Спиглазов_Механика материалов для з.о

Напряженное состояние – совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через одну и ту же точку.

Полное напряжение в точке можно определить по формуле: p σ2 τ2 .

3.3. Связь напряжений с ВСФ

3.4. Перемещения и деформации.

Под действием любых типов нагрузок все тела изменяют свои размеры и форму, т.е. деформируются. Деформации по типу изменения геометрии бывают:

–линейные – изменение линейных размеров тела;

–угловые – изменение угловых размеров тела.

Экспериментально установлено, что для каждого материала ε// ε =const .

Отношение между относительными продольной и поперечной деформациями взятое с противоположным знаком называется коэффициентом Пуассона (безразмерная величина):

με .

ε/ /

Значение µ характеризует упругие свойства материала и называется упругой постоянной материала. Значение µ определяется экспериментально, для изотропных материалов 0 μ 0,5 .

перечная деформация (в долях или %), не может быть более 100%.

Любое сложное деформирование может быть разложено на три линейных и три угловых (по направлением осей пространственной системы координат).

Различают деформации упругие, исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные – не исчезающие после снятия нагрузки.

Свойство материалов приобретать остаточные деформации называется пла-

стичностью.

Перемещения точек являются следствием деформаций.

Перемещение точек – кратчайшее расстояние между крайними положениями точек до и после деформирования в направлении приложения нагрузки.

Участок ВС деформируется, его точки перемещаются на разные расстояния (величина перемещения возрастает по мере удаления от защемления). Участок АВ не деформируется – все точки перемещаются на одинаковую величину.

3.5.Вопросы для самоконтроля

1.Общие сведения о напряжениях.

1.1.Понятие напряжения.

1.2.Единицы измерения.

2.Составляющие полного напряжения.

2.1.Понятие нормальных напряжений.

2.2.Понятие касательных напряжений, составляющие касательных напряжений.

2.3.Напряженное состояние.

2.4.Полное напряжение.

3.Связь напряжений с ВСФ.

4.Перемещения и деформации.

4.1.Деформации по типу изменения геометрии.

4.2.Понятие абсолютной и относительной деформации.

4.3.Определение деформаций.

4.4.Коэффициент Пуассона, диапазон значений.

4.5.Деформации по способу воздействия на материал.

4.6.Понятие упругих и остаточных деформаций.

4.7.Понятие перемещения точек.

К содержанию

Данное условие прочности справедливо при многих видах нагружения, в том числе и при растяжении (сжатии).

Допускаемые напряжения [ ] для любых материалов определяются по результатам экспериментальных исследований и назначения конструкции.

При растяжении (сжатии) условие прочности имеет вид:

σmax Nmax [σ],

A

где Nmax – наибольшее значение продольного силового фактора, на участке стержня с площадью А (берут только из эпюры);

4.2.2. Варианты использования условия прочности.

Условие прочности для любых видов нагружения позволяет решать ряд задач механики материалов и конструкций. Для растяжения (сжатия):

1. Проверочные расчеты – позволяет определить выполнение условия безопасной работы конструкции с известными размерами (площадь А) при известных

нагрузках (Nmax = f(Fe));

2. Конструкционные расчеты – определение размеров элементов (площади А) по заданным нагрузкам (Nmax = f(Fe)) при известном значении свойства материала ([ ]):

A Nmax .

[σ]

3. Монтажные расчеты (несущая способность конструкции) – это определение допускаемой нагрузки ([F] F f (N) ) при известных размерах конструк-

ции (площадь А) и свойствах материла ([ ]):

N [N] [σ] A [F] F f (N) ,

где значение F определяется из уравнений равновесия статики при рассчитанном из условия прочности N .

4.2.3. Пример расчета конструкции на прочность.

Для конструкции, показанной на рисунке определить величину допускаемой силы из условия прочности стержня CD. Брус ВК жесткий, недеформируемый.

1.Обозначим систему координат xy с началом в точке В;

2.Рассечем стержень. Отбросим ту его часть, которая не связана с элементами, воспринимающими внешнюю нагрузку (F);

3.Укажем вектора внутренних усилий в стержнях (NCD) и реакции в опорах (YB, XB);

4.Составим для плоской произвольной системы сил уравнения равновесия статики:

Fx 0; X B NCD cos(α) 0;

Для расчетов на прочность имеет значение только внутреннее усилие в стержне – которое можно найти из третьего уравнения равновесия в виде функции от внешней силы F:

5. Из условия прочности определим максимально возможное значение N для стержня.

4.3. Деформация при растяжении (сжатии).

При осевом растяжении (сжатии) в брусе возникает только линейная деформация (продольная и поперечная).

4.3.1. Закон Гука

На основании обобщения экспериментальных данных в 1776 г. Ф. Гук сделал обобщение, названное законом Гука:

– в определенных пределах между нагрузкой и деформацией существует прямо-пропорциональная зависимость.

В относительных единицах данную зависимость можно представить в виде: σ E ε ,

где E – коэффициент пропорциональности между нагрузкой и деформацией,

называемый модулем упругости первого рода или модулем Юнга.

Модуль Юнга этот упругая характеристика материала, определяемая экспериментально – характеризует способность материала упруго сопротивляется деформированию.

В абсолютных единицах закон Гука представлен выражением:

где произведение EA – жесткость стержня при растяжении.

Чем выше жесткость конструкции, тем меньше величина его деформации при одной и той же нагрузке. Жесткость можно увеличить за счет выбора материала с большим значением Е или увеличив размеры сечения (площадь А).

4.4. Расчет на жесткость при растяжении (сжатии).

По аналогии с расчетами на прочность, безопасность работы любой конструкции может быть связана с допускаемой величиной деформации [ε] и допускаемым перемещением (смещением) точек [δ]. Условие жесткости можно записать в виде:

εmax [ε] или δmax [δ]

Данное условие жесткости справедливо при многих видах нагружения, в том числе и при растяжении (сжатии).

Допускаемые деформации [ε] для любых материалов определяются по результатам экспериментальных исследований и назначения конструкции, допускаемые перемещения [δ] задают по конструктивным соображениям.

При продольном растяжении (сжатии) условие жесткости имеет вид:

где Nmax – наибольшее значение нармальных напряжений по длине стержня, на

участке стержня с площадью А (берут только из эпюры).

Если точка непосредственно не связана с деформируемым элементом, то ее перемещение определяется геометрической связью между жесткими и деформируемыми элементами согласно определенных правил и допущений.

4.4.1. Правила построения деформированной системы.

Правила справедливы только для случая малых деформаций.

1.Закон перемещения определяется подвижным или неподвижным жестким элементом (шарнир, жесткий брус) относительно точки его крепления (рис. 3.2. – д, е, и, к) или из баланса жесткости стержней (рис. 3.2. – а, б, в, г, ж, з) в направлении главного вектора внешних сил.

2.Вследствие малости деформаций (перемещений) по отношению к размерам конструкции все точки, принадлежащие жесткому брусу, смещаются по перпендикулярам к их исходному положению. При этом жесткий брус может совершать вращательное (рис. 3.2. – д, е, к), линейное (рис. 3.2. – а, г, ж, и) или плоскопараллельное движение (рис. 3.2. – б, в). Характер движения зависит от способа крепления бруса.

3.Смещение подвижного шарнира возможно только в направлении степени свободы (рис. 3.2. – и);

4.Смещение внутреннего шарнира обусловлено балансом жесткости стержней или траекторией перемещения жестких элементов (согласно п.2.) (рис. 3.2. – и);