Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

"

αxi = xi x .Такая ситуация имеет место в приведенных выше примерах(b), (c), (d), если объемы производства и затрат измерены в денежном выражении.

В этом случае все формулы,приведенные выше для индивидуальных индексов, остаются справедливыми.Индексы агрегированных величин обладают свойствами транзитивности и мультипликативности.

Индексы агрегированных величин или собственно индексы должны обладать ещеоднимсвойствомÑсвойством среднего.Этоозначает,чтоихзначениянедолжны выходить за пределы минимального и максимального значений соответствующихиндивидуальныхиндексов.Ссодержательнойточкизренияэтосвойствовесьма желательно.Иногда индексы так и определяютсяÑкак средние индивидуальных индексов.Например,индексы динамикиÑкак средние темпы роста.

Легко убедиться в справедливости следующих соотношений( xi по-прежнему аддитивны):

Как видно из приведенных соотношений,индексы объемных величин являются средними индивидуальных индексов,т.к.суммы по i весов αryi и αrxi равны единице.Индекс же относительной величины этим свойством не обладает.В частности, он может оказаться больше максимального из индивидуальных индексов,если при переходе от условий r к условиям s резко возрастает вес αxi объекта с высоким показателем λrsa .И наоборот,индекс средней относительной величины может оказаться меньше минимального индивидуального индекса,если резко увеличивается вес объекта с низким относительным показателем.

Эту особенность индекса относительной величины можно проиллюстрировать следующим числовым примером при N = 2 (см.табл. 3.1).

с высоким уровнем относительного показателя.В результате значение итогового индексаÑ 1.43 Ñоказывается больше значений обоих индивидуальных индексовÑ 0.8 и 1.25.При переходе от s к r ситуация противоположна(в данном случае индексы обратимы),и итогов ый индекс меньше индивидуальных.

Характерно,что этот парадокс возникает в достаточно простой ситуации,когда объемы xi аддитивны.

3)Собственно проблемы индексного анализа возникают в случае,когда xi неаддитивны.Такая ситуация имеет место в приведенном выше примере(а).Именно данный пример представляет классическую проблему индексного анализа.В его терминах часто излагается и сама теория индексов.Общий индекс,называемый в этом случае индексом стоимости,который рассчитывается по формуле

λrs = (xs , as ) , y (xr , ar )

необходимо разложить на два частных факторных индекса(представить в виде произведения этих частных индексов):

λrsx Ñ индекс объема (физического объема)и

λrsa Ñ индекс цен.

В случае аддитивности xi аналогичные проблемы возникают для индекса не объемной величины y,который раскладывается на факторные индексы естествен-

нымобразом(какбылопоказано выше),аотносительной величины a = xy .Общий индекс этой величины,называемый индексом переменного состава и удовлетворяющий соотношению

надопредставитькакпроизведениефакторныхиндексов: λrsα Ñ индекс структуры (структурных сдвигов)и λrs(a) Ñиндекс индивидуальных относительных величин,

называемый индексом постоянного состава.

3.2.Способы построения индексов

Возникающая проблема разложения общего индекса на факторные индексы может решаться различным образом.Возможны следующие подходы:

(xs , ar ) (xs , as )

(1) λrsy = (xr , ar ) (xs , ar ) = λrsx λrsa .

Индекс объема считается как отношение текущей стоимости в базисных ценах к фактической базисной стоимости,а индекс ценÑкак отношение фактической текущей стоимости к текущей стоимости в базисных ценах.

(xs , as ) (xr , as )

(2) λrsy = (xr , as ) (xr , ar ) = λrsx λrsa .

В этом случае индекс объема рассчитывается делением фактической текущей стоимости на базисную стоимость в текущих ценах,а индекс ценÑделением базисной стоимости в текущих ценах на фактическую базисную стоимость.

Оба эти варианта имеют очевидный содержательный смысл,но результаты их применения количественно различны,иногдаÑсущественно.

(3) Промежуточный вариант,реализуемый,например,е сли взять среднее геометрическое с равными весами индексных выражений (1) и (2) :

AA

(4) Индекс объема можно рассчитать как некоторое среднее взвешенное индивидуальных индексов объема:

где k, как правило,принимает значение либо 1 (среднее арифметическое),либо 0 (среднее геометрическое),либо −1 (среднее гармоническое).А индекс цен

λrs

по формуле λrsa = λyrs ,так чтобы выполнялось мультипликативное индексное выражение. x

(5) Обратный подход:

Индекс объема в подходе (4) и индекс цен в подходе (5) можно находить и другими способами.

