Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

102 Глава3.Индексный анализ

(1!!) Все совместное влияние факторов можно отнести на относительный фак-

тор:

В этом случае влиянию относительного фактора соответствует на рисунке площадь GC DF ,а влиянию объемного фактораÑплощадь ABC H .

( 2!!)Совместное влияние факторов относится на количественный фактор:

1

λrsy − 1 = (λrsx − 1) λrsa + (λrsa − 1) = yr ( rsx + rsa ).

Теперь влиянию объемного фактора соответствует на рисунке площадь ABDE, а влиянию относительного фактораÑплощадь GH EF .

Несложно убедиться в том,что в подходе (1!!) фактически к общему относительному приросту λrsx λrsa − 1 прибавляется и отнимается индекс объемной величины λrsx ,а затем нужным образом группируются слагаемые;в подходе (2!!) Ñ прибавляется и отнимается индекс относительной величины λrsa ,а затем также нужным образом группируются слагаемые.Д ругими словами,имеется определенная аналогия с подходами (1!) и (2!).Можно сказать,что в подходе (1!!) сначала меняет свое значение объемный признак,а затемÑотносительный:

1 × 1 → λrsx × 1 → λrsx λrsa ,

ипервый шаг в этом переходе определяет вклад объемного фактора,второйÑ относительного фактора.В подходе (2!!),наоборот,сначала меняется значение относительного признака,а затемÑобъемного:

1 × 1 → 1 × λrsa → λrsx λrsa ,

итеперь первый шаг перехода дает вклад относительного фактора,второйÑобъемного.

(3!!) Берется среднее арифметическое с равными весами пофакторных представлений (1!!) и (2!!) :

Итак,на основе каждого мультипликативного индексного выражения можно получить по крайнеймере трипофакторных представления прироста изучаемойвеличины.Причем,если неопределенность(м ножественность подходов)построения

Такой способ построения индексного выражения полностью аналогичен подходу (1).Пусть теперь последовательность включения факторных величин изменилась.Например,объемный признак по-пр ежнему меняет свое значение первым, затемÑвторой и,наконец,первый относительный признак:

(xr , ar1, ar2) → (xs, ar1, ar2) → (xs , ar1, as2) → (xs , as1, as2).

Тогда

Общее количество возможных последовательностей включения факторных величин равно числу перестановок из3элементов: 3! = 6,т.е.имеется 6 возможных мультипликативных индексных выражений.Аналогом индексного выражения (3) является среднее геометрическое с равными весами указанных6-ти вариантов.

Аналогичнымобразомстроятсяпофакторныепредставлениятипа (1! −3!) итипа (1!! − 3!!).Во2-м случае,если принята исходная последовательностьÇвключенияÈфакторных признаков:

1 × 1 × 1 → λrsx × 1 × 1 → λrsx λrs1 × 1 → λrsx λrs1 λrs2 ,

то

rsx = yr (λrsx − 1) , rs1 = yr λrsx (λrs1 − 1) , rs2 = yr λrsx λrs1 (λrs2 − 1);

если относительные признаки в принятой последовательности меняются местами:

1 × 1 × 1 → λrsx × 1 × 1 → λrsx × 1 × λrs2 → λrsx λrs1 λrs2 ,

то

rsx = yr (λrsx − 1) , rs1 = yr λrsx λrs2 (λrs1 − 1) , rs2 = yr λrsx (λrs2 − 1),

и общее количество вариантов таких представленийÑ 6.Аналогом представления (3!!) будет являться среднее арифметическое этих6-ти вариантов с равными весами.

В общем случае при n относительных величин в мультипликативном представлении результирующей величины имеется (n + 1)! вариантов индексных выражений,аналогичных (1−2),и пофакторных предст авлений,аналогичных (1!−2!)

106 Глава3.Индексный анализ

и (1!−2!!) (в основном случае,рассмотренном в пунктах3.1Ð3.2, n = 1,иимелось по2таких варианта).Усреднение этих вариантов с равными весами дает результаты,аналогичные,соответственно,подходам (3), (3!) и (3!!).

В пунктах3.1Ð3.4рассмотрены проблемы,которые возникают в практике построения индексных выражений и пофакторных представлений динамики результирующей величины.Проведенный анализ можно назвать прикладным.

3.5.Индексы в непрерывном времени

Для лучшего понимания проблем,возникающих при индексном анализе,и возможностей решения этих проблем полезно рассмотреть их на примере индексов в непрерывном времени.Анализ индексо в в непрерывном времени можно назвать теоретическим.В этом случае динамика объемных и относительных величин задается непрерывными дифференцируемымифункциями y(t), x(t), a(t), ивозможны три типа индексов:в момент времени t (моментные),сопоставляющие два момента времени t1 и t0 (Çмомент к моментуÈ)и два периода времени [t1, t1 + τ ] и [t0, t0 + τ ], τ ! |t1 − t0| (Çпериод к периодуÈ).Ниже рассматриваются эти три типа индексов.

1)Моментные индексы.

Индивидуальными индексами такого типа являются моментные темпы роста, рассмотренные в пункте1.8 ( нижние индексы-указатели объекта опущены):

где λ[ ](t) Ñмоментный темп роста, λ[ ](t) Ñмоментный темп прироста,а на месте [ ] стоит либо y Ñдля объемной результирующей величины(стоимости), либо x Ñдля объемной факторной величины(объема),либо a Ñдля относительной величины(цены).

