Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Каналогичной формуле для средней по исходной совокупности можно придти

ииначе.Пусть,как и сначала,признак варьирует по всем объектам совокупности, а xøl Ñсреднеарифметическое простое по l-й группе.Очевидно,что

x = !Nl xøl, и xø = !αl xøl .

По такой же формуле производится расчет средней по данным эмпирического распределения частот признака(с м.предыдущий пункт).В качестве xøl в таком случае принимают не среднее по l-й группе,а,как отмечалось выше,середину l-го полуинтервала.

Предполагая,что все объекты совокупности имеют разные веса(вес i-го объекта равен αi ),среднее по совокупности записывается как взвешенное:

x = !αixi.

ЭтоÑболее общая формула среднеарифметического:при равных весах,

"

то есть в случае,если αi = 1 N для всех i,она преобразуется в формулу средне-

арифметического простого.

Для нахождения средней величины типа запаса за некоторый период времени используется среднее арифметическое взвешенное,называемая средним хронологическим (или средней хронологической).Смысл этой величины поясняется рисунком2.7.

На практике в дискретном случае этот расчет можно провести следующим образом.

Пусть x0, x1, . . . , xN Ñзначения некоторой объемной величины типа запаса в моменты времени t0, t1, . . . , tN , и τi = ti − ti−1, i = 1, . . . , N , τ = %τi

(длина AD).

Еслипредположить,что накаждомвременном отрезке τi динамика показателя

линейна,тоегосуммарноезначение наэтомотрезкерассчитываетсякак τi xi + xi−1 ,

2

Взнаменателеэтоговыражениядлясреднейхронологическойнаходитсянепрерывный темп прироста за период(см.п. 1.8),т.е.средняя хронологическая определяется делением абсолютного прироста на относительный прирост за период.ЭтоÑособый вид средней,которую иногда и называют собственно хронологической.

Искомый предел равен x0 .Таким образом,на бесконечно малых отрезках времени значение этой величины равно самому показателю,а на конечных отрезкахÑего среднему значению при предположении,что темп роста на этом отрезке остается неизменным.

Возвращаясь к общему случаю N + 1 временной точки,среднюю хронологическую при предположении неизменности темпа роста внутри каждого временного периода можно рассчитать следующим образом:

Несложноубедиться в том,что вслучае,е слисредние вединицу временитемпы

Расчет средних хронологических величин типа запаса является необходимой операцией для приведения этих величин к форме,сопоставимой с величинами типа потока,имеющими другое качество.Так,например,производительность труда рассчитывается как отношение выпуска продукции за определенный период времени к средней хронологической занятых в производстве за этот же период.Если величины типа запаса и потока имеют одно качество(потоки выражают изменение запасов за период времени),то используются и показатели отношения потока к запасу на начало или конец периода(или наоборот).Так,например,отношение

выбывших в течение года основных фондов к основным фондам на начало года называется коэффициентом выбытия фондов,а отношение годового ввода фондов к фондам на конец годаÑкоэффициентом обновления фондов.

Среднеарифметическое является частным случаем так называемого среднестепенного или среднего степенного,которое рассчитывается по следующей формуле:

Следует обратить внимание,что эта величина существует не при всех k,если некоторые из xi отрицательны.Чтобы избежать непринципиальных уточнений, в дальнейшем предполагается,что все значения признака положительны.

При k = 1 среднеестепенноепревращаетсявобычноесреднеарифметическое, при k = 2 этоÑ среднеквадратическое,используемое для оценки степени вариации признака по совокупности,при k = −1 Ñсреднее гармоническое,примеры использования которого приводятся при рассмотрении средних относительных величин,при k = 0 Ñсреднее геометрическое.

Последнее утверждение доказывается путем нахождения предела среднего степенного при k → 0.Для того чтобы сделать такой предельный переход,обе части формулы среднего степенного возводятся в степень k,затем xøk и все xki представляются разложением в степенные ряды:

далее в обеих частях полученного выражения сокращаются единицы (1 = %αi ) , и эти обе части делятся на k.Теперь при k = 0 получается следующее равенство:

ln xø = !αi ln xi ,

откуда xø = 3xαi i ,что и требовалось доказать.

Средние геометрические используются при построении некоторых специальных индексов.Но это тема следующей гл авы.Простые примеры использования средней геометрической дает производственная функция.

Пусть в производственной функции КоббаÑДугласа так называемая отдача на масштаб постоянна,т.е.сумма показателей степеней в выражении функции равна единице,иприувеличениииспользованияресурсовводинаковоеколичестворазвыпуск продукции растет в такое же количество раз:

X = aC αL1−α,

или в более развернутой форме:

X = (C aC )α(LaL )1−α,

где aC Ñкоэффициент фондоотдачи при нормальном соотношении между основным капиталом и трудом, aL Ñкоэффициент производительности труда при тех же нормальных условиях.

Нормальное соотношение труда и капитала определяется сложившимся организа- ционно-технологическим уровнем производства.ЭтоÑфиксированная величина:

sn = CL .

Откуда aC = a (sn )α−1 , aL = a (sn)α .

Таким образом,в общем случае(при любых соотношениях ресурсов)выпуск продукции является средневзвешенной геометрической потенциального выпуска,который мог бы быть обеспечен основным капиталом при нормальном соотношении его с трудом(величины C aC ),и потенциального выпуска,который обеспечивается трудом при нормальном его соотношении с капиталом( LaL ).Коэффициент a в исходной записи производственной функции равен aαC a1L−α ,и он может называться коэффициентом общей производительности ресурсов,поскольку является также среднегеометрической нормальной фондоотдачи и нормальной производительности труда.

Более общая форма связи между выпуском и ресурсами дается производственной функцией с постоянной эластичностью замены ресурсов.В развернутом виде она записывается следующим образом:

6 7−1

X = α (C aC )−ρ + (1 − α) (LaL)−ρ ρ .

ЭтоÑпример использования среднего ст епенного при нецелочисленных значениях параметра степени,поскольку ρ (равный −k в общей формуле среднего степенного)может принимать люб ые значения на отрезке [−1, +∞] (при ρ → 0,в силу приведенного выше доказательства,производственная функция с постоянной эластичностью замены преобразуется к форме КоббаÑДугласа).От величины этого параметра зависят возможности взаимного замещения ресурсов,допускаемые в данной модели производства.Чем выше его величина,тем более затруднено это замещение.

Такое свойство производственной функции с постоянной эластичностью замены эквивалентноизвестномусвойствусреднегостепенного:оноувеличиваетсясростом k.

Среднее степенное увеличивается с ростом k,в частности,по возрастанию средние степенные располагаются в следующем порядке:гармоническое,геометрическое,арифметическое,квадратическое.Это свойство иногда называют мажо-

рантностью средних.

Для доказательства этого факта в выражении среднего выносится за скобки x1 :

xø = x1 ,α1 + !N αi #xi $k .k1 .

i=2 x1

"

Если xi упорядочены по возрастанию и x1 = min xi ,то xi x1 " 1,и при k → −∞

выражение в скобках стремится к %k! αi ,где k" Ñчисло объектов,для которых

i=1

усредняемый признак минимален (если минимум"единственный,то k" = 1),т.е.конечно.Это выражение возводится в степень 1 k ,которая стремится к нулю при

k → −∞.Следовательно,среднее степенное при k → −∞ равно минимальному значению усредняемых признаков.

Предположивтеперь,что xi упорядоченыпоубыванию,аналогичнымобразомможно доказать,что среднее степенное при k → +∞ равно максимальному значению признака по совокупности.

Если f Ñстепенная функция xk ,то речь идет о средней степенной,если f Ñлогарифмическая функция ln x,то этоÑсредняя логарифмическая,которая является частным случаемсредней степенной при k = 0,если f Ñпоказательная функция ax ,то этоÑсредняя показательная и т.д.

Особенностью средних относительных величин является то,что они,как правило,рассчитываются как средние взвешенные.

Пусть i-й объект, i = 1, . . . , N характеризуется зависимыми друг от друга объемными величинами yi и xi .Показателем этой зависимости является относительная величина ai = yi"xi .Это может быть производительность,фондовооруженность труда,рентабельность и т.д.Понятно,что средняя по совокупности объектов относительная величина a (знак черты над символом,обозначающим среднее относительное,часто опускается) рассчитывается по следующей формуле:

a = %%yi , xi

которая легко преобразуется в формулу средней взвешенной:

Таким образом,если веса рассчитываю тся по структуре объемных величин, стоящих в знаменателе,то средняя относительная является средней взвешенной арифметической,еслиэтивесарассчитываютсяпообъемнымвеличинам,стоящим в числителе,то она является средней взвешенной гармонической.

Формально можно рассчитать простую среднюю(например,арифметическую) a! = N1 !ai ,

носодержательногосмыслаонаиметьнебудет.Этостановитсяпонятным,кактолько осуществляется попытка привести слагаемые %yi"xi к общему знаменателю. Тем не менее,такая средняя также може т использоваться в анализе.Например, ее иногда полезно сравнить с фактической средней a для выявления некоторых характеристик асимметрии распределения признака по совокупности.Если a > a!, то в совокупности преобладают объекты с повышенной величиной ai ,и,повидимому,имеет место правая асимметрия,в противном случае в совокупности больший удельный вес занимают объекты с пониженной ai (левая асимметрия). Однако в статистике имеются более четкие критерии асимметрии распределения.

Особое место среди средних относительных занимают средние темпы роста. Темпы роста величин типа потока выражают отношение потока за единицу(период)времени к потоку за некоторую предыдущую единицу(предыдущий период) времени.Темпыроставеличинтипазапасапоказываютотношениезапасавмомент временикзапасувнекоторыйпредыдущиймоментвремени.Такойжесмыслимеют и средние темпы роста.Средние за пер иод темпы роста рассчитываются обычно как средние геометрические.

Пусть x0, x1, . . . , xN значения некоторой объемной величины в моменты времени t0, t1, . . . , tN ,если эта величина типа запаса,или в последнюю еди-