Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§1.4. Обернена матриця

1.4.1.Теоретичні відомості

Матриця А–1 називається оберненою до матриці А, якщо

АА–1 = А–1А = Е.

Звідси випливає, що обернену матрицю можуть мати лише квад+ ратні матриці.

Тобто, обернена матриця складається з алгебраїчних доповнень до елементів рядків, які записуються в стовпчики з відповідними номерами, а потім кожне алгебраїчне доповнення ділиться на детер+ мінант матриці.

Обернену матрицю можна використати при розв’язанні системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним способом: матрицю+сто+ впчик X знаходять як добуток матриці А–1, оберненої до матриці системи, і матриці+стовпчика вільних членів В, тобто

Х= А–1В.

1.4.2.Розв’язання прикладів

Приклад 1.45. Знайти матрицю А–1, обернену до матриці

2 4

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Розв’язок. Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні допов+ нення всіх елементів.

Обернена матриця має вигляд:

Матриця А–1 знайдена правильно, тому що:

2 5

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

3 4 1

то для матриці А існує обернена матриця А–1. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

2 6

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Задача 1.47. У цеху підприємства виготовляють дві моделі жіно+ чого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини, на виготовлення другої — 3 м. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моделей становить відповідно 4 год. та 5 год. Відо+ мо, що тижневий запас тканини 100 м, а робочий час обмежено 190 год. Скласти такий план тижневого виготовлення цих моделей одя+ гу, при якому повністю використовуються ресурси (тканину і робо+ чий час).

Розв’язок. Позначимо через х1 і х2 кількість одиниць тижневого випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі скла+ демо систему лінійних рівнянь:

2x1 3x2 100 .4x1 5x2 190

Розв’яжемо цю систему матричним способом. Запишемо її в мат+ ричному вигляді:

АХ = В,

2 7

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Для матриці А знайдемо обернену матрицю А–1. Оскільки:

Отже, для використання ресурсів щотижня треба виготовити 25 одиниць першої і 10 одиниць другої моделі одягу.

Зауважимо, що при розв’язанні економічних задач зручно вико+ ристовувати матричний спосіб. Обчисливши один раз обернену мат+ рицю та змінюючи обмеження на ресурси (щоденні, щотижневі, щомісячні, щорічні тощо), діставатимемо кожного разу план випус+ ку продукції.

1.4.3. Приклади для самостійного розв’язку

1.48. Для заданих матриць знайти обернені матриці:

2 8

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

2 9