Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
1.3.1. Теоретичні відомості
Матриця має ранг r, якщо серед її мінорів існує хоча б один мінор порядку r, відмінний від нуля, а всі мінори порядку (r + 1) і вищого дорівнює нулю, або не існують.
1 |
4 |
2 |
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
Приклад 1.29. Знайти ранг матриці А = |
. |
|||
|
3 |
1 |
6 |
|
|
|
|||
Розв’язок. Ця матриця третього порядку, отже, її ранг не може бути більшим трьох. Визначник третього порядку дорівнює нулю:
|
1 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det A |
2 |
|
5 |
4 |
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
але існує мінор другого порядку |
|
1 |
4 |
|
0 . Ранг матриці А дорів+ |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нює двом, r(A) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
7 |
2 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
3 |
8 |
1 |
|
|
Приклад 1.30. Знайти ранг матриці А = |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розв’язок. Ця матриця має розмір 3 5 , тому її ранг не більший |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
7 |
|
14 0 . Отже, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Існує визначник третього порядку |
|
1 |
4 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(A) = 3.
1 9
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Елементарними перетвореннями матриці називаються такі її пе+ ретворення:
1.Транспонування, тобто заміна кожного рядка стовпчиком з тим
жномером і навпаки.
2.Перестановка двох рядків або двох стовпчиків.
3.Множення всіх елементів рядка або стовпчика на будь+яке число не рівне нулю.
4.Додавання до всіх елементів рядка або стовпчика відповідних елементів паралельного ряду, помноженого на одне і те ж число.
Матриці, одержані одна з другої елементарними перетвореннями, називаються еквівалентними. Еквівалентні матриці не рівні одна одній, але при елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.
|
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
|
|
Приклад 1.31. Знайти ранг матриці А = |
|
3 |
4 |
3 |
1 |
3 |
|
|
. |
||||||
|
|
5 |
6 |
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|||||
Розв’язок. Розділимо елементи першого рядка на 2, одержимо еквівалентну матрицю (ранг цієї матриці дорівнює рангу вихідної):
|
1 |
3 2 5 2 3 2 1 |
||||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
А ~ |
3 |
4 |
3 |
. |
||
|
5 |
6 |
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|||||
Віднімемо з другого і третього рядків перший рядок, помноже+ ний відповідно на 3 і 5, одержимо:
1 3 2 |
5 2 3 2 1 |
||||
|
0 |
1 2 |
9 2 7 2 |
0 |
|
А ~ |
. |
||||
|
0 |
3 2 |
27 2 21 2 |
0 |
|
|
|
||||
Віднімемо від третього рядка другий, помножений на 3. |
|
|||||||||
|
1 |
3 2 5 2 3 2 1 |
|
1 |
3 2 5 2 3 2 1 |
|||||
|
0 |
1 2 9 2 7 2 |
0 |
|
||||||
А ~ |
|
~ |
0 |
1 2 9 2 7 2 0 |
. |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
r(A) = 2.
2 0
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
При знаходженні рангу матриці, як правило, треба обчислювати велику кількість визначників. Щоб полегшити цей процес, застосо+ вують спеціальні засоби. Ранг можна обчислити, наприклад, так: над матрицею послідовно виконують елементарні перетворення до тих пір, поки в кожному рядку і кожному стовпчику стоятиме не більше одного ненульового елемента. Тоді ранг матриці буде дорівнювати числу цих ненульових елементів.
1 0 1 2
Приклад 1.32. Знайти ранг матриці А = 2 1 1 0 .
1 1 1 1
Розв’язок. Перетворимо в нулі всі елементи першого рядка, крім першого елементу, для чого перший і другий стовпчики залишаємо без зміни, замість третього стовпчика запишемо різницю між пер+ шим і третім стовпчиком, а замість четвертого — суму четвертого і першого, помноженого на (–2).
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
А ~ |
2 1 |
. |
|||
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
Далі без зміни залишаємо перший і третій стовпчики, замість дру+ гого запишемо різницю між третім і другим стовпчиками, а замість чет+ вертого — суму четвертого стовпчика і третього, помноженого на –4.
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
А ~ |
. |
||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
І, нарешті, остаточна перетворимо останній стовпчик на нулі. Замість нього запишемо різницю між другим і четвертим стовпчиками.
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
А ~ |
. |
||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
Одержана матриця містить три ненульових елемента, тобто r(A) = 3.
2 1
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.3.2. Приклади для самостійного розв’язку
1.33. – 1.42. Знайти ранг матриці.
|
2 |
1 |
3 |
1 |
|
|
1.33. |
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
. |
|||||
|
|
3 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
1.35. |
|
2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
3 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|||
|
|
3 |
5 |
6 |
4 |
|
||
1.37. |
|
. |
||||||
|
|
4 |
5 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
8 |
24 |
|
|
|
|
|
|
19 |
||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.39. |
1 |
2 |
1 |
0 |
. |
|
||
|
|
1 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
5 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
||
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1.41. |
|
. |
||||||
|
|
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
3 |
1 |
|
1.34. |
|
1 |
1 |
|
|
1 . |
|||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
1 |
||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
5 |
1 |
|
7 |
2 |
|
|
1.36. |
|
|
. |
|||||
|
|
4 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
6 |
|
|
|
10 |
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
1 |
0 |
|
||
1.38. |
|
4 |
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
11 . |
||||||
|
|
5 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||
|
0 |
4 |
|
10 |
1 |
|||
|
|
4 |
8 |
|
18 |
7 |
|
|
1.40. |
|
|
. |
|||||
|
10 |
18 |
|
40 |
17 |
|
||
|
|
1 |
7 |
|
17 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||
1.42. |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
0 |
3 |
6 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 2
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.43. Використовуючи означення рангу матриці, знайти ранг мат+ риці
1 |
0 |
2 |
1 |
||
|
3 |
0 |
1 |
2 |
|
А = |
. |
||||
|
4 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
||||
1.44. Використовуючи метод елементарних перетворень, знайти ранг матриці
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||
|
|
5 |
1 |
7 |
2 |
1 |
|
|
|
А = |
|
|
. |
||||||
|
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
||||||||
|
|
10 |
1 |
10 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 3