Спиглазов_Механика материалов для з.о

9.2.Построение эпюр ВСФ для балок, работающих на изгиб (см. раздел 2)

9.3.Построение эпюр ВСФ для рам (см. раздел 2)

9.4.Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, попе-

речной силой и равномерно распределенной нагрузкой.

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой.

Определим величину поперечной силы Q на произвольном расстоянии x от

опоры A.

Q YK q x .

Определим величину поперечной силы Q на некотором малом расстоянии dx от предыдущего сечения.

Q dQ YK q x q dx YK q x dx , отсюда dQ q dx , q dQdx .

Таким же образом рассчитаем изменение изгибающего момента:

x : M YK x q x2 ; 2

x dx : M dM YK x dx q x dx 2

2

Отсюда следует, что:

Q dMdx – правило Журавского.

9.5.Определение нормальных напряжений при изгибе

9.5.1.Вывод формулы нормальных напряжений (Чистый изгиб)

В общем случае при изгибе возникает два вида напряжения: нормальное и касательное.

Рассмотрим случай чистого изгиба (поперечная сила равна нулю, касательное напряжение отсутствует). Балка деформируется по дуге окружности.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Выделим произвольный участок балки длиной L. Нанесем на поверхность этой балки поперечные и продольные линии. После приложения нагрузки балка будет деформироваться.

При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений, т.е. поперечные сечения остаются плоскими и после деформации. Они лишь поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол d .

Из схемы видно, что при изгибе верхние волокна балки сжимаются (дуга 1’2’ короче, чем отрезок 12 = dx), а нижние – растягиваются (дуга 3’4’ длиннее чем отрезок 34 = dx), т.е. в сечении балки возникают нормальные напряжения ( ). Значит, есть слой, который не деформируется, т.е. не изменяет своей длины (длина дуги равна начальной длине участка балки L) – этот слой называется нейтральным слоем. След нейтрального слоя в поперечном сечении называется нейтральной линией – пересечение нейтрального слоя с поперечными сечениями.

При выводе формул будем использовать следующие допущения, принимаемые при определении напряжений.

1.При изгибе деформация волокон не зависит от их положения по ширине сечения.

2.Материал подчиняется закону Гука.

3.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии. Все внешние силы лежат

вэтой плоскости.

4.Соотношение между размерами балки такое, что она изгибается без скручивания и коробления.

Рассмотрим произвольный участок балки длиной dx. AB – слой, где необходимо определить напряжение, расположенный на расстоянии y от нейтральной линии.

C D CD dx ,

Радиус кривизны нейтральной линии можно определить через длину дуги dx и угол поворота поперечных сечений dQ:

ρ C D dx , dx dθ dθ dθ ρ

Отсюда кривизна нейтральной линии определяется по формуле:

Для определения нормальных напряжений в волокне AB воспользуемся законом Гука. Примем, что длина волокон АВ равна длине участка балки dx.

σE ε ,

εA B AB ρ y dθ dx , dx ρdθ ,

AB dx

Удлинение волокон, а, следовательно, и величина напряжений в них пропорциональны их расстоянию от нейтральной линии.

Таким образом, зная радиус кривизны нейтрального слоя при деформировании балки можно определить максимальные напряжения в материале.

Пример:

При поперечном изгибе касательные напряжения приводят к появлению угловых деформаций и деформаций сдвига. Поэтому поперечные сечения бруса будут не только поворачиваться друг относительно друга, но и будут искривляться (эффект депланации).