Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

112 Глава3.Индексный анализ

Таблица3.2.Объемы производства и цены в три последовательных момента времени

где λy, λy1, λy2 Ñобщий(агрегирова нный)и индивидуальные индексыÇмомент к моментуÈдля результирующей величины y .Указанная особенность факторных индексов Дивизиа иллюстрируется на примере,исходные данные для которого приведены в двух таблицах3.2 1 и3.3.

Динамика физических объемов дана в2вариантах(через знакÇ/È).Физический объем1-го продукта в момент времениÇ 1 Èв варианте(а)составляет12единиц, в варианте(б) Ñ 18.ЭтоÑедин ственное отличие вариантов.

Результаты расчетов сведены в двух таблицах3.4и3.5.

Расчет средниххронологических весовзапериоды (0, 1) и (1, 2) в1-йрезультирую- щей таблице проводился по формулам(3.5),индексы2-й таблицы за периоды (0, 1)

1Физическиеобъемы производства продуктов имеют разные единицы измерения(например,тонны и штуки)и не могут складываться,т.е. x неаддитивен.

Таблица3.3.Индексы наблюдаемых величин

Данныйпримерпоказывает,чтодажеотносительнонебольшоеизменениеÇвнутреннейÈдинамикиÑувеличение физическог о объема1-го товара вÇсреднийÈмомент времениÇ 1 Èс12до18единицÑпривело к увеличению индекса физического объема за весь период (0, 2) с2.426до2.510и к соответствующему снижению индекса цен с2.061до1.992. ÇКонцевыеÈ (на начал о и конец периода)значения факторных величин при этом оставались неизменными.В обоих вариантах факторные индексы транзитивны,поскольку индексы за период (0, 2) равны произведению индексов за периоды (0, 1) и (1, 2).

Можно сказать,что факторные индексы Дивизиа обладают свойством транзитивности в усиленной дефинитивной форме,т.к.это свойство определяет сам способ расчета индексов за периоды,включающие подпериоды.Такая особенность факторных индексов в конечном счете является следствием того,что физический

блюдаемы,и для их измерения,собстве нно говоря,и создана теория индексов, в частности индексов Дивизиа.Полезно напомнить,что индекс Дивизиа результирующей величины и все индивидуальные индексы Дивизиа удовлетворяют требованию транзитивности в обычной форме.

Итак,индексыÇмомент к моментуÈпродолжают удовлетворять требованиям мультипликативности,транзитивности(в дефинитивной форме),симметричности, но теряют свойство среднего.

Факторные индексы Дивизиа обычно записывают в следующей форме:

В том,что это форма эквивалентна используемой выше,легко убедиться.Для этого достаточно вспомнить,что,например для индекса объемной величины:

Индексы Дивизиа могут служить аналогом прикладных индексов,рассмотренных в пунктах1Ð3данного раздела,в случае,если речь идет о величинах x и y типа запаса,поскольку такие величи ны измеряются на моменты времени.

3)ИндексыÇпериод к периодуÈ.

Чаще всего предметом индексного анализа является динамика величин типа потока,поэтому именно непрерывные индексыÇпериод к периодуÈявляются наиболее полным аналогом прикладных индексов,рассмотренных в пунктах1Ð3этого раздела.

Сначала необходимо определить следующие индивидуальные величины(здесь и далее нижний индекс-указатель объекта i опущен):

y (t,τ ) = -t+τ y 0t!1dt! Ñрезультирующая величина в периоде [t, t + τ ],

Таким образом,при переходе к суммарным за период величинам проявилось принципиальное различие объемных и относительных величин.Первые аддитивны во времени и складываются по последовательным моментам времени,вторыеÑ неаддитивны и рассчитываются за период как средние хронологические с весами, определенными динамикой объемной факторной величины.Именно с этим обстоятельством связана возможная несимметричность факторных индексов,которая имеет место для большинства прикладных индексов,рассмотр енных в пункте3.2.

Индивидуальные индексыÇпериод к периодуÈстроятся естественным способом:

ной результирующей величины(стоимости),либо x Ñдля объемной факторной величины(объема),либо a Ñдля относительной величины(цены).

