Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5330 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Спиглазов_Механика материалов для з.о

..pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
3.48 Mб
Скачать
☆

 

 

 

σ

max

 

σx σ y 1

σ

x

σ

y

2 4 τ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70 10

1

 

 

70 10 2

4 302 30 50 МПа;

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда: σ1 σmax

80 МПа ;

σ2 0; σ3 σmin

20 МПа

 

 

 

Проверка: σx σy

σ max σmin ;

70 ( 10) 80 ( 20);

60 60..

 

Угол наклона площадки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(2α) σ

2 τ

 

2 30

 

6

; α = 18,4 .

 

 

 

 

x

σ

70

10

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(α) σ

 

 

τ

 

 

30

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

σ

 

 

70

20

3

; α = 18,4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.4. Объемное напряженное состояние

 

y

 

σy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим

в окрестности точки эле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ментарный кубик с взаимно перпендику-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τyx

 

 

 

 

 

 

 

 

лярными гранями.

 

 

 

 

τyz

τxy

 

 

 

 

 

 

 

При пространственном напряженном

 

τ

 

σx

 

 

 

 

состоянии через каждую точку всегда мож-

 

zy

 

 

 

 

 

 

но провести три площадки, по которым ка-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τxz

 

 

 

 

 

 

 

сательные напряжения равны нулю. Такие

 

σz

τzx

 

 

 

 

 

 

 

площадки

называются главными площад-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ками, а нормальные напряжения, действу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

ющие

по

этим

площадкам – главными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напряжениями.

Главные

напряжения при

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трехосном напряженном состоянии принято

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначать

 

 

через

 

σ1, σ2 , σ3, причем

σ1 σ2 σ3. Все три главные площадки – взаимно перпендикулярны.

 

Сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно

перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть

величина постоянная:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σx σy σz σ1 σ2 σ3 const ;

σσ1 cos2 (α1) σ2 cos2 (α2 ) σ3 cos2 (α3);

1

τ (σ12 cos2 (α1) σ22 cos2 (α2 ) σ32 cos2 (α3 ) σ2 )2 .

7.5. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях

Рассмотрим произвольный элемент, нагруженный внешними силами. Покажем положение главной площадки. Определим относительные деформации 1, 2 по главным направлениям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон Гука: σ E ε .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент Пуассона: μ

ε

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε/ /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно принципу независимости дей-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствия сил запишем:

σ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ1

1

 

ε1 ε11 ε12 , ε2 ε22 ε21 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 11 – относительная деформация по первому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлению от 1; 12 – относительная деформа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ция по первому направлению от 2; 22 – относи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельная деформация по второму направлению от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2;

21 – относительная деформация по второму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлению от 1.

ε11 σE1 , ε12 μ σE2 μ ε22 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

σ2

,

ε

 

μ

σ1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон Гука для плоского напряженного состояния

ε

 

 

σ1

 

μ

σ2

;

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

σ1

 

 

–закон Гука для плоского напряженного состояния.

ε

 

 

μ

;

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

E

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

Из уравнения (1) выразим σ1

E ε1

μ

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

Из уравнения (2) выразим σ2

E

ε2 μ

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

σ1

E

ε1

μ

 

 

E

ε1

 

E

 

ε2 μ

 

1

 

 

E

ε1

μ ε2

μ

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ μ2 σ E

ε μ ε

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

E ε1 μ ε2

, σ

 

 

 

E ε2 μ ε1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 μ2

 

 

 

2

 

 

 

 

1 μ2

 

 

 

 

 

 

 

Проводя аналогичные рассуждения для объемного напряженного состояния получим:

ε1

 

σ1

 

 

μ

σ2

 

μ

 

σ3

 

 

1

 

σ1 μ σ2 σ3 ,

E

 

 

E

 

 

E

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

σ2

μ

 

 

σ1

 

μ

 

 

σ3

 

 

1

 

σ2 μ σ1 σ3 ,

E

 

 

E

 

 

 

E

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε3

 

σ3

 

μ

 

σ1

 

 

μ

 

σ2

 

 

1

 

σ3 μ σ1 σ2

E

 

 

E

 

 

 

E

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Полученные уравнения называют обобщенным законом Гука.

