Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

192 Глава5.Случайные ошибки

Такая модельÑэто предмет регрессионного анализа.Рассмотренная же модель(5.1)является ее частным случаем:формальноÑпри n = 0,по существуÑ

рены проблемыÇраспространенияÈошибок первичных измерений(в этой главе)и решены алгебраические вопросы оцен ки параметров регрессии(следующая глава).

5.2.Производные измерения

Измеренные первично величины используются в различных расчетах(в производных измерениях),и результаты этих расчетов содержат ошибки,являющиеся следствием ошибок первичных измерений.В этом пункте изучается связь между ошибкамипервичныхипроизводныхизмерений,илипроблемаÇраспространенияÈ ошибокпервичныхизмерений.Возможнаиболееобщаятрактовкапроблемы:влияние ошибок в исходной информации на результаты расчетов.

Пусть xj , j = 1, . . . , n, Ñвыборочные(фактические)значения(наблюдения, измерения) n различных случайных величин, βj Ñих истинные значения, εj Ñ ошибки измерений.Если x, β, ε Ñсоответствующие n-компонентные векторстроки,то x = β + ε.Предполагается,что E(ε) = 0 и ковариационная матрица ошибок E(ε!ε) равна Ω.

Пусть величина y рассчитывается как f (x).Требуется найти дисперсию σy2 ошибки εy = y − f (β) измерения(расчета)этой величины.

Разложение функции f в ряд Тэйлора в фактической точке x по направлению

ЭтоÑобщая формула,частным случаем которой являются известные формулы для дисперсии среднего,суммы,разности,произведения,частного от деления и др.

В случае,если известны дисперсии ошибок εj ,а информация о их ковариациях отсутствует,можно воспользоваться формулой,дающей верхнюю оценку ошибки результата вычислений:

n

σy ! |σj gj | = y ,

По сравнению с R в матрице W RW лишь поменяли знаки некоторые недиагональные элементы,и поэтому все ее элементы,как и в матрице R,не превышают единицы:

W RW ! 1n1"n.

Умножение обеих частей этого матричного неравенства справа на вектор-столбец |σg| и слева на вектор строку |g"σ| сохранит знакÇ ! È,т.к.эти векторы,по определению,неотрицательны.Следовательно:

Что и требовалось доказать.

5.3.Упражнения и задачи

Упражнение1

Дана модель xi = β + εi = 12 + εi , i = 1, . . . , N .Используя нормальное распределение,в котором каждое значение ошибки εi независимо,имеет среднее 0и дисперсию2,получите 100 выборок вектора ε размерности (N × 1), k = = 1, . . . , 100 ,где N = 10 (в каждой выборке по 10 наблюдений).Прибавив к каждому элементу этой выборки число 12 получите 100 выборок вектора x.

14.Наблюдаемое значение некоторой величины в предыдущий и данный момент времени одинаково и равно 10.Ошибкинаблюдений не коррелированы и имеют одинаковую дисперсию.Какова относительная ошибка темпа роста?

16.Стандартная ошибка измерения пока зателя труда и показателя капитала составляет 1%,ошибки измерений не коррелированы.Найти относительнуюошибкуобъемапродукции,рассчитанного попроизводственной функции КоббаÑДугласа: Y = C K αLβ .

17.Доля бюджетного дефицита в ВВП вычисляется по формуле (R −E)/Y ,где R = 600 условныхединицÑдоходыбюджета, E = 500 условныхединицÑ расходы, Y = 1000 условных единицÑВВП.Известно,что дисперсии R и E равна100,дисперсия Y равна 25.Оценить сверху дисперсию доли дефицита.

Рекомендуемая литература

1.Венецкий И.Г.,Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1979. (Разд. 7).

2.Езекиэл М.,Фокс К. Методы анализа корреляцийи регрессий. ÑМ.: ÇСта-

тистикаÈ, 1966. (Гл. 2).

3.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1977.Вып. 1. (Гл. 8, 9).

4.Моргенштерн О. Оточности экономико-статистических наблюдений. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1968. (Гл. 2, 6).

5.Тинтер Г.Введение в эконометрию. ÑМ.: ÇСтатистикаÈ, 1965. (Гл. 1).

6.Frees Edward W. Data Analysis Using Regression Models: The Business Perspective, Prentice Hall, 1996. (Ch. 2).

7.(*) Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3, 5).

8.William E.Griffiths, R. Carter Hill., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 14).

Глава6

Алгебра линейной регрессии

6.1.Линейная регрессия

В этой главе предполагается,что между переменными xj , j = 1, . . . , n существует линейная зависимость:

где αj , j = 1, . . . , n, β (угловыекоэффициентыисвободныйчлен) Ñ параметры (коэффициенты) регрессии (их истинные значения), ε Ñслучайная ошибка;или в векторной форме:

где x и α Ñсоответственно вектор-строка переменных и вектор-столбец параметров регрессии.

Как уже отмечалось в пункте4.2,регр ессия называется линейной,если ее

уравнениелинейноотносительнопараметроврегрессии,анепеременных.Поэтому предполагается,что xj , j = 1, . . . , n,могут являться результатом каких-либо функциональных преобразований исходных значений переменных.

Для получения оценок aj , j = 1, . . . , n, b , e,соответственно,параметров регрессии αj , j = 1, . . . , n, β и случайных ошибок ε используется N наблюдений за переменными x, i = 1, . . . , N ,которые образуют матрицу наблюдений X

размерности N × n (столбцыÑпеременные,строкиÑнаблюдения).Уравнение регрессии по наблюдениям записывается следующим образом:

где,как и прежде, 1N Ñвектор-столбец размерности N ,состоящий из единиц, ε Ñвектор-столбец размерности N случайных ошибок по наблюдениям; или в оценках:

Собственно уравнение регрессии(без случайных ошибок) xα = β или xa = b определяет,соответственно,истинную или расчетную гиперплоскость (линию,

плоскость, . . . ) регрессии.

Далееприменяетсяметоднаименьшихквадратов:оценкипараметроврегрессии находятся так,чтобы минимального значения достигла остаточная дисперсия:

s2e = N1 e!e = N1 0a!X ! − b1!N 1(X a − 1N b) .

Из равенства нулю производной остаточной дисперсии по свободному члену b следует,что

Вторая производная по b равна 2,т.е.в найденной точке достигается минимум.

Здесь и ниже используются следующие правила матричной записи результатов дифференцирования линейных и квадратичных форм.

Пусть x, a Ñвектор-столбцы, α Ñскаляр,а M Ñсимметричная матрица.Тогда:

(См.ПриложениеA.2.2.)

(6.3, 6.4) Ñ исходная, (6.7) Ñ сокращенная запись уравнения регрессии.

Минимизация остаточной дисперсии по a без дополнительных условий приведет к тривиальному результату: a = 0.Чтобы получать нетри виальные решения, на вектор параметров α и их оценок a необходимо наложить некоторые ограничения.В зависимости от формы этих огра ничений возникает регрессия разного видаÑ простая или ортогональная.

6.2.Простая регрессия

В случае,когда ограничения на вектор a (α) имеют вид aj = 1 ( αj = 1), возникают простые регрессии.В таких регрессиях в левой части уравнения остается одна переменная(в данном случае j -я),а остальные переменные переносятся

В таких регрессиях ошибки eij Ñрасстояния от гиперплоскости регрессии до точек облака наблюденияÑизмеряются параллельно оси xj .