Еслидинамика(траекторияизменения)показателя [ ](t) в базисномитекущем периодах одинакова,то для любого t [t0, t0 + τ ] индексÇмомент к моментуÈ

λ[ ](t, t+t1−t0) неизменениравен λ[ ](t0, t1).Тогдадлялюбого t [t1, t1 + τ ] имеет место равенство [ ] (t) = [ ] (t − t1 + t0) λ[ ] (t0, t1),и индексÇпериод к периодуÈ

т.е.он совпадает с индексомÇмомент к моментуÈ.

Для того чтобы такое же равенство имело место для индексов относительной величины,необходима идентичность динамики в базисном и текущем периодах времени не только самой относительной величины,но и объемной факторной величины.Иначе веса αx (t) в базисноми текущемпериодах времени будутразличны

и интегралы в числителе и знаменателе выражения индексаÇпериод к периодуÈ относительной величины(после выноса λa(t0, t1) за знак интеграла в числителе) не будут равны друг другу.

Тогда,если в базисном и текущем периодах времени одинакова динамика всех индивидуальных величин,то индексыÇпе риод к периодуÈсовпадают с индексами Дивизиа.Чаще всего считается,что разл ичия в динамике индивидуальных величин в базисном и текущем периодах времени не существенны,и в качестве непрерывных аналогов прикладных индексов поэтому принимают индексы Дивизиа.Именно на таком допущении построено изложение материала в следующем пункте.

В случае,если указанные различия в динамике величин принимаются значимыми,приходится вводить поправочные коэффициенты к индексам Дивизиа,чтобы приблизитьих киндексамÇпериод кпериодуÈ.Теоретическийанализ такихиндексных систем в непрерывном времени затруднен и не дает полезных для практики результатов.

3.6.Прикладные следствия из анализа индексов в непрерывном времени

ТеоретическиÇправильнымиÈв этом пу нкте принимаются индексы Дивизиа. Это предположение можно оспаривать только с той позиции,что внутренняя динамика сопоставляемых периодов времени существенно различается.Здесь предполагается,что эти различия не значимы.Из проведенного выше анализа индексов Дивизиа следует по крайней мере три обстоятельства,важные для построения прикладных индексов.

1)Факторные индексы за период,включающий несколькоÇединичныхÈподпериодов,правильно считать по цепному правилу,а не непосредственно из сопоставления величин на конец и на начало всего периода.Для иллюстрации разумности такого подхода проведены расчеты в условиях примера,приведенного в конце предыдущего пункта.Результаты этих расчетов сведены в таблицу3.6.

Из приведенных данных видно,что

намики и одинаковы для вариантов(а)и(б);индекс ЛаспейресаÑособенно в варианте(а) Ñзаметно преуменьшает реальный(по Дивизиа)рост физическогообъема,индексПааше,наобор от,преувеличиваетэтотрост.Вдругой (числовой)ситуациииндексЛаспейреса могбыпреувеличивать,аиндексПааше преуменьшать реальную динамику.Важно то,что оба эти индекса дают оценки динамики существенно отличные от реальной.

стичные значения.Так,например,реальный рост физического объема в варианте(а),равный 2.426,заметно преуменьшенный индексом Ласпейреса в целом за периодÑ 2.333,получает более точную оценку тем же индексом Ласпейреса,рассчитанным по цепному правилу, Ñ 2.383.Цепные индексы дают более правильные оценки динамики.Но,вообще говоря,это свойство цепныхиндексовнегарантировано.Так,вварианте(б)физическийрост 2.510 преуменьшен индексом Пааше в целом за периодÑ 2.500 (хотя и в меньшей степени,чем индексом ЛаспейресаÑ 2.333),и преувеличен этим же индексом по цепному правилуÑ 2.525.

Принимая предпочтительность цепного правила,следует с сомнением отнестись к принятым правилам расчета объемов в неизменных(сопоставимых)ценах: (x0, a0), (x1, a0), . . . , (xt , a0), . . . , (xN , a0) (см.п. 3.2).Правильнее считать

час Системе национальных счетов,рекомендованных ООН в1993г.для использованиянациональнымиправительствами,прирасчетеиндексовприменяетсяцепное правило,но прирасчете физическихобъемов внеизменных ценахÑобычныйпод-

ход,основанный наиндексах Паашевцеломзапериод.Этопротиворечие остается, по-видимому,для сохранения принципа наглядности.

