Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

При вычислении дисперсии иногда удобнее пользоваться начальным моментом 2-го порядка.Связь с ним устанавл ивается следующим образом:

! ! !

s2 = αi (xi − xø)2 = αi x2i − 2øx αixi +øx2 =

←−−−→

xø!

= αi x2i − xø2 = m (2, 0) − m2 (1, 0) .

Корень квадратный из дисперсииÑ s или σ Ñявляется среднеквадратическим отклонением,иногда(главным образом,в англоязычной литературе)его называют стандартным отклонением.

Величины xöi "s называют центрированными и нормированными наблюдениями.Они измеряют значения признака в единицах среднеквадратического отклонения от среднего.Такая шкала измерения иногда называется стандартизованной

или стандартизированной.

Дисперсия(и среднеквадратическое отклонение)является мерой абсолютного рассеяния или разброса значений признака в совокупности.В принципе такой мерой мог бы служить 2-й момент относительно какого-то другого c,не равного xø, но лежащего в центральной области распределения признака.Однако используют именно дисперсию,поскольку ее величина однозначно определена и,в некотором смысле,не зависит от c.Дисперсия минимальна среди всех 2-х моментов относительно c.

равна 0 в точке c = E(x).Это точка минимума,поскольку2-я производная по c

вней равна 2,т.е.положительна.

Встатистике используются и другие показатели разброса.Примерами показателей абсолютного разброса являются:

max xi − min xi Ñ общий размах вариации,

2

x1−F − xF Ñ квантильный размах вариации,где F < 0.5 (достаточно

часто2используется квартильный размах вариации,то есть этот показатель при F = 0.25),

%αi |xöi | Ñ среднее линейное отклонение.

Среднеелинейноеотклонениеимеетсмыслрассчитыватьнеотносительносреднего xø,а относительно медианы x0.5,поскольку именно в таком случае оно принимает минимально возможное значение.

равна 0 при c = x0.5 (2-япроизводная в этой точке равна 2f (x0.5) и положительна по определению функции f ).

Для характеристики относительного разброса применяются различные формы коэффициента вариации.Например,он может рассчитываться как отношение среднего квадратичного отношения к среднему,общего или квантильного размаха вариации к медиане.Иногда его рассчитывают как отношения max xi к min xi или x1−F к xF (при F < 0.5).

Достаточно распространен еще один тип коэффициентов вариации,которые рассчитываются как отношения средней по верхней части совокупности к средней по нижней части совокупности.

Для того чтобы дать определение таким коэффициентам вариации,необходимо ввести понятие среднего по части совокупности.

Математическое ожидание можно представить в следующей форме:

= F EF (x) + (1 − F ) E+F (x) .

Квантиль xF делит совокупность на две части, по каждой из которых определяется свое математическое ожидание:

EF (x) Ñпо нижней части,

E+F (x) Ñпо верхней части совокупности.

Приведенноетождествоопределяетсвязьмеждудвумяэтимиматематическимиожиданиями:

1

E+F (x) = 1 − F (E (x) − F EF (x)).

Δϕ

Ða

Рис. 2.11

Рассматривается случайная величина x,имеющая функцию плотности вероятности f (x) = ϕ(x) + γ ϕ(x).

Параметр γ не должен быть слишком большим по абсолютной величине,чтобы сохранялась унимодальность распределения(и,конечно же,неотрицательность функции плотности).

Можно обозначить

-a -+∞

−ϕ (x) dx = ϕ (a + x) dx = S > 0

00

иопределить величины a1 и a2 :

резке [0, a] и имеющей плотность распределения −S1 ϕ (x),поэтому 0 < a1 < a. Аналогично, a2 Ñматематическое ожидание случайной величины,заданной на отрезке [0, ∞] с плотностью вероятности S1 ϕ (a + x),поэтому 0 < a2.

-+∞

+y ϕ (a + y) dy = S (−a1 + a + a2) = a3 > 0.

0

←−−−−−−−−−−−−→

a2S

Аналогичным образом можно доказать,что

-+∞

x3 ϕ (x) dx = a4 > 0.

0

Прибавление γ ϕ к ϕ не меняет медиану,т.к.

