Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Розділ І. Лінійна та векторна алгебра

§1.1. Матриці, дії над матрицями

1.1.1. Теоретичні відомості

Матрицею A (aij )m n розміру m n називається таблиця, що складається з m рядків та n стовпчиків.

Іноді матриця А позначається не круглими дужками, а подвійни+ ми вертикальними відрізками: A aij m n , або квадратними дужка+

ми: A [aij ]m n .

Матриця розмірності n n називається квадратною матрицею n го порядку. Елементи а11, а22, ... , аnn в цьому випадку утворюють головну діагональ матриці.

Визначник, який складений з елементів квадратної матриці, нази+ вається визначником (детермінантом) матриці і позначається так:

det A, dA, A , A .

Квадратна матриця, в якій на головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю, називається одиничною і позна+ чається Е:

5

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нульовою і позначають О.

Дві матриці A (aij )m n і B (bij )m n називаються рівними, якщо вони однакового розміру та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях.

Добутком числа на матрицю А за означенням є матриця

Таким чином, щоб помножити матрицю А на число , потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

Сумою матриць А та В однакового розміру m n називається матриця С розміру m n , елементи якої знаходяться так:

сij = аij + bij для всіх i та j.

Отже, додавання матриць зводиться до додавання відповідних елементів цих матриць.

Віднімання матриць визначається через дії, які вже розглядалися:

А – В = А + (–1)В,

тобто віднімання двох матриць зводиться до віднімання їх відповід+ них елементів. Очевидно, що віднімати можна лише матриці однако+ вого розміру.

Добутком матриці A (aij )m n та B (bij )n k називається матриця C (cij )m k , елемент сij якої дорівнює сумі добутків і+го рядка матриці А на відповідні елементи j+го стовпчика матриці В, тобто

n

cij aip bpj ( i 1, m ; j 1, k ). p 1

Для добутку матриць в загальному випадку справедливе співвід+ ношення:

AB BA . (якщо ж, звичайно, існує кожен із добутків).

6

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Операції додавання матриць мають властивості:

1.А + В = В + А;

2.(А + В) + С = А + (В + С);

3.А + О = О + А = А;

4.Якщо А + В = О, тоді В – протилежна до А матриця. Операції множення матриць мають такі властивості:

1.AB BA ;

2.(АВ)С = А(ВС);

3.АЕ = ЕА = А;

4.(А + В)С = АС + ВС; С(А + В) = СА + СВ.

Квадратна матриця А2 це результат множення цієї матриці самої на себе. Аналогічно вводиться поняття n+го степеня матриці А, тобто

An A A ... A . n разів

Якщо в матриці A (aij )m n поміняти місцями рядки і стовпчи+

ки, то дістанемо матрицю AT (aij )n m , яку називають транспоно ваною до матриці А.

1.1.2. Розв’язання прикладів та задач

Приклад 1.1. Для матриць:

7

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

8

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Помічаємо, що AB BA .

Матриці дають змогу скорочувати записи та застосовувати одна+ кові міркування для різних об’єктів.

Задача 1.2. Підприємство випускає продукцію двох видів, вико+ ристовуючи при цьому сировину трьох типів. Витрати сировини на

де sij — кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+ ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 гр. од. Визначити загальні витрати сировини V, необхідної для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї сировини.

Розв’язок. Запишемо план випуску продукції у вигляді матриці

90

Р= . Тоді загальні витрати сировини планового випуску про+

120

дукції можна знайти як добуток матриці S і Р, тобто:

Отже, для щоденного випуску продукції використовуються 930, 390 і 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відпо+ відно.

9

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Задамо вартість одиниці кожного типу сировини матрицею

Q = 8 5 10 . Тоді загальна вартість сировини:

обчислити 4А – 3В + С, АТ + ВТ, АВ, ВА, ВС + А2.

Приклад 1.6. Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох даних матриць:

1 0

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Задача 1.7. У цеху підприємства випускають продукцію трьох видів, використовуючи при цьому сировину двох типів. Витрати си+ ровини на виробництво продукції задається матрицею

де sij — кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+ ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План тижневого випуску продукції передбачає 200 одиниць продукції першого виду, 100 одиниць продукції другого виду та 120 одиниць продукції треть+ ого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорів+ нює 2 грн та 4 грн. Визначити загальні витрати сировини V, необхідні для тижневого випуску сировини, а також загальну вартість цієї сировини.

Задача 1.8. У меблевому магазині найбільшим попитом корис+ туються дві моделі письмових столів, виготовлених на різних фаб+ риках. На перевезення першої моделі витрачають 10 грн, а другої — 15 грн. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моде+ лей становить відповідно 6 год. і 5 год. Відомо, що на місяць запла+ новано витратити 1200 грн на перевезення цих моделей, а робочий час на їх виробництво обмежений 480 год. Скільки цих моделей магазин повинен замовити на фабриках щомісяця для того, щоб ви+ користати заплановані кошти на перевезення та ресурси робочого часу на їх виготовлення?

1 1

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Задача 1.9. Два залізобетонних заводи випускають вироби M, N, P вищої, першої та другої категорії якості. Кількість випущених кожним заводом виробів за кожною категорією якості задана таб+ лицею:

Який загальний випуск виробів за означеними категоріями якості?

Задача 1.10. При виготовленні деталей чотирьох видів витрати матеріалів, робочої сили та електроенергії задаються таблицею в умовних одиницях):

Обчислити загальну потребу в матеріалах х1, робочій силі х2 та електроенергії х3 для виготовлення заданої кількості уі деталей кож+ ного виду: у1 = 10, у2 = 2, у3 = 8, у4 = 4.

1 2