2)Индексы Дивизиа рассчитываются как средние индивидуальных индексов с некоторыми весами,занимающими промежуточное положение между базисным и текущим моментами(периодами)врем ени.Из рассмотренных прикладных индексов такому подходу в большей степени удовлетворяют индексы Фишера.

Действительно,в рассматриваемом прим ере индекс физического объема ФишеравцеломзапериодÑ 0.415 Ñболееточноотражаетреальнуюдинамику,чем индекс Пааше или ЛаспейресаÑв вариа нте(а).В варианте(б)более точным оказываетсяиндексфизическогообъемаПааше.ЗатоиндексыФишера,рассчитанные по цепному правилу,дают практически точное приближение к реальной динамике.

3)Если предположить(как это делалос ь в предыдущем пункте),что индивидуальные моментные индексы всех величин не меняются во времени в отдельных периодах,то расчет индексов Дивизиа как с редних геометрических индивидуальныхиндексовстановитьсявполнеоперациональным.Сложностьзаключаетсялишь

вопределениисредниххронологическихвесовпорезультирующейвеличине.Вслучае двух продуктов соответствующие интегралы,как это показано в предыдущем пункте,берутся аналитически.В общем с лучае их всегда можно найти численным приближением.Однако такой подход вряд ли применим в практике,поскольку он достаточно сложен с точки зрения вычислений и не обладает наглядностью хоть

вкакой-нибудь степени.Возможен компромисс,при котором веса для средних геометрических индивидуальных индексов находятся как средние базисных и текущих долей объектов в результирующей величине по формуле,более простой и наглядной,чем интеграл теоретической средней хронологической.

Для индекса результирующей величины,которая аддитивна по объектам,справедливы следующие соотношения:

где αri , αsi Ñдоли объектов в результирующей величине,соответственно,в базисном и текущем периодах времени.

Теперь рассчитываются два индекса результирующей величины λrsy (r), λrsy (s) как средние геометрические индивидуальных индексов по весам,соответственно, базисного и текущего периодов:

4( )αr 4( )αs

λrsy (r) = λrsyi i , λrsy (s) = λrsyi i .

По свойству мажорантности средних степенных:

λrsy (r) < λrsy < λrsy (s),

будет иметь решение 0 < γrs < 1.

Тогда αrsi = γrsαri + (1 − γrs) αsi могут сыграть роль средних хронологических весов в формулах индексов Дивизиа(соотношения,аналогичные(3.4)):

rs = 4( rs )αrsi rs = 4( rs)αrs rs = 4( rs )αrs λy λyi , λx λxi i , λa λai i .

Теперь эти соотношения являются формулами расчета прикладных индексов, обладающихвсемисвойствамитеоретическихиндексовДивизиа:онимультипликативны,транзитивны(в дефинитивной форме),симметричны и являются средними индивидуальных индексов.

В прикладном анализе иногда используют похожие индексы,называемые по имениавтора индексами Торнквиста.В ихрасчете вкачестве γrs всегда принимают 0.5,ипотомуиндексрезультирующейвеличиныТорнквистанеравенвобщем случае его реальному значению.Предложенные здесь индексы можно назвать мо-

дифицированными индексами Торнквиста.

Для того чтобы оценить качество прикладных индексов,проводился численный эксперимент,в котором значения факторных признаков(объем и цена)задавались случайными числами(с лучайными величинами,рав номерно распределенными на отрезке [0, 1]),и определялись отклонения прикладных индексов от значения теоретического индекса Дивизиа(по абсолютной величине логарифма отношения прикладного индекса к теоретическому).Рассматривались три системы: 2 продуктаÑ 2 периода(как в приводимом выше примере), 2 продуктаÑ 3 периода, 3 продуктаÑ 2 периода.В случае двух продуктов значения модифицированного индекса Торнквиста и индекса Дивизиа совпадают,т.к.уравнение

имеет относительно αrs1 единственное решение.Поэтому в этих случаях индекс Дивизиа сравнивался с индексами Ласпейреса,Пааше и Фишера,рассчитанными в целом за период и по цепному правилу.В случае 3-х продуктов индекс Дивизиа, рассчитанный с использованием численной оценки интеграла среднехронологических весов(для этого единич ный период времени делился на 100 подпериодов), сравнивался также и с модифицированным индексом Торнквиста.В каждом из этих трех случаев проводилось около 1 000 000 численных расчетов,поэтому полученные оценки вероятностей достаточно точны.