но сдвигает среднее(из нуля):

Таким образом,в соответствии с данным выше определением,если γ > 0,распределение имеет правую асимметрию(увеличивается плотность вероятности больших значений признака),и среднее,будучи положительным,выше медианы.Если γ < 0, распределение характеризуется левой асимметрией,и среднее ниже медианы.

3-й центральный момент оказывается отрицательным при правой асимметрии и положительным при левой асимметрии.

Можнопривестичисловойпримерсовокупностисправойасимметрией,3-й центральныймоменткоторойотрицателен.Исходныеданныеприведенывтаблице2.1.

При γ = 0.03 среднее равно 0.06 (превышает медиану,равную 0),а3-й центральный момент равен −0.187.Но стоит немного растянуть функцию асимметрии от начала координат(последняя строка таблицы),как ситуация приходит в норму. При том же γ среднее становится равным 0.108,а3-й центральный момент равен

+0.097.

Проведенныйанализобладаетдостаточнойстепеньюобщности,т.к.любуюфункцию плотности вероятности f можно представитькак сумму функций ϕ и ϕ с указанными выше свойствами(при этом γ = 1).Эти функции определяются следующим

Таким образом,если асимметрияÇсосредоточенаÈвблизи от центра распределения (функция асимметрии ϕ достаточноÇподжатаÈк медиане),то3-й центральный момент не может играть роль показателя асимметрии.

o

Надежным показателем асимметрии является величина (øx − x) или,учитывая s

приведеннуювпредыдущемпунктеэмпирическуюзакономерностьврасположении

Достаточно употребителен также квартильный коэффициент асимметрии,рассчитываемый как отношение разности квартильных отклонений от медианы к их сумме:

Эти три коэффициента положительны при правой асимметрии и отрицательны при левой.Для симметричных распределений значения этих коэффициентов близки к нулю.Здесь требуется пояснить,что означаетÇблизки к нулюÈ.

Рассчитанные по выборке,значения этих коэффициентовÑпусть они обозначаются через K c (c Ñ calculated) Ñне могут в точности равняться нулю,даже если истинное распределение в генеральной совокупности симметрично.Как и исходные для их расчета выборочные данные,эти коэффициенты являются случайными величинами K с определенными законами распределения.Эти законы (в частности,функции плотности вероятности)известны в теории статистики,если справедлива нулевая гипотеза,в данном случаеÑесли истинное распределение симметрично.А раз известна функция плотности,то можно определить область, в которую с наибольшей вероятностью должно попасть расчетное значение коэффициента K c в случае справедливости нулевой гипотезы.Эта область,называемая доверительной,выделяется квантилем KF с достаточно большим F .Обычно принимают F = 0.95.В данном случае K могут быть как положительными,так и отрицательными,их теоретическое расп ределение(при нулевой гипотезе)симметрично относительно нуля,и использоваться должен двусторонний квантиль.

Если расчетное значение K c попадает в доверительную область,т.е.оно по абсолютной величине не превосходит KF ,то нет оснований считать,что истинное распределение не симметрично,и нулевая гипотеза не отвергается.На основании этого не следует делать вывод о симметричности истинного распределения. Установлено только то,что наблюдаемые факты не противоречат симметричности.Другими словами,если распределение симметрично,то расчетное значение попадает в доверительную область.Но обратное может быть не верным.

Если расчетное значение не попадает в доверительную область или,как говорят,попадает в критическую область,то маловероятно,что величина K имеет принятое(при нулевой гипотезе)распределение,и нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки(1-го рода) 1 − F (обычно 0.05).Причем если K c

то принимается гипотеза о правой асимметрии,если K c < −KF ,то принимается гипотеза о левой асимметрии.

Границы доверительной(критической )области зависят от числа наблюдений. Чем больше наблюдений,тем меньше KF ,при прочих равных условиях,т.е.тем у´ же доверительная областьÑобластьÇнуляÈ.Это означает,что чем больше использовано информации,тем точнее,при прочих равных условиях,сделанные утверждения.

Таким образом,фразаÇ K c близко к нулюÈозначает,что |K c | ! KF .

Приведенные здесь рассуждения используются в теории статистики при про-

верке статистических гипотез,или тестировании (по англоязычной терминоло-

гии),а также при построении доверительных интервалов (областей).