Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Проверка нулевой гипотезы осуществляется по схеме,неоднократно применяемой вIчасти книги.В частности,если уровень значимости t-статистики sl (напо-

минание: sl таково,что tcj = tN −n−1,sl )не превышает θ (обычно 0.05),тонулевая гипотеза отвергается с ошибкой(1-го рода) θ и принимается,что αj =! 0.В про-

тивном случае,если нулевую гипотезу не удалось отвергнуть,считается,что j -й фактор не значим,и его не следует вводить в модель.

Операции построения доверительного интервала и проверки нулевой гипотезы в данном случае в определенном смысле эквивалентны.Так,если построенный доверительный интервал содержит нуль,то нулевая гипотеза не отвергается,и наоборот.

Гипотеза о нормальности ошибок позволяет проверить еще один тип нулевой гипотезы: αj = 0, j = 1, . . . , n,т.е.гипотезы о том,что модель некорректна и все факторы введены в нее ошибочно.

При построении критерия проверки данной гипотезы уравнение регрессии используется в сокращенной форме,и условие(7.40)записывается в следующей форме:

где a и α Ñвектора коэффициентов при факторных переменных размерности n, M Ñматрица ковариации факторных переменных.Тогда

Действительно:

Матрица M −1 вслед за M являетсявещественной,симметричной и положительно полуопределенной,поэтому ее всегда можно представить в виде:

где C Ñквадратная неособенная матрица.

Чтобы убедиться в этом,достаточно вспомнить(6.29)и записать аналогичные соотношения: M −1Y = Y Λ, Y "Y = Y Y " = In , Λ " 0,где Y Ñматрица,столбцы

имеет указанное распределение(см.ПриложениеA.3.2).

Как былопоказано выше, e и a не коррелированы,поэтому не коррелированы случайныевеличины,определенныев(7.43,7.48),ивсоответствиисопределением случайной величины,имеющей F -распределение:

Сама проверка нулевой гипотезы проводится по обычной схеме.Так,если значениевероятности pv статистики F c (величина,аналогичная sl для t-статистики) не превышает θ (например, 0.05),нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки θ,и модель считается корректной.В противном случае нулевая гипотеза не отвергается,и модель следует пересмотреть.

7.3.Независимые факторы:спецификация модели

В этом пункте используется модель линейной регрессии в сокращенной форме,поэтому переменные берутся в центрированной форме,а m и M Ñвектор и матрица соответствующих коэффициентов ковариации переменных.

Под спецификацией модели в данном случае понимается процесс и результат определения набора независимых факторов.При построении эконометрической модели этот набор долженобосновываться экономической теорией.Но это удается не во всех случаях.Во-первых,не все факторы,важные с теоретической точки зрения,удается количественно выразить.Во-вторых,эмпирический анализ часто предшествует попыткам построения теоретической модели,и этот набор просто неизвестен.Потому важную роль играют и методы формального отбора факторов, также рассматриваемые в этом пункте.

В соответствии с гипотезой g2 факторные переменные не должны быть линейно зависимыми.Иначе матрица M в операторе МНК-оценивания будет необратима.Тогда оценки МНК по формуле a = M −1m невозможно будет рассчитать, но их можно найти,решая систему нормальных уравнений(6.14):

M a = m.

Решений такой системы нормальных уравнений(в случае необратимости матрицы M )будет бесконечно много.Следовательно,оценки нельзя найти однозначно, т.е.уравнение регрессии невозможно идентифицировать.Действительно,пусть оценено уравнение

где zö1 Ñвектор-строка факторных переменных размерности n1, a1 Ñвекторстолбец соответствующих коэффициентов регрессии,и пусть в это уравнение вводится дополнительный фактор zö2,линейно зависимый от zö1,т.е. zö2 = zö1c21.

Тогда оценка нового уравнения

(ÇзвездочкойÈпомечены новые оценкиÇстарыхÈвеличин)эквивалентна оценке

уравнения xö = zö1 (a1 + a2c21) + e .Очевидно,что a1 = a1 + a2c21, e = e ,и,произвольно задавая a2,можно получать множество новых оценок a1 = a1 − a2c21.

Логичнее всего положить a2 = 0,т.е.не вводить фактор zö2.Хотя,если из содержательных соображений этот фактор следует все-таки ввести,то тогда надо исключить из уравнения какой-либо ранее введенный фактор,входящий в zö1.Таким образом,вводить в модель фактор ы,линейно зависимые от уже введенных, бессмысленно.

Действительно,в так ой ситуации матрица M плохо обусловлена и диагональные элементы

M −1,определяющие дисперсии оценок,мог ут принимать очень большие значения. Кроме того,даже небольшие изменения в M ,связанные с ошибками в факторных переменных,могут повлечь существенные изменения в M −1 и,как следствие, Ñ в оценках a.

Последнеенаглядноиллюстрируетсярисунком(рис.7.1)впространственаблюдений при n = 2.

На этом рисунке: OA Ñ xö, OB Ñ zö1, OC Ñ zö2.

