Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Рис. 14.6.Автокорреляционная функция интегрированного процесса(слева)и стационарного процесса(справа)

Они будут обладать не только свойством состоятельности,но и свойством эффективности.

К примеру,для парной регрессии xt = αzt + wt, где w = ϕwt−1 + εt , преобразование(14.63)приводит к уравнениям

GG

1 − ϕ2x1 = α 1 − ϕ2z1 + ε1

и

xt − ϕxt−1 = α(zt − ϕzt−1) + εt , t > 1,

для оценивания которых при данном ϕ применим обычный МНК.

После получения эффективных оценок параметров регрессии можно пересмотреть оценки параметров процесса ARMA.Можно продолжать такие итерации и далее до тех пор,пока не будет достигнута требуемая сходимость(см.метод КочренаÑОркатта,описанный в п. 8.3).

Распознавание порядка модели

Сначалавычисляютсяразностиисходногорядадотехпор,покаонинеокажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии,и отсюда получают оценку d.

Если процесс является интегрированным,то его выборочная автокорреляционная функция затухает медленно,причем убывание почти линейное.Если же автокорреляционная функция затухает быстро,то это является признаком стационарности.В качестве примера на рисуке 14.6слева изображена коррелограмма

ряда длиной в1000наблюдений,полученного по модели ARIMA(3, 1, 2),заданной уравнением(14.53).Справа на том же рисунке изображенакоррелограмма первых разностей того же ряда,которые подчиняются стационарной модели ARMA(3, 2), заданной уравнением(14.54).

Формальные критерии выбора d рассматриваются в пункте17.4.

Следует понимать,что достаточно сложно отличить процесс,который имеет единичный корень,от стационарного п роцесса,в котором есть корень близкий к единице.

Если d окажется меньше,чем требуется,то дальнейшее оценивание будет применяться к нестационарному процессу,что должно проявиться в оценках параметров авторегрессииÑв сумме они будут близки к единице.Если d окажется больше,чем требуется,то возникнет эффект избыточного взятия разности (overdifferencing),которыйпроявляется втом,чтовхарактеристическомуравнении скользящегосреднего появляется единичный корень.Это может создать трудности при оценивании скользящего среднего.

Для выбора порядка авторегрессии можно использовать выборочную частную автокорреляционнуюфункцию.Какизвестно,теоретическаячастная автокорреляционная функция процесса AR(p) обрывается на лаге p.Таким образом, p следует выбрать равным порядку,при котором наблюдается последнее достаточно большое(по модулю)значение выборочной частной автокорреляционной функции.Доверительные интервалы можно основывать на стандартной ошибке"выборочного частного коэффициента автокорреляции,которая равна примерно 1 √T для по-

рядков выше p (для которых теоретическая автокорреляционная функция равна нулю).

Аналогично,для выбора порядка скольз ящего среднего можно использовать выборочную автокорреляционную функцию,поскольку теоретическая автокорреляционнаяфункцияпроцессаMA(q) обрываетсяналаге q.Такимобразом, q следует выбрать равным порядку,при котором наблюдается последнее достаточно боль-

шое(помодулю)значениевыборочнойавтокорреляционнойфункции.Стандартная

"

ошибка выборочного коэффициента автокорреляции тоже примерно равна 1 √T .

Болееточнаяформуластандартнойошибкидляавтокорреляциипорядка k ( k > q)

A

Если же нет уверенности,что процес с является чистой авторегрессией или чистымпроцессомскользящегосреднего,тоэтиметодынеподходят.Но,покрайней мере,по автокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции можно проследить,насколько быстро угасает зависимость в ряде.

рассуждений предположим,что при прог нозировании доступна вся информация о процессе x до момента t включительно,т.е.информация,на основе которой строится прогноз,совпадает с полной предысторией процесса

Ωt = (xt , xt−1, . . . ) .

Заметим,что на основе (xt , xt−1, . . . ) можно однозначно определить ошибки (εt , εt−1, . . . ) и наоборот,поэтому при сделанных предположениях ошибки (εt , εt−1, . . . ) фактически входят в информационное множество.Кроме того,имея полнуюпредысторию,можноточновычислитьпараметрыпроцесса,поэтомубудем далее исходить из того,что пар аметры процесса нам известны.

Из теории прогнозирования известно,что прогнозом,минимизирующим среднийквадратошибки,будетматематическоеожидание xt+τ ,условноеотносительно Ωt ,т.е. E (xt+τ |Ωt ).Убедимся в этом,воспользовавшись представлением модели ARMA в виде модели линейного фильтра(разложением Вольда) (14.52)

xt+τ = εt+τ + ψ1εt+τ −1 + . . . + ψτ −1εt+1 + ψτ εt + ψτ +1εt−1 + . . . ,

где во вторую строчку вынесены слагаемые,относящиеся к предыстории;получим таким образом следующее представление условного математического ожидания:

E(xt+τ |Ωt) = E (εt+τ |Ωt) + ψ1E (εt+τ −1|Ωt) + . . . +

+ψτ −1E (εt+1|Ωt) + ψτ εt + ψτ +1εt−1 + . . . .

Вторую строчку формулы пишем без оператора условного математического ожидания,поскольку соответствующие слагаемые входят в предысторию Ωt .

Будем предполагать,что условное относительно предыстории математическое ожидание будущих ошибок равно нулю,т.е. E (εt+k |Ωt) = 0 при k > 0.Это будет выполнено,наприм ер,если все ошибки εt независимы между собой. (Отсутствия автокорреляции тут недостаточно.В приложении приводится пример белого шума, для которого это неверно.)Тогда рассм атриваемое выражение упрощается:

E (xt+τ |Ωt) = ψτ εt + ψτ +1εt−1 + . . . ,

что дает нам линейную по ошибкам формулу для оптимального прогноза:

где мы обозначили через xt (τ ) прогноз на τ периодов,сделанный в момент t.

Проверим,чтоэтапрогнознаяфункциябудетоптимальной(всмыслеминимума среднего квадрата ошибки)среди линейных прогнозных функций,т.е.среди прогнозных функций,представимых в виде л инейной комбинации случайных ошибок, входящих в предысторию:

Для этого найдем веса ψτ , ψτ +1, ψτ +2, . . .,которые обеспечивают минимум сред-

асредний квадрат ошибкипрогноза(сучетом некоррелированности ошибок)равен

в момент t еще неизвестны.Беря математичес кое ожидание от обеих частей,

видим,чтоматематическоеожиданиеошибкипрогнозаравнонулю.Такимобразом, прогноз,полученный по формуле(14.64),будет несмещенным.

Из несмещенности прогноза следует,что дисперсия ошибки прогноза равна среднему квадрату ошибки прогноза,т.е.

или

где ψ0 = 1.

Хотя представление в виде бесконечного скользящегосреднего удобно для анализа прогнозирования,однако для выч исления прогноза предпочтительнее вернуться к исходному представлению модели ARMA в виде разностного уравнения (со сдвигом на τ периодов вперед):

xt+τ = ϕ1xt+τ −1 + . . . + ϕp xt+τ −p + +εt+τ − θ1εt+τ −1 − . . . − θq εt+τ −q .

Возьмем от обеих частей уравнения условное относительно предыстории математическое ожидание:

xt (τ ) = E[xt+τ |Ωt ] = ϕ1E[xt+τ −1|Ωt ] + . . . + ϕp E[xt+τ −p |Ωt] +

+ E[εt+τ |Ωt ] − θ1E[εt+τ −1|Ωt ] − . . . − θq E[εt+τ −q |Ωt].

Введем более компактные обозначения:

E[xt+i|Ωt ] = xøt+i , E[xt+τ |Ωi] = εøt+i.

Вэтих обозначениях

xt (τ ) = xøt+τ = ϕ1xøt+τ −1 + . . . + ϕp xøt+τ −p +

+εøt+τ − θ1εøt+τ −1 − . . . − θq εøt+τ −q . (14.65)

При вычислении входящих в эту формулу условных математических ожиданий используют следующие правила:

дающие удобную рекуррентную формулу для вычисления прогнозов.

Для вычисления показателя точности прогноза(дисперсии ошибки прогноза или,что в данном случае то же самое,пос кольку прогноз несмещенный,среднего квадрата ошибки прогноза),удобно опять вернутся к представлению модели в виде бесконечного скользящего среднего.Как мы видели,дисперсия ошибки прогно-

МывывелиформулыдлярасчетаточечногопрогнозапомоделиARMA идисперсииэтогопрогноза.Еслидополнительно предположить,что ошибки εt подчиняются нормальному закону(т.е.представляют собой гауссовский процесс),то можно получить также интервальный прогноз.При этом предположении при известных значенияхпроцессадомомента t распределениебудущегозначенияпроцесса xt+τ (т.е.условное распределение xt+τ |Ωt )также будет нормальным со средним значением xt (τ ) и дисперсией σp2:

( ) xt+τ |Ωt N xt (τ ), σp2 .

Учитывая это,получаем доверительный интервал для xt+τ ,т.е.интервальный прогноз:

где ξ1−α Ñдвусторонний (1 − α)-квантиль стандартного нормального распределения.Это (1 − α) á 100-процентный доверительный интервал.

480 Глава14.Линейные стохастические модели ARIMA

Прогнозирование процессаARIMA

Для прогнозирования процесса ARIMA(p, d, q) при d > 0 можно воспользоваться представлением его в виде ARMA(p + d, q):

f(L)xt = θ(L)εt ,

где

f(L) = 1 − f1L − f2L2 − . . . − fp+dLp+d = ϕ(L)(1 − L)d ,

а коэффициенты f1, f2, . . . , fp+d выражаются через ϕ1, ϕ2, . . . ,ϕ p .В развернутой записи

Например,модель ARIMA(1, 1, 1),

(1 − ϕ1L)(1 − L)xt = (1 − θ1L)εt ,

можно записать в виде:

xt = (1 + ϕ1)xt−1 − ϕ1xt−2 + εt − θ1εt−1 = f1xt−1 + f2xt−2 + εt − θ1εt−1,

где f1 = 1 + ϕ1, f2 = −ϕ1.

При расчетах можно использовать те же приемы,что и выше для ARMA. Некоторую сложность представляет интерпретация ARIMA(p, d, q) в виде модели линейного фильтра,поскольку ряд модулей коэффициентов такого разложения является расходящимся.Однако это только технические сложности обоснования формул(в которые мы не будем вдаваться),а сами формулы фактически не меняются.

Таким образом,отвлекаясь от технических тонкостей,можем записать

ARIMA(p, d, q) в виде MA(∞):

Функцию реакции на импульсы можно рассчитать по рекуррентной формуле

где ψ0 = 1, ψi = 0 при i < 0 и θi = 0 при i > q.

Кроме того,прогнозы xt(τ ) можно вычислять по рекуррентной формуле,которая получается из(14.67)по аналогии с(14.65):

где условные математические ожидания xøt+i = E[xt+i|Ωt ] и εøt+i = E[εt+i |Ωt] рассчитываются по тому же принципу,что и в(14.65).

Альтернативный подход к прогнозированию в модели ARIMA(p, d, q) состоит в том,чтобы сначала провести необходимые вычисления для wt = (1 − L)d xt , т.е.процесса ARMA(p, q),который лежит в основе прогнозируемого процесса ARIMA(p, d, q),апотомнаихосновеполучитьсоответствующиепоказателидля xt .

Так, (14.70)можно записать в виде