент по высоте сечения:

– точка Е:

Па 133,7 МПа σ 160 МПа;

напряжений и отдельных компо-

σE M

 

 

y

E

12,5

103

5 102

 

127,3 106 Па 127,3 МПа;

 

 

 

 

 

 

 

и

 

z

 

 

I

z

 

 

490,9 10 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σE

N

 

 

 

50 103

 

6, 4 106

Па 6, 4 МПа;

 

 

р

A

 

 

 

78,5 10 4

 

 

 

 

 

 

 

 

суммарные напряжения:

σE σE

σE

127,3 6,4 133,7 МПа;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

р

 

 

 

– точка D:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σD M

 

 

y

D 12,5 103

5 102

127,3 106

Па 127,3 МПа;

 

 

 

 

10 8

 

и

 

 

 

z

 

I

z

 

 

490,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σD

N

 

 

 

50 103

 

6, 4 106

Па 6, 4 МПа;

 

 

р

A

 

 

 

78,5 10 4

 

 

 

 

 

 

 

 

суммарные напряжения: σD σD

σD

127,3 6,4 120,9 МПа;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

р

 

 

 

 

 

 

y

 

D

 

127,3

эп. σи, Па

эп. σр, Па

120,9 эп. σ, Па

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,4

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,4

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

"-" 0 "+" 127,3 "-" 0 "+"

"-" 0 "+"

133,7

9.10. Вопросы для самоконтроля.

1.Общие положения.

1.1.Понятие изгиба.

1.2.Виды изгиба.

1.3.Чистый изгиб.

1.4.Поперечный изгиб.

1.5.Продольный изгиб.

1.6.Продольно-поперечный изгиб.

1.7.Прямой (плоский) изгиб.

1.8.Косой изгиб.

1.9.Пространственный изгиб.

2.Построение эпюр ВСФ для балок, работающих на изгиб (см. раздел 2 конспекта).

3.Определение нормальных напряжений при изгибе.

3.1.Вывод формулы нормальных напряжений (Чистый изгиб), основные допущения.

3.2.Понятие нейтрального слоя.

3.3.Понятие нейтральной линии.

3.4.Радиус кривизны и кривизна нейтральной линии.

3.5.Деформации при изгибе и их связь с геометрией поперечного сечения.

3.6. Формула нормальных напряжений при изгибе. 3.7. Связь нормальных напряжений с ВСФ.

3.8. Условия прочности при изгибе, две формы.

3.9. Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения. 4. Поперечный изгиб.

4.1. Деформирование балки при поперечном изгибе, виды напряжений.

4.2. Основные допущения при поперечном изгибе.

4.3. Расчет нормальных напряжений при поперечном изгибе. 4.4. Расчет касательных напряжений при поперечном изгибе.

4.5. Формула Журавского для касательных напряжений при изгибе. 4.6. Эпюра касательных напряжений по высоте сечения.

4.7. Примеры использования формулы Журавского при изгибе. 5. Напряжение в наклонных сечениях при изгибе. Главное напряжение.. 6. Рациональная форма сечения балки.

7. Расчет на прочность при изгибе.

7.1. Типы решаемых задач при расчете на прочность.

7.2. Изгиб балок из материалов с равной прочностью при растяжении и сжатии.

7.3. Подбор сечений из простых геометрических фигур. 7.4. Подборе сечения из стандартного проката

7.5. Изгиб балок Материалы с разными значениями допускаемых напряжений при растяжении и сжатии ( σ p σ c ).

7.6.Расчет на прочность рамных конструкций

8.Примеры расчета на все типы изгиба.

8.1.Типы решаемых задач при расчете на прочность.

8.2.Нормальные напряжения при совместном действии изгиба с растяжением, эпюры.

8.3.Условие прочности для рамных конструкций

К содержанию

10. Деформации и перемещения при поперечном прямом изгибе.

10.1. Общие понятия. Условие жесткости.

Под действием внешних сил балка искривляется, сечение балки начинает перемещаться и при этом поворачивается. Поэтому часто бывает необходимо обеспечить не только прочность, но и жесткость балки – прогиб не должен превышать установленного допускаемого значения. Допускаемое значение прогиба [y] определяется из конструктивных соображений, однако для большинства балок вводят эмпирические значения:

а) для балок на двух опорах прогиб не должен превышать 1/400 от длины пролета (расстояние между двумя опорами):

 

 

y

l

;

 

 

 

 

400

 

 

б) для консольных балок прогиб не должен превышать 1/100 их длины:

 

 

y

l

;

 

 

 

 

100

 

 

Таким образом, условие жесткости балки имеет вид:

 

 

 

ymax y

 

 

Рассмотрим прямой поперечный изгиб.

 

 

 

 

ρ

 

 

C'

 

 

 

θ

 

 

F

 

 

 

 

 

 

y

y

B'

 

θ

f

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

δy

 

 

C

x

 

 

 

 

 

 

O

 

δr

B

 

F

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

Под действием силы F первоначальная ось OBC балки превращается в кри-

вую OB`C`.

Ось балки в деформированном состоянии называется изогнутой осью или

упругой линией балки.

При поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Поэтому под перемещением сечения понимают перемещение его центра тяжести, а под углом поворота – угол при котором поворачивается при изгибе нормаль, проведенная к оси балки в заданной точке сечения (между начальным и конечным ее направлениями).

Так как при изгибе балки длина нейтральной линии остается постоянной, то наблюдается горизонтальное и вертикальное смещение точек балки.

На рисунке центр тяжести произвольного поперечного сечения (точка В) перемещается на расстояние и занимает положение B`.

Перемещение можно разложить на x (горизонтальную) и y (вертикальную) составляющие. Угол наклона сечения , на который повернется сечение, равен углу между касательной, проведенной к нейтральной линии в рассматриваемом сечении к оси x.

При малых углах поворота, имеющих место на практике, горизонтальным смещением x точек можно пренебречь ввиду его малости по отношению к вертикальному смещению y, т. е. δ δy .

Таким образом, прогиб балки – перемещение центра тяжести сечения в рассматриваемой точке по длине балки в направлении перпендикулярном начальной оси балки. Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба и обозначается буквой f.

Прогиб считается положительным, если перемещение точек упругой линии происходит вверх по отношению к первоначальному положению (в направлении оси y), и отрицательным – если точки смещаются вниз.

Угол считается положительным при повороте сечения против часовой стрелки.

θ "+"

y "+"

y

 

x

 

y "-"

x

θ "-"

y

θ "+"

-"

F1

y "

 

x

x

F2

 

ρ

Как видно из примеров и прогибы и углы поворота сечения зависят от координаты x по длине балки:

y f1(x);

θ f2 (x).

Для определения перемещений при изгибе воспользуемся уравнением, связывающим кривизну балки с изгибающим моментом и с жесткостью балки на изгиб (см. выше):

К

1

 

Mи

,

(1)

 

 

 

ρ

 

E Iz

 

где – радиус кривизны.

Согласно математическим представлениям кривизна плоской кривой в произвольной точке определяется выражением:

K

 

y

 

 

 

 

 

,

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mи

 

y

 

 

 

 

 

 

 

.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

E Iz

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 y

 

 

 

 

 

 

 

Точное решение уравнения (3) трудоемкое, поэтому примем некоторое допущение:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности