Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Крайним случаем предельных распределений являются распределения частот отдельных признаков(см.п. 2.1),которые получаются,если множества J включают лишь один элемент(признак)из j = 1, . . . , n.Для таких распределений

I(J ) → ij (j).

Вчастном,но достаточно важном случае при n = 2 частоты распределения обычно представляют в таблице сопряженности,или корреляционной таблице:

Легко представить возможные обобщения таблицы сопряженности на случай n > 2.Ее аналогом является n-мерный прямоугольный параллелепипед,в итоговых гранях которого(в таблице сопряженности таких граней двеÑитоговые столбец и строка)даны все возможные маргинальные распределения частот.Итоговые граниÑкрайние,предельные,мар гинальные части параллелепипеда.Это дает еще одно объяснение используемому терминуÑ Çмаргинальные распределенияÈ.

Исходное распределение илюбоемаргинальное распределение частотстроятся по всей совокупности.Однако важное значение имеют и распределения,построенные по отдельным частям выборки.Так,на ряду с рассмотренным распределением частот признаков J по группам класса J ,можно говорить о распределении частот

признаков ø (всех оставшихся признаков)по конечным группам в каждой отдель-

J

ной группе класса J .ЭтоÑ условные распределения частот.Они показывают

распределения частот признаков ø при условии,что все остальные признаки

J J

зафиксированы на определенных уровнях I (J ).В таблице сопряженности таковыми являются распределения1-го приз нака в каждом отдельном столбце,если

иi2(2);

fi1 | i2 f i2 = fi1i2 , f i2 | i1 fi1 = fi1i2 .

В результате объединения двух последних равенств и перехода к непрерывному случаю получаются известные формулы математической статистики об условных распределениях:

f (x1 | x2) f (x2) = f (x1, x2) = f (x2 | x1) f (x1),

Ñнакопленные относительные частоты условного распределения.Правую часть этого равенства можно преобразовать:

т.е.для накопленных относительных частот получается соотношение такое же, как и для плотностей относительных частот f :

В непрерывном случае для двух признаков:

F (x1 | x2)F (x2) = F (x1, x2) = F (x2 | x1)F (x1),

F (x1 | x2)F (x2) = F (x2 | x1)F (x1).

Количество параметров относительной частоты(также как и плотности отно-

n = 2 в таблице сопряженности структура каждого столбца(результат деления элементов столбца на итоговыйÑсумму элементов)показывает относительные частоты условного распределения1-го признака по уровням2-го признака(если J = 2).Количество параметров относительной частоты каждого такого условного

Если итоговые грани n-мерного прямоугольного параллелепипеда параметров распределения(обобщения таблицы сопряженности),как отмечалось выше,дают все возможные маргинальные распределения,то ортогональныеÇсрезыÈэтого параллелепипеда(как строки и столбцы таблицы сопряженности)представляют все возможные условные распределения.

Условные распределения,сопоставляющие в определенном смысле вариации

признаков двух разных групп ø и ,используются в анализе связей между этими

J J

двумя группами признаков.При этом чр езвычайно важно понимать следующее. Речь в данном случае не идет об анализе причинно-следственных связей,хотя фор-

ÇследствиемÈ.Направление влияния в таком анализе не может быть определено. ЭтоÑпредмет более тонких и сложных методов анализа.Более того,содержательно признаки этих групп могут быть не связаны,но,если они одновременно зависят от каких-то других общих факторов,то в таком анализе связь между ними может проявиться.Такие св язи в статистике называют ложными корреляциями (или ложными регрессиями).Поэтому все гда желательно,чтобы формальному анализу зависимостей предшествовал содержательный,в котором были бы сформулированы теоретические гипотезы и построены теоретические модели.А результаты формального анализа использовались бы для проверки этих гипотез.То естьиздвух задачстатистического анализасвязей,сформулированных впреамбуле к этому разделу,предпочтительней постановка второй задачи.

друг от друга.Таким образом,необходимым и достаточным условием независи-

мости признаков двух множеств ø и является неизменность совместных рас-

J J

пределений признаков øпри вариации уровней признаков .Это условие можно

J J

сформулировать и в симметричной форме:неизменность совместных распределе-

Длятаблицысопряженностиэтоусловиеозначает,чтоструктурывсехеестолбцов одинаковы.Одинаков ы и структуры всех ее строк.

Итак,в случае независимости данных множеств признаков относительные ча-

из соотношения (4.10) следует,что относительные частоты этого распределения

Не сложно убедиться в том,что аналогичные соотношения в случае независимости признаков выполняются и для f и F :

Fi1 F i2 = Fi1i2 , F (x1)F (x2) = F (x1, x2).

Любоеизсоотношений(4.12),(4.13),(4.14)являетсянеобходимымидостаточ-

вывода этих соотношений.Достаточность легко показать,например,для(4.12). Так,если выполняется(4.12),то в соответствии с(4.4):

вием взаимной независимости этих трех множеств признаков является следующее равенство:

αI (J1)αI (J2),т.к. αI (J1)αI (J2) = αI (J1)+I (J2) ≡ αI (J ) Ñизвестное условие незави- симости двух множеств признаков в рамкахмаргинального распределения призна-

ков J .

Необходимым и достаточным условием взаимной независимости всех признаков,входящих в множество J служит следующее соотношение:

J

Это соотношениеÑрезультатзавершенияпроцессадробления множествпризнаков,который начат переходом от(4.12)к(4.16).

Соотношения(4.12Ð4.14, 4.16Ð4.17)являются теоретическими.Оцененные по выборочнойсовокупности параметры совместных распределений,дажееслисоответствующие множества признаков независимы друг от друга,не могут обеспечить точное выполнение этих соотношений,поскольку они(параметры эмпирических распределений)явля ются случайными величинами.Критерий независимости строится как определенный показатель( статистика),характеризующий степень нарушения равенств в указанных соотношениях.Использование этого критерия осуществляется как проверка статистической гипотезы(нулевая гипотеза:признаки данных групп не зависимы),логика которой описана в конце пункта2.4.Данный критерий входит в группу критериев согласия и называется критерием Пирсона, или χ2 (критерием хи-квадрат).

Показатели(статистики)этого критерияÑ χ2l c (Çc È Ñ calculated, Çl È Ñколичество множеств признаков),Ñназываемые иногда выборочными среднеквад-

ратическими сопряженностями признаков,рассчитываются на основе(4.12), (4.16), (4.17)следующим образом:

()2

симыми.Если расчетное значение больше табличного,то множества признаков определяются как зависимые между собой с уровнем ошибки 5%.

Современныепакетыприкладныхстатистическихпрограммизбавляютотнеобходимости пользоваться статистическими таблицами,т.к.расчет статистики критерия сопровождается оценкой уровня его значимости sl (significance level). Для некоторых критериев этот показатель называется значением вероятности pv (probability value).Уровень значимости sl Ñэто такое число,что

То есть нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки 0.05,если sl < 0.05.

В случае2-х признаков среднеквадратичная сопряженность имеет следующий вид(здесь и ниже используется1-й способ обозначений):

асоответствующее ей χ2-распределение имеет (k1 −1)(k2 −1) степеней свободы;

множество χi1 образовано величинами αi1k2 − αi1 α k2 , i1 = 1, . . . , k1,множество χ i2 Ñвеличинами αk1i2 −αk1 α i2 , i2 = 1, . . . , k2,общимдля них является элемент αk1k2 − αk1 α k2 .

Далее в этой главе рассматривается в основном случай двух признаков.

4.2.Регрессионный анализ

В качестве значений признаков xi1 и x i2 на полуинтервалах,как и прежде,принимаются середины этих полуинте рвалов.Средние и дисперсии признаков рассчитываются по известным формулам:

Важной характеристикой совместного распределения двух признаков является ковариация Ñсовместный центральный момент2-го порядка:

m12 = !xöi1 xö i2 αi1i2 .

ДисперсияÑчастный случай ковариации (ковариация признака с самим собой),поэтому для обозначения дисперсии j -го признака часто используется mj j .