7.5.1. Изменение объема при объемном напряженном состоянии

y

 

σ1

 

 

 

Начальный объем:

 

 

 

 

 

 

 

σ3

 

 

 

 

 

V0 a b c ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объем под нагрузкой:

 

 

 

σ2

 

 

 

 

σ2

Vк a a b b c c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

c

,

c

 

 

 

 

 

a b c 1

 

 

1

 

 

1

 

 

σ

3

 

 

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x

 

Относительное

изменение

объе-

 

 

 

 

ма:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vк ,

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

 

 

 

 

 

С учетом выше приведенных выражений, получим:

εv Vк 1 εx 1 ε y 1 εz

V0

1 εx ε y εz εx ε y εx εz ε y εz εx ε y εz 1 ε x ε y ε z ;

результат произведения мал по отношению к εi

Относительное изменение объема называют объемной деформацией. Относительное изменение объема:

Vv V Vк V0 εx ε y εz .

V0 V0

Воспользовавшись обобщенным законом Гука в итоге получим:

Vv

1

σ1 σ2

σ3 2 μ σ1 σ2

σ3

1 2 μ

σ1 σ2 σ3 .

E

E

 

 

 

 

 

Пример:

Резиновый кубик ABCD уложен в стальную форму без зазора. Кубик подвергается давлению p. Определить напряжение x, деформацию x, y. Величины E и µ известны. Трением пренебречь, стальную форму считать абсолютно жесткой.

y

p

 

εy

 

 

 

σy=-p

 

 

 

y

 

 

 

σx

 

 

 

εx=0

 

x

 

σz=0

z

 

 

x

 

z

εz

 

 

 

Ограничения создаваемые на торцевые поверхности кубика можно выразить через зна-

чения компонент напряжений и деформаций в проекции на оси x, y и z:

y:y = –p; – в направлении обратном оси y на верхнюю площадку действует распределенное давление;

z:z = 0; – в направлении оси z отсутствуют ограничения перемещению;

x: x = 0; – деформации вдоль оси x ограничены жесткими стенками формы. Согласно обобщенному закону Гука можно записать:

 

 

ε

 

 

 

σ

x

 

 

μ

σy

 

 

μ

 

σ

z

;

(1)

 

 

x

 

E

 

 

 

E

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

σ y

 

 

μ

 

σ

x

 

μ

 

 

σ

z

 

;

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

σ

z

μ

 

σ

x

μ

 

 

σ y

 

 

 

(3)

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения (1) 0

1

σx μ p , так как

1

 

 

0 , то:

 

E

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σx μ p 0 ,

σx μ p .

Из уравнения (2):

ε y

 

p

μ

μ p

 

1

μ2 p p

p

μ2

1 .

E

E

E

E

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения (3):

εz

μ

μ p

μ

p

 

μ2 p

μ

p

 

μ p

μ 1 .

E

E

E

E

E

 

 

 

 

 

 

 

7.4.2. Потенциальная энергия деформации при сложном напряженном состоянии

При деформации тела все внешние силы совершают работу.

σв (к.)

F

A

При линейном

деформированном

состоянии

(одноосное напряженное состояние):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

F

;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l

 

Если пренебречь потерями U A, то при одно-

 

 

осном напряженном состоянии:

 

 

 

 

U U

 

F

σ ε

;

 

 

 

V

2 A l

2

 

 

 

 

 

 

V объем

 

 

По аналогии для объемного напряженного состояния при условии деформирования по трем направлениям удельная потенциальная энергия определяется из уравнения:

U

σ x εx

 

σy ε y

 

σz εz

 

1

σ2x σ2y σ2z 2 μ σx σ y σx σz σ y σz .