(6−7) Например,ихможно взять какнекоторые средние индексов,определенных в подходах (1) и (2) (т.е.использовать другой вариант подхода (3)):

(8−9) Или рассчитать по некоторым нормативным ценам an и весам xn :

Подходы (4−5) приопределенномвыборетипасреднегоивесовагрегирования оказываются эквивалентны подходам (1−2).

Так,еслив подходе (4) индекс объема взять как среднее арифметическое индивидуальных индексов объема с базисными весами αry ,то будет получено индексное выражение подхода(1),поскольку

нее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами αsy ,то получится индексное выражение подхода (2).

Подход (5) окажется эквивалентным подходу (1),если в нем индекс цен определить как среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами; он будет эквивалентен подходу (2),если индекс цен взять как среднее арифметическое с базисными весами.

Здесь приведено лишь несколько основных подходов к построению мультипликативных индексных выражений.В нас тоящее время известны десятки(а с некоторыми модификациямиÑсотни)способов расчета индексов.Обилие подходов свидетельствует о том,что данная проблема однозначно и строго не решается. На этом основании некоторые скептики называли индексы способом измерения неизмеримых в принципе величин и ставили под сомнение саму целесообразность их применения.Такая точка зрения ошибочна.

Во-первых,индексы дают единственну ю возможность получать количественные макрооценки протекающих экономических процессов(динамика реального

производства,инфляция,уровень жизни и т.д.),во-вторых,они и только они позволяют иметь практические приложения многих абстрактных разделов макроэкономики как научной дисциплины.Так,напри мер,даже самое элементарное макроэкономическое уравнение денежного обмена

P Q = M V ,

где P Ñуровень цен, Q Ñтоварная масса, M Ñденежная масса, V Ñскоростьобращенияденег,неимеетнепосредственноникакогопрактическогосмысла, ибо ни в каких единицах,имеющих содер жательный смысл,не могут быть измерены P и Q.Можно измерить лишь изменения этих величин иÑтолько с помощью техникииндексногоанализа.Например,измеримымимогутбытьпеременныеуравнения денежного оборота в следующей форме:

Y 0λ01P λ01Q = M 1V 1,

где Y 0 Ñваловой оборот(общий объем производства или потребления)базисного периода в фактических ценах.

Проблема выбора конкретного способа построения индексов из всего множества возможных способов решается на практике различным образом.

В советской статистике был принят подход (1).Аргументация сводилась к следующему.Количественный(объемный)признак является первичным по отношению к качественному(относительному)и поэтому при переходе от базисных условий к текущим сначала должен меняться он(количественный признак):

( ) ( ) ( ) x0, a0 → x1, a0 → x1, a1 .

Первый шаг этогоÇпереходаÈдает индекс объема,второйÑиндекс цен.Внятных разъясненийтому,почему количественныйпризнакпервичен ипочему именно первичный признак должен меняться первым,как правило,не давалось.Тем не менее, применение этого подхода делает весьма наглядным понятие объемов(производства,потребления, . . . ) в сопоставимых или неизменных ценах.

Действительно,пусть оценивается динамика в последовательные периоды времени t = 0, . . . , N ,и индексы для любого периода t > 0 строятся по отношению к одному и тому же базисному периоду t = 0.Тогда при использовании подхода (1) указанный вышеÇпереходÈдля любого периода t > 0 принимает форму 0x0, a01 → 0xt , a01 → 0xt , at 1,и выстраивается следующая цепочка показателей физического объема: (x0, a0), (x1, a0), . . . , (xt , a0), . . . , (xN , a0).Очевидна интерпретация этих показателейÑэто объемы в сопоставимых(базисных) или неизменных ценах.ОднакоÇнагляд ностьÈне всегда обеспечиваетÇправильностьÈ.Об этом пойдет речь в пункте3.6.

Всовременнойиндексологиипроблемавыборарешаетсявзависимостиоттого, какому набору требований(аксиом,тестов)должны удовлетворять применяемые индексы.ТребованияÑэто свойства,которыми должны обладать индексы.Выше были определены три таких свойства:мультипликативности,транзитивности и среднего.Приведенные выше подходы к построению индексов с этой точки зрения не одинаковы.Все они удовлетворяют требованию мультипликативностиÑ по построению.А транзитивными могут быть,например,только в подходах (4−5) , при k = 0.Свойством среднего могут не обладать индексы цен подходов (4, 6, 8) и индексы объемов в подходах (5, 7, 9).