Легко убедиться в том,что эти индивидуальные индексы вслед за (3.1) обладают свойством мультипликативности или,как говорят,удовлетворяют требованию (тесту)мультипликативности(здесь и далее при описании моментных индексов указатель на момент времени (t) опущен):

т.е. λy = λxλa .

Вопрос о транзитивности моментных индексов обсуждается ниже в связи с переходом к индексамÇмомент к моментуÈ.Понять,как перемножаются индексы

в бесконечной последовательности бесконечно малых моментов времени,можно только в интегральном анализе.

Агрегированный моментный индекс или собственно моментный индекс объемной результирующей величины строится следующим образом(возвращаются нижние индексы-указатели объекта):

ская индивидуальных индексов с весами-долями объектов в этой объемной результирующей величине.Как видно из приведенного доказательства,этоÑследствие аддитивности результирующей величины.

Не сложно провести разложение общего индекса на факторные:

= !#yi i + yi i $ = !αi ln λxi + !αi ln λai ,

y xi dt ai dt

т.е.

(4 )(4 )

λy = λαxii λαaii ,

и,если факторные индексы определить как

4 4

λx = λαxii , λa = λαaii ,

то получается искомое мультипликативное выражение λy = λxλa .

Чрезвычайно интересно,что и факторный индекс объемной величины,которая может быть неаддитивной,и факторный индекс относительной величины,которая принципиальнонеаддитивна,рассчитываютсятакже,какобщийиндексаддитивной результирующей величиныÑкак средние геометрические индивидуальных индексов.Причем во всех этих трех индексах используются одинаковые весаÑдоли объектов в результирующей величине.

Итак,моментные индексы мультипликативны,транзитивны,что будет показано ниже,обладают свойством среднего и симметричны по своей форме.Следовательно,обсуждаемые выше проблемы явл яются следствием не принципиальных особенностей индексов,а разных способов привязки их ко времени.

108 Глава3.Индексный анализ

2)ИндексыÇмомент к моментуÈ (индексы за период времени).

Индивидуальные индексы такого типарассмотрены в пункте 1.8как непрерывные темпы роста за период(нижние индексы-указатели объектов опущены):

либо y Ñдля объемной результирующей величины(стоимости),либо x Ñдля объемной факторной величины(объема),либо a Ñдля относительной величины (цены).

Это выражение,прежде всего,означает транзитивность моментных индексов. Чтобы убедиться в этом,можно провес ти следующие рассуждения(указатель [ ] в этих рассуждениях опущен).

Пусть моментный индекс в периоде [t0, t1] неизменен и равен λ(t1),тогда,

вычислив /t1 ln λ(t)dt,можно увидеть,что

t0

λ (t0, t1) = λ (t1)t1−t0 ,

т.е.для того,чтобы привести моментные индексы к форме,сопоставимой с индексами за период,надо их возводить в степень,равную длине периода.

Теперь,разбив общий период [t0, t1] на n равных подпериодов длиной

!n

t(j−1)

Пусть в каждом j -м подпериоде [t(j −1), t(j )] моментный индекс неизменен

иравен λ(t(j )).Тогда из этого выражения следует,что

τ

n ( )4

λ (t0, t1) = λ t(j ) .

j =1

В результате перехода к пределу при n → ∞ получается соотношение,которое можно интерпретировать как свойство транзитивности моментных индексов. Возведение цепного моментного индекса в степень τ необходимо,как былотолько что показано,для приведения его к форме,сопоставимой с индексом за период.

т.е. λy (t0, t1) = λx (t0, t1) á λa (t0, t1).

Факторные индексы не могут быть представлены как средние геометрические индивидуальных индексовÑкроме частного случая,когда индивидуальные моментные индексы неизменны во времени.Это было показано на примере индекса результирующей величины.В случае аддитивности xi факторный индекс объема все-таки обладает свойством среднего (как и индекс результирующей величины). В общем случае факторные индексы требованию среднего не удовлетворяют.

Непосредственно изопределения индексов Дивизиаследуетихтранзитивность. Но факторные индексы этим свойством обладают в специфической,не встречавшейся ранее форме.До сих пор при наличии транзитивности общий за период индекс можно было рассчитать двумя способами:непосредственно по соотношению величин на конец и начало периода или по цепному правилуÑпроизведением аналогичных индексов по подпериодам:

λ (t0, tN ) = λ (t0, t1) á λ (t1, t2) á . . . á λ (tN −1, tN ) , t0 < t1 < . . . < tN .

Именно выполнение этого равенства трактовалось как наличие свойства транзитивности.Теперь(для факторных индексов Дивизиа)это равенствоÑопределение общего индекса (t0, tn),т.к.другого способа его расчетаÑнепосредственно по соотношению факторных величин на конец и начало общего периодаÑне существует.В частности,общий за период факторный индекс зависит не только от значений факторных величин на начало и конец периода,но и от всей внутрипериодной динамики этих величин.

Эту особенность факторных индексов Дивизиа можно проиллюстрировать в случае, когда моментные темпы роста всех индивидуальных величин неизменны во времени. В этом случае,как было показано выше(указатели периода времени (t0, t1) опущены),