2

2

2

2 E

 

 

 

 

 

7.5. Понятие о концентрации напряжений

Если контур поперечного сечения резко изменяется, то распределенные по этому поперечному сечению напряжения не будут равномерными. Явления резкого повышения напряжения в местах резкого изменения контура поперечного сечения называют концентрацией напряжений. Место резкого изменения контура называют концентратором напряжений.

Концентраторами напряжений являются отверстия, шпоночные канавки, резьбы и др.

Для оценки явления концентрации напряжений введены следующие показа-

тели:

1. Теоретический коэффициент концентрации напряжений:

kσ σmax ,

σср

где σmax , σср – максимальные (возле концентратора) и средние напряжения.

Однако, опытные данные показывают, что разрушение образцов, имеющих концентратор напряжений происходит при нагрузках по величине меньших, чем номинальные не в kσ раз.

Поэтому вводится эффективный коэффициент концентрации напряжений.

2. Эффективный коэффициент концентрации напряжений

kS σв (б.к.) ,

где σв (б.к.) – без концентратора напряжений; σв (к.) – с концентратором напряжений.

 

F

F A

 

F

 

 

=

 

 

 

 

N A

 

 

1

 

=

1

 

σ

 

σ

σ

1

σ

 

σ

= k

 

1

= k

σ

 

F A

 

=

max

 

1

max

 

σ

d

σ

σ

 

 

 

kσ=2

 

kσ=3

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

F

A1

 

 

Для большинства пластичных материалов

kS 1, т.к. они обладают свой-

ствами текучести и релаксации. При статических нагрузках пластичных материа-

лов концентрация напряжений не учитывается, при циклических нагрузках всегда

учитывается.

 

 

 

 

Для хрупких материалов kS 1, для них концентраторы напряжений учиты-

ваются всегда и приводятся в справочниках.

 

 

7.6. Понятие о контактных напряжениях

В теории машин и механизмов соединение двух деталей называют кинема-

тической парой.

Различают кинематические пары высшего и низшего порядка.

Кинематическая пара низшего порядка – это пара, в которой контакт де-

талей осуществляется по поверхности либо плоскости.

Кинематическая пара высшего порядка – это пара, в которой контакт де-

талей осуществляется по линии или в точке.

Если контакт двух тел осуществляется по линии или в точке, то говорят о контактных напряжениях. Если два тела взаимодействуют по поверхности, то говорят о напряжениях смятия σсм :

σсм F .

Aсм

Впервые выражение для определения контактных напряжений были получены Герцем.

1. Взаимодействие двух сфер (внешний).

F

A (увеличено)

 

d1

 

a

 

A

 

σ

 

a 0,88

 

F

 

d1 d2

 

, E1

E2 ,

 

3

 

 

 

 

 

 

d2

 

E

d1 d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σmax 0,62 3

 

 

d d

 

2

 

F E2

1

 

 

2

 

; σср

F

 

 

 

 

 

d1

d2

 

 

μ0,3;

σmax ;

1,5 2

Т.к. для пластичных материалов опасными являются касательные напряже-

ния, то τ

 

0,31 σ

 

и развиваются на глубине h

a

.

max

max

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2.

Контакт двух сфер – внутренний (одинаково).

F

d2

d1

a0,88 3

σmax 0,62 3

F

 

d

d

2

 

 

 

 

 

1

 

 

; E1

E2 ;

 

 

d2

E

d1

 

 

 

d

d

2

2

F E2

1

 

 

; σср

d1

d2

 

 

 

μ0,3;

σmax ;

1,5 2

τmax 0,31 σmax

на глубине h 0,4 a ;

3. Сфера катается по плоской поверхности.