Видно,что факторные переменные сильно коррелированы(угол между соответствующими векторами мал).

Поэтому даже небольшие колебания этих векторов,связанные с ошибками,значительно меняют положение плоскости,кот орую они определяют,и,соответственно, Ñнормали на эту плоскость.

Изрисункавидно,чтооценкипараметроврегрессииÇслегкостьюÈменяютнетолько свою величину,но и знак.

По этим причинам стараются избегать ситуации мультиколлинеарности. Для этого в уравнение регрессии не включают факторы,сильно коррелированные с другими.

Можно попытаться определить такие факторы,анализируя матрицу коэффициентов корреляции факторных переменных S−1M S−1,где S Ñдиагональная матрица среднеквадратических отклонений.Если коэффициент sj j ! этой матрицы достаточно большой,например,выше 0.75,то один из пары факторов j и j! не следует вводить в уравнение.Однако такого элементарногоÇпарногоÈанализа может оказаться не достаточно.Надежнее построить все регрессии на множестве факторных переменных,последовательн о оставляя в левой части уравнения эти переменные по отдельности.И не вводить в уравнение специфицируемой модели(с x в левой части)те факторы,уравнения регрессии для которых достаточно значимы по F -критерию(например,значение pv не превышает 0.05).

AОднако в эмпирических исследованиях могут

возникать ситуации,когда тольковведение сильно

D коррелированных факторов может привести к построению значимой модели.

O

векторами близки к 90◦),но вместе они определяют плоскость,угол между которой и вектором OA очень мал,т.е.коэффициент детерминации в регрессии xö на zö1, zö2 близок к единице.

Рисунок такжепоказывает,чтотакая ситуация возможна толькоеслифакторысильно коррелированы.

В таких случаях особое внимание должно уделяться точности измерения факторов.

Далее определяются последствия введения в уравнение дополнительного фактора.Для этого сравниваются оценки уравнений(7.51, 7.52)в предположении, что zö2 линейно независим от zö1.

В этом анализе доказываются два утверждения.

1)Введение дополнительного фактора не может привести к сокращению коэффициента детерминации,в большинст ве случаев он растет(растет объясненная дисперсия).Коэффициент детерминации остается неизменным тогда и только тогда,когда вводимый фактор ортогонале н остаткам в исходной регрессии(линейно независим от остатков),т.е.когда

(понятно,что коэффициент детерминации не меняется ив случае линейной зависимости zö2 от zö1,но такой случай исключен сделанным предположением о линейной независимости этих факторов;в дальн ейшем это напоминание не делается).

Для доказательства этого факта проводятся следующие действия. Записываются системы нормальных уравнений для оценки регрессий(7.51, 7.52):

для выбора модели:на них положительно отражается уменьшение остаточной дисперсии s2e (z1) (здесь имеется в виду смещенная оценка дисперсии из регрессии по z1)и отрицательноÑколичество включенных факторов n1 (без константы). Укажемтолькотринаиболееизвестныхкритерия(изогромногочислапредложенных в литературе):

Критерий Маллоуза:

В тех же обозначениях скорректированный коэффициент детерминации имеет вид

В идеале выбор модели должен происходить при помощи полного перебора возможных регрессий.А именно,берутся все возможные подмножества факторов z1, для каждого из них оценивается регрессия и вычисляется критерий,а затем выбирается набор z1,дающий наилучшее значение используемого критерия.

ли?Прежде всего,они отличаются по степени жесткости,то есть по тому,насколько велик штраф за большое количество факторов и насколько болееÇэкономнуюÈмо-

дель они имеют тенденцию предлагать. ÷2 является наиболее мягким критерием.

R

Критерии Cp и AI C занимаютпромежуточноеположение;прибольших N ониведутсебя оченьпохоже,но Cp несколькожестче AI C ,особенно прималых N . BI C является наиболее жестким критерием,причем,как можно увидеть из приведенной формулы,в отличие от остальных критериев его жесткость возрастает с ростом N .

Различие в жесткости проистекает из различия в целях.Критерии Cp и AI C направлены на достижение высокой точности прогноза: Cp направлен на минимизацию дисперсии ошибки прогноза(о ней речь пойдет в следующем параграфе),

а AI C Ñна минимизацию расхождения между плотностью распределения по истинной модели и по выбранной модели.В основе BI C лежит цель максимизации вероятности выбора истинной модели.

2)Оценки коэффициентов регрессии при факторах,ранее введенных в уравнение,как правило,меняются после введения дополнительного фактора.Они остаются прежними в двух и только двух случаях:а)если неизменным остается коэффициент детерминации и выполняется условие(7.53) (в этом случае уравнение в целом остается прежним,т.к. a2 = 0);б)если новый фактор ортогонален старым ( zö1 и zö2 линейно не зависят друг от друга),т.е.

т.к.вторая(нижняя)часть системы(7.55)означает в этом случае,что m22a2 = m2,

Что и требовалось доказать.

Иллюстрация случаяÇаÈпри n1 = 1 достаточно очевидна и дана выше.Рисунок7.4