Оценки вероятности для случаяÇ 2 продуктаÑ 2 периодаÈприведены в таблице3.7.В этой же таблице стрелочками вверх и вниз отмечено,как меняются

120 Глава3.Индексный анализ

Таблица3.7.Вероятности того,что индекс в подлежащем дает большую ошибку, чем индекс в сказуемом таблицы(для индексов объемной факторной величины)

соответствующие показатели при переходе к ситуацииÇ 2 продуктаÑ 3 периодаÈ и далееÇ 3 продуктаÑ 2 периодаÈ.

По данным этой таблицы преимущество цепного правила проявляется не столь очевидно.ЦепныеиндексыЛаспейресаиПаашелишьв 48%случаев(чутьменьше половины)дают более высокую ошибку, чем те же индексы,рассчитанные в целом за период.Это преимущество растет(падает соответствующий показатель вероятности)с увеличением числа объектов(прод уктов)в агрегате и исчезает с увеличением числа периодов(при 3-х периодах соответствующие вероятности становятся больше 0.5).Зато преимущество индекса Фише ра становится явным.Рассчитанные в целом за период,эти индексы хуже соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше только в 41.5%случаев,причем их качество повышается с ростом как числа объектов,так и количества период ов.ОсобенноÇхорошиÈцепные индексы Фишера:они лишь в 5Ð6%случаев дают ошибку большую,чем любые другие индексы.К сожалению,с ростом числа объектов и количества периодов их качество снижается.

В ситуацииÇ 3 продуктаÑ 2 периодаÈрассчитывались модифицированные индексы Торнквиста.Они оказались самыми лучшими.Вероятность того,что они дают более высокую ошибку,чем индексы Ласпейреса и Пааше,а также Фишера,рассчитанного в целом за период,на 2Ð3%ниже,чем для цепного индекса Фишера.

Итак,можно сказать,что модифициров анные индексы Торнквиста,рассчитываемые как средние геометрические индивидуальных индексов с особыми весами,

внаилучшейстепенисоответствуюттеории.Темнеменее,всуществующейпрактикестатистикииндексыкаксредниегеометрическиевеличиныфактическинеприменяются.В действующей(рекомендованной ООН в1993г.)Системе национальных счетов применение индексов Торнквиста( обычных,не модифицированных)рекомендуется лишь в весьма специфических ситуациях.

Индексы как средние геометрические индивидуальных применялись в практике статистики,в том числе в России и СССР,в первой трети ХХ века.Затем практически всеобщее распространение получили агрегатные индексы.Это произошло по крайней мере по двум причинам.Первая:агрегатные индексы наглядны и поэтому понятны.Вторая:средние геометрические величины,если веса взвешивания принять за константы,весьма чувствительны к крайним значениям индивидуальных индексов.Так,например,очень большое значение какого-то одного индивидуального индекса приведет к существенному преувеличению общего индекса(в крайней ситуации,когда базисное значение индивидуальной величины равно нулю,т.е.,например,какой-то продукт в базисном периоде еще не производился,общий индекс окажется бес конечным).Наоборот,очень малое значение единственного индивидуального индекса существенно преуменьшит общий индекс(обратит его в ноль,если текущее значение соответствующей индивидуальной величины равно нулюÑданный продукт уже не производится в текущем периоде).

Указанные доводы против среднегеометрических индексов вряд ли серьезны. Поповоду первого из них следуетеще разнапомнить,что наглядность и понятность нельзясчитатькритериемистины.Второйдоводневыдерживаеткритики,поскольку резким изменениям могут подвергаться малые индивидуальные величины,которые входят в среднюю с малыми весами и поэтому не могут заметно повлиять на ее уровень.В крайних ситуациях,когда индивидуальный индекс по какому-то объекту принимает нулевое или бесконечное значение,такой объект вообще не должен участвовать в расчете общего индекса(его вес в среднем геометрическом равен нулю).

Действительно,