Иногда добавляют еще одно требованиеÑ симметричности.Это требование означает,что оба факторных индекса должны рассчитываться по одной и той же формуле,в которой лишь меняются местами переменные и нижние индексы с x на a или наоборот.Из всех приведенных выше подходов только (3) приводит к индексам,отвечающим этому требованию.Многие экономисты считают это требование надуманным.Так,например,даже при естественном разложении общего индекса,которое имеет место в случае аддитивности объемного признака,факторные индексы асимметричны.

При выборе способа расчета индексов полезно проводить математический анализ используемых формул.В некоторых случаях эти математические свойства таковы,что результат расчета неизбежно буд ет содержать систематическую ошибку.

Пусть,например,речь идет о расчете индекса цен как среднего индивидуальных индексов(подход (5)),и веса взвешивания остаются неизменными во времени.

В данном случае(как и в ряде других случаев)имеет смысл проверить,как ведет себя индекс на осциллирующих рядах индивидуальных цен.Цены осциллируютÑзначит меняются циклически с периодом две единицы времени:

Поэтому общий индекс цен за период времени,включающий четное количество временных единиц,всегда равен единице:

λat, t+2T = 1.

Этот результат понятен,поскольку индивидуальные цены лишь колеблются,не изменяя своего общего уровня.Этот же об щий индекс можно рассчитать по цепному правилу:

λt,a t+1λta+1, t+2 . . . λat+2T −1, t+2T .

Индекс в такой форме в дальнейшем будет называться цепным и обозначаться λt,a t+1, ..., t+2T или λta t+2T ,гдеÇ Èзаменяет последовательность временных подпериодовÑединиц времени внутри общего периода.

Рассчитанный таким образом индекс равен единице только при использовании среднего геометрического(при k = 0)в расчете индексов за каждую единицу времени. Это проверяется непосредственной подстановкой формулы среднего геометрического при неизменных во времени весах индивидуальных индексов.Из свойства мажорантности средних следует,что при использовании средних арифметических общий цепной индекс будет обязательно больше единицы,а при использовании средних гармоническихÑменьше единицы. Другими словами,результат будет либо преувеличен,либо преуменьшен.Причем ошибка будет тем выше,чем длиннее рассматриваемый период(чем больше T ).Из этого следует два вывода:

Ðпри расчете общего индекса как среднего индивидуальных индексов веса не должны оставаться постоянными во времени,

Ðобщий индекс как среднее арифметическое индивидуальных индексов может преувеличить реальный рост изучаемой величины,а как среднее гармоническоеÑпреуменьшить его.

Формальный анализ индексного выражения позволяет выяснить,с какими погрешностями связано его использование при изучении реальных процессов.

Например,полезно исследовать,к каким по грешностям приводит нетранзитивность индексов.

Какужеотмечалось,вобщемслучаеиндексывсехприведенныхвышеподходовнеобладают свойством транзитивности.В частности,индекс цен подхода (1) не транзитивен,т.к.

Вопрос о том,какая из этих величин больше,сводится,как не сложно убедиться,путем элементарных преобразований к вопросу о соотношении следующих двух возможных значений индекса λ01a :

очередь,можно представить как средневзвешенные индивидуальных индексов цен

Длярыночнойэкономикихарактерносокращениеобъемовпокупоктовараприросте ценнанего.Еслипредположить,чтодинамикацениобъемовустойчиваврассматриваемом периоде,и направленность их трендов(вверх или вниз)не меняется на нем

(такое предположение необходимо сделать,т.к.динамика цен на подпериоде 01 связывается в данных индексах с динамикой объемов на подпериоде 12),то в таких условиях

λ01a (1) > λ01a (2).

Изэтогоследует,чтодлярыночнойэкономикизначениецепногоиндекса λ012a вподходе (1) больше значения соответствующего обычного индекса λ02a .

Аналогичный анализ индексов цен подхода (2) показывает,что для них характерно противоположное соотношение:цепной ин декс принимает меньшее значение,чем обычный индекс за период времени.

Несколько слов о терминах.

Факторные индексы,используемые в подходах (1−2) ,называются агрегатными.Такие индексы были предложены немецкими экономистами Э.Ласпейресом и Г.Пааше во второй половинеXIXвека. Индекс Ласпейреса строится так,чтобы в числителе и знаменателе неизменными оставались объемы или цены на базисном уровне,поэтому знаменателем этого индекса является фактическая базисная стоимость,а числитель образован и баз исными,и текущими значениями.Этот индекс является среднеарифметическим индивидуальных индексов с базисными весами.Таковыми являются индекс объема в подходе (1) и индекс цен подхо-

да (2).

В числителе и знаменателе индекса Пааше одинаковыми объемы или цены фиксируются на текущем уровне.Его числителем явля ется фактическая текущая стоимость,знаменатель имеет смешанный состав.Такой индекс выступает среднегармоническим индивидуальных индексов с текущими весами.ЭтоÑиндекс цен подхода (1) и индекс объема подхода (2).

В мультипликативном представлении общего индекса стоимости один из факторных индексовÑиндекс Ласпейреса,другойÑПааше.

В20-х годахXXвека Фишером было предложено рассчитывать индексы как средние геометрические соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше с равными весами.Потому индексы подхода (3) называются индексами Фишера.Фишер показал,что в его системе тестов(требо ваний,аксиом)они являются наилучшими из всех возможных( им рассмотренных).

Индексы цен,рассчитанные каким-то способом,например,как в подходах (5),

(7), (9),или заданные нормативно(при про гнозировании)с целью дальнейшего определения индексов объемов из требования мультипликативности иногда называют дефляторами стоимости(например,дефляторами ВВПÑвалового внутреннего продукта).А такой способ расчета индексов цен и объемовÑ дефлятирова-

нием.

На практике при построении индексов цен часто используют нормативный подход (9).Причем структуру весов обычно принимают облегченнойÑне по всем товарам(их,как правило,бывает много),а по товарам-представителям,каждый из которыхпредставляет целуютоварную группу.Такойхарактеримеют,например, индексы цен по потребительской корзине,в которую включаются от нескольких десятков до нескольких сотен основных потребительских продуктов.

Итак,рассмотрены основные проблемы и подходы,существующие при проведении индексного анализа,спомощью которогоизучается вопрос отом, во сколько раз меняется значение величины при переходе от одних условий к другимÑв целом и за счет отдельных факторов.

3.3.Факторные представления приростных величин

Во многом схожие проблемы возникают и в анализе вопроса о том, на сколько и за счет каких факторов меняется значение изучаемой величины.В таком анализе общее изменение величины во времени или в пространстве требуется разложить по факторам,вызвавшим это изменение:

ys − yr = rsy = rsx + rsa .

В случае,когда y Ñрезультат(какая-то результирующая величина,например,объемпроизводства), x Ñзатраты(например,основнойкапиталилизанятые впроизводстве), a Ñэффективностьиспользованиязатрат(отдачанакапиталили производительность труда),то говорят о проблеме разложения общего прироста результирующей величины на экстенсивные и интенсивные факторы.

При изучении изменений относительной величины at = 0αt , at 1 во времени или в пространствеÑв случае адд итивности объемных признаков xi Ñвозникает аналогичная проблема разделения прироста этой величины rsa на факторы изменения структуры rsα и изменения индивидуальных относительных величин rs(a).Так,например,общее различие материал оемкости совокупного производства между двумя регионами можно попытаться разбить на факторы различия отрасле-

вых структур производства и отраслевых материалоемкостей производства.

Эти проблемы можно решить так же,как и в подходах (1−3) индексного анализа.

(1!) Вподходе (1) индексногоанализаобщийиндекс λrsy умножаетсяиделится на величину (xs , ar ),и после перегруппировки сомножителей получается искомое индексное выражение.Теперь,аналогично,к общему приросту rsy прибавляется и из него вычитается та же величина (xs , ar ).После перегруппировки слагаемых

(3!) Берется среднее арифметическое пофакторных представлений (1!) и (2!)

Существует более общий подход,в рамках которого пофакторное представлениеобщегоприростарезультирующейвеличиныстроитсянаосновеопределенного мультипликативного индексного выражения λrsy = λrsx λrsa .

Для относительного прироста результирующей величины можно записать следующее тождество:

λrsy − 1 = (λrsx − 1) + (λrsa − 1) + (λrsx − 1)(λrsa − 1).

Выражение для общего абсолютного прироста результирующей величины получается умножением обеих частей этого соотношения на yr ,равный (xr , ar ).

Первое слагаемое правой части этого тождества показывает влияние изменения объемной величины(экстенсивны е факторы),второе сл агаемоеÑвлияние измененияотносительнойвеличины(интенсивныефакторы),атретьеслагаемоеÑ совместное влияние этих факторов.Эта ситуация иллюстрируется рисунком3.1.