F

a 0,88

3

 

F

; E1 E2 ;

0,3;

 

 

 

 

E

d1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

 

 

 

 

F

E

2

σmax

 

σmax

0,62

 

; σср

 

3

d 2

1,5 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

τmax 0,31 σmax

на глубине h a ;

4. Взаимодействие по линии.

q

d1

b

d2

b 2,15 3

max 0,59 3

q

 

d

d

2

 

 

 

 

1

 

 

;

 

 

d2

E

d1

 

 

q E d1 d2 2d1 d2

7.7. Вопросы для самоконтроля.

1.Компоненты напряжений в точке.

2.Главные площадки и главные направления.

3.Главные напряжения.

4.Виды напряженного состояния.

5.Линейное одноосное напряженное состояние, напряжения на произвольных площадках.

6.Плоское напряженное состояние, напряжения на произвольных пло-

щадках.

7.Объемное напряженное состояние, нормальные и касательные

напряжения.

8.Деформации при плоском и объемном напряженном состоянии.

9.Обобщенный закон Гука.

10.Потенциальная энергия деформирования.

11.Концентрация напряжений, коэффициенты концентрации.

12.Контактные напряжения, виды контактов.

Ксодержанию

8.Геометрические характеристики плоских сечений

Кгеометрическим характеристикам плоских сечений относят: 1. Площадь A, м2;

2. Статический момент сечений Sz, м3 – необходим для определения центра

тяжести сечения;

3.Осевой момент инерции сечения Iz, м4 (осевой момент сопротивления Wz, м3 – используют при расчете балок на изгиб;

4.Полярный момент инерции Ip, м4 (полярный момент сопротивления Wp, м3) – используют при расчетах стержней на кручение;

5.Центробежный момент инерции Izy , м4 – используют для определения

положения главных осей.

8.1. Статический момент сечений.

Рассмотрим произвольное сечение с центром тяжести в точке с в системе координат zy:

y

z

y2

 

 

zc

 

 

y1

 

 

 

c

b

 

 

 

01

 

0

a

 

 

 

dA

z2

c y y z1

z

Статический момент характеризует положение сечения относительно выбранных осей. Чем дальше оси от сечения, тем больше статический момент. Статические моменты относительно произвольных осей z и y определяют путем интегралов:

Sz ydA;

A

Sy zdA;

A

Единица измерения Sz – м3;

Если площадь всего сечения А и положение центра тяжести сечения относительно осей z и y известны (zc, yc), то:

Sz yc A; Sy zc A;

Пример:

Определить статический момент инерции сечения относительно осей x и y.

 

y

yc

 

 

см

 

 

см

40

c

zc

 

 

80

 

 

 

 

 

 

z

25 см

 

 

50 см

 

 

A b h 50 80 4000 см2 ;

Sz h2 A 802 4000 160000 см3;

Sy b2 A 502 4000 100000 см3;

8.2. Центр тяжести поперечного плоского сечения.

Рассмотрим статический момент той же фигуры в новой системе координат z1 y1 , причем z1 / / z, y1 / / y .

Смещение осей обозначим в виде констант:

 

 

z1 z b,

b z z1;

 

 

 

y1 y a,

a y y1;

 

Отсюда статические моменты при смещении осей можно рассчитать по

формулам:

 

 

 

 

Sz1

y1dA ( y a)dA ydA adA;

 

A

A

A

A

 

 

Sz Sz a A;

 

 

 

1

 

 

Sy1

z1dA (z b)dA zdA bdA;

 

A

A

A

A

Sy1 Sy b A;

Анализ полученных выражений показывает, что существует только одна система координат, в которой статические моменты фигуры раны нулю. Ее положение относительно произвольных осей zy можно определить через смещения – если

a SAz и b SAy , то Sz1 0 и Sy1 0 .

Оси относительно которых статические моменты равны нулю называются

центральными осями.

Точка пересечения двух центральных осей для одного сечения называется

центром тяжести сечения.

Для сложной фигуры, состоящей из n простейших фигур, координаты центра тяжести определяют по формулам:

 

Sy

z A z

2

A ... z

n

A

z

i

1 1

2

n

;

 

 

 

 

 

c

Ai

A1 A2 ... An

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности