Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

3.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4035 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Розділ VIII. Ряди

§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність

До цих пір ми вивчали ряди, всі члени яких були додатними. Тепер ми перейдемо до розгляду рядів, які містять як додатні, так і від’ємні члени. Такі ряди називаються знакозмінними. Наведемо приклад знакозмінного ряду:

	1	–		1		–		1		+	1		+	1		–	1		–	1		+	1		+	1		– ... +
2		–	2		2	–	3		2	+	4	2	+	5	2	–	6	2	–	7	2	+	8	2	+	9	2	– ... +
1			2				3				4			5			6			7			8			9
		( 1)		n(n 1)			1
+					2					+ ...
+					2		n2			+ ...
							n2

Вивчення знакозмінних рядів ми почнемо з окремого випадку так званих знакопереміжних рядів, тобто рядів, в яких за кожним додат+ ним членом слідує від’ємний, а за кожним від’ємним членом – до+ датний. Позначивши через абсолютні величини членів ряду та по+ клавши, що перший член додатний, запишемо знакопереміжний ряд наступним чином:

U – U + U – U + ... + (–1)n–1U + ...		(8.16)
1 2 3 4	n

Для знакопереміжних рядів має місце достатня ознака збіжності Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо в знакопереміжному ряді (8.16) абсо+ лютні величини членів спадають, тобто

U1 > U2 > U3 > U4 > ... > Un > ...

(8.17)

і загальний член прямує до нуля, тобто lim U = 0, то ряд збігається,

n9/ n

причому його сума додатна та не перевищує першого члену ряду.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

1		1		1	1
	–		+		– ... + (–1)n–1		.
1 22	–	2 32	+	3 42	– ... + (–1)n–1	n(n 1)2	.

Розв’язок. Цей ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца:

1			1		1	1
1)		>		>		> ... > (–1)n–1		> ...
	1 22		2 32		3 42		n(n 1)2

513

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

2) lim U = lim			1	= 0.
2) lim U = lim			n(n 1)2	= 0.
n9/	n	n9/	n(n 1)2

Отже, ряд збігається.

Перейдемо тепер до розгляду загального випадку знакозмінного ряду. Припустимо, що в ряді

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ...

(8.18)

числа U1, U2, U3, U4, ..., Un, ... можуть бути як додатними, так і від’ємними.

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо знако+ змінний ряд такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів збігається, то і знакозмінний ряд також збігається. Досліджен+ ня питання про збіжність знакозмінного ряду зводиться в цьому випадку до дослідження ряду з додатними членами.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

			sin a					sin 2a						sin 3a						sin na
						+						+					+ ... +					+ ...,		(8.19)
12						+			22			+		32			+ ... +				n2	+ ...,		(8.19)
12									22					32							n2
де а — будь+яке число.
Розв’язок. Поряд з даним рядом, розглянемо ряди
		sin a			+		sin 2a					+		sin 3a				+ ... +			sin na		+ ...,	(8.20)
		sin a					sin 2a							sin 3a							sin na
	12								22					32							n2
	12								22					32							n2
і
							1			+	1		+		1	+ ... +			1	+ ...				(8.21)
							2				1				1				1
							2				2				2				2
				1					2					3					n

Ряд (8.21) — збігається. Члени ряду (8.20) не більше відповідних членів ряду (8.21), отже ряд (8.20) також збігається. Але тоді, в силу розглянутої ознаки, даний знакозмінний ряд збігається.

Підкреслимо, що ознака збіжності, яка розглянута вище, являєть+ ся тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною; існують такі знакозмінні ряди, які самі збігаються, але ряди, що складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим корисно ввести поняття про абсолютну та умовну

514

Розділ VIII. Ряди

збіжність знакозмінного ряду і на основі цих понять класифікувати знакозмінні ряди.

Знакозмінний ряд

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ...

(8.18)

називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений із абсолютних величин його членів:

|U1| + |U2| + |U3| + |U4| + ... + |Un| + ...

(8.22)

Якщо ж знакозмінний ряд (8.18) — збігається, а ряд (8.22) скла+ дений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд (8.18) називається умовно або неабсолютно збіжним.

Приклади. З’ясувати, які із вказаних рядів збігаються абсолют+ но, які неабсолютно, які розбігаються.

а)

–

– ...

+ (–1)n+1

+ ...

(8.23)

2 22

3 23

n 2n

Un = (–1)n+1

n 2n

Знайдемо lim

|U | = lim

= 0.

n9/

> ... > (–1)n+1

> ...

2 22

3 23

n 2n

Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Напишемо ряд, складений із

абсолютних величин даного ряду

+ ... +

+ ...

2 22

3 23

n 2n

(n 1) 2n 1

Одержали знакододатний ряд. Застосуємо ознаку Даламбера.

Un 1

n 2n

lim

= lim

(n 1)2n 1

= lim

lim

n9/ U

n9/

(n 1)2n 1

2 n9/

n 1

n*2

515

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

1 1

=2 1 = 2 < 1.

Отже, ряд (8.23) збігається абсолютно.

б) –1 +

–

+ ...

+ (–1)n

+ ...

U = (–1)n

Знайдемо lim |U | = lim

= 0.

n9/

1 >

> ... > (–1)n

> ...

Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Запишемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

1 +	1	+	1	+ ... +	1	+ ...
	2				n
		3

Одержаний ряд є розбіжним. Отже, заданий ряд збігається умовно.

8.3.1. Розв’язання прикладів

Приклад 8.20. З’ясувати, які із заданих рядів збігаються абсолют+ но, які умовно, які розбігаються.


		1			1		1				1			/			1
а) 1 –			+			–			+ ... + (–1)n+1					+ ... = ( 1)n 1					;
	3			5			7				2n 1						2n 1
															n 1
	1			1			1			1				/			1
б) 1 –			+			–			+ ... + (–1)n+1						+ ... = ( 1)n 1					;
	2			2			2			(2n 1)				2					2
	3			5			7								n 1		(2n 1)
		3			4			5				n 1		/		n 1
в) 2 –			+			–			+ ... + (–1)n+1				+ ... = ( 1)n 1					.
	2			3			4					n
															n 1		n

516

Розділ VIII. Ряди

Розв’язок.

а) Члени заданого знакопереміжного ряду ( 1)n 1

спа+

2n 1

n 1

дають по абсолютному значенню, прямуючи до нуля:

1 >

> ... > (–1)n+1

> ...

2n 1

lim |Un| = lim

= 0.

n9/

2n 1

Через це, згідно ознаки Лейбніца, заданий ряд збігається. Щоб вста+ новити, збігається він абсолютно чи неабсолютно, дослідимо ряд з

додатними членами

, складений із абсолютних значень

n 1

2n 1

членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку

= lim

= 1 lim ln(2x – 1)

2x 1

1 2x 1

b9/ H

b9/

lim

(ln(2b – 1) – ln 1) = /.

b9/

Одержали, що ряд з додатними членами розбігається. Отже, за+

даний ряд збігається неабсолютно.

б) Заданий ряд

1 –

–

+ ... + (–1)n+1 (2n 1)2 + ...

задовольняє умовам ознаки Лейбніца, так як його члени спадають по абсолютному значенню

	1			1			1			1
1 >	1		>	1		>	1		> ... > (–1)n+1	(2n 1)2	>...

	3	2		5	2		7	2
	3			5			7

517

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

lim \|U \| =		lim	1	= 0.
			(2n 1)2
n9/	n	n9/

Через це заданий ряд збігається. З’ясуємо, як збігається. Дослідимо

ряд з додатними членами

, що складений із абсолютних

n 1

(2n 1)

значень членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку

= lim

(2x 1) 2 dx =

lim

(2x 1)2

b9/

2 b9/

2x 1

( lim

– 1) =

b9/ 2b 1

Ряд з додатними членами збігається. Отже, заданий ряд збігаєть+

ся абсолютно.

в) Члени заданого ряду

2 –

n 1

–

+ ... + (–1)n+1

+ ...

спадають по абсолютному значенню

2 >

n 1

> ...> (–1)n+1

> ...,

але

n 1

= 1 0

lim |U | = lim

= lim

n9/

не задовольняє умові ознаки Лейбніца. Отже, заданий ряд розбігається.

518

Розділ VIII. Ряди

8.3.2. Приклади для самостійного розв’язку

Приклад 8.21. З’ясувати, які з цих рядів збігаються абсолютно, які неабсолютно, які розбігаються:

а) sin $									2$						3$			4$							n$		/						n$
а) sin $				+ sin					2$			+ sin			3$	+ sin		4$		+ ... + sin					n$	+ ... = sin							n$		;
		3							3						3			3					3				n 1							3
		1					1				1									1			/						1
б)		1	–				1		+		1			– ... + (–1)n+1						1				+ ... = ( 1)n 1					1								;
	ln2					ln3					ln4								ln(n 1)						n 1			ln(n 1)
					1					1					1							1	/						1
в) –1 +					1			–		1			+		1	– ... + (–1)n						1		+ ... = ( 1)n					1		;
					2						3				4							n				n 1				n
		1			1				1									1					/				1
г) –		1	+		1			–	1			+ ... + (–1)n						1				+ ... = ( 1)n					1					;
г) –			+					–				+ ... + (–1)n					n(n 1)					+ ... = ( 1)n										;
		2			6				12								n(n 1)								n 1		n(n 1)
			1						1				1								1		/						1
д) 1 –			1			+			1		–		1		+ ... + (–1)n+1						1			+ ... = ( 1)n 1					1							.
			3																		3
			3						3				3								3													3
			2				4						6							(2n)						n 1				(2n)

519

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§ 8.4. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду

Степеневим рядом називається ряд виду

а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + ... + anxn + ... = an xn (8.24)

n 0

або

an (x x0 )n = а0 + а1(x – x0) + а2(x – x0)2 + ... + an(x – x0)n + ..., (8.25)

n 0

де аn (n = 1, 2, 3, ...) — дійсні числа, які називають коефіцієнтами степеневого ряду, х0 — деяке стале число.

Теорема Абеля. Якщо ряд (8.24) збігається при х = х1, то він збігається абсолютно для усіх х, що задовольняють нерівність |x| < |x1|. Якщо ряд (8.24) розбігається при х = х2, то він розбігається для усіх х, що задовольняють нерівність |x| > |x2|.

Область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля стверджує,

що якщо степеневий ряд (8.24) збігається при х1 0, то він збігаєть+ ся абсолютно при будь+якому х із інтервалу (–|x1|; |x1|). Якщо ж ряд розбігається при х2, то він розбігається у всіх точках, які розміщені поза інтервалом (–|x2|; |x2|).

Радіусом збіжності степеневого ряду (8.24) називається невід’ємне число R, таке, що при |x| < R ряд збігається, а при |x| > R розбігається. Інтервалом збіжності ряду називається інтервал (–R; R).

Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (8.24) через його коефіцієнти. Для цього використаємо ознаку Даламбера або ознаку Коші.

Розглянемо для кожного фіксованого х числовий ряд

припустимо, що існує скінчена границя

L = lim	an 1	,	(L = lim	n \| a \| ).

n9/	a		n9/	n
	n

Тоді

an xn і

n 0

520

Розділ VIII. Ряди

lim	an 1x n 1		= \|x\| lim	a	n 1	= \|x\| L.

	an x	n
				an
n9/			n9/

Звідси за ознакою Даламбера ряд (8.24) збігається при |x| L < 1 і

розбігається при |x| L > 1. Отже, якщо |x| < L , то ряд (8.24) збігаєть+

ся, а якщо |x| > L , то розбігається. Таким чином радіус збіжності степеневого ряду визначається формулою

R =	1	= lim	an	.	(8.26)
	L		an 1
		n9/

Якщо до ряду застосовується ознака Коші, то, міркуючи аналог+ ічно, одержуємо наступну формулу

R =	1	=	1	.	(8.27)
	L		lim n \| an \|
			n9/

Формулами (8.26) і (8.27) виражається і радіус збіжності ряду (8.25). Інтервалом збіжності цього ряду є (х0 – R; x0 + R).

Таким чином, будь+який степеневий ряд має радіус збіжності R і

інтервал збіжності (–R; R). При х = ) R ряд може або збігатися, або розбігатися. Це питання розв’язується для кожного конкретного ряду індивідуально. Отже, областю збіжності степеневого ряду (8.34) є його інтервал збіжності з можливим приєднанням до нього однієї або двох точок в залежності від того, як веде себе ряд на кінцях інтер+

валу, тобто при х = ) R.

8.4.1. Розв’язання прикладів

Приклад 8.22. Знайти область збіжності ряду

/	n 1 xn			x2		x3		xn
( 1)			= х –		+		– ... + (–1)n–1	n	+ ...
		n
				2		3
n 1

Розв’язок. За формулою (8.26) знайдемо радіус збіжності

521

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

n 1

R = lim

= lim

= lim (1 +

) = 1.

an 1

n9/

n 1

Отже, інтервалом збіжності ряду буде (–1; 1). Розглянемо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. При х = 1 одержуємо

/	1
ряд ( 1)n 1	1	. Цей знакопереміжний ряд за ознакою Лейбніца
ряд ( 1)n 1	n	. Цей знакопереміжний ряд за ознакою Лейбніца
n 1	n
збігається неабсолютно. При х = –1 одержуємо ряд
		–1 –	1	–	1	– ... –	1	– ...
		–1 –		–		– ... –		– ...
		2		3			n

який розбігається. Отже, областю збіжності ряду є проміжок (–1;1].

Приклад 8.23. Знайти радіус та область збіжності ряду

n 1

= 1 +

+ ... +

(2n 1)2 3n 1

52 32

n 1

3 3

(2n 1)2 3n 1

2n xn

+ ...

(2n 1)2 3n

Розв’язок. Маємо

Un(x) =

2n 1 xn 1

; Un+1(x) =

2n xn

(2n 1)2 3n 1

(2n 1)2 3n

В силу ознаки Даламбера заданий степеневий ряд буде збіжним для тих значень, для яких

lim

Un 1(x)

lim

2n | x |n

2n 1

| x |n 1

Un (x)

n9/

n9/ (2n 1)2 3n (2n 1)2 3n 1

= lim

2n | x | (2n 1)2 3n 1

|x| lim

(2n 1)2

|x| 1 < 1,

n9/

(2n 1)2 3n 2n 1 | x |n 1

n9/

(2n 1)2

522

Розділ VIII. Ряди

тобто \|x\| <					3	. Отже, радіус збіжності R =	3	, а інтервал збіжності
тобто \|x\| <					2	. Отже, радіус збіжності R =	2	, а інтервал збіжності
					2		2
(	3	;	3	).
(	2	;	2	).
	2		2

Тепер з’ясуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності.

В лівому кінці, при х =	3		, заданий степеневий ряд перетворюєть+
В лівому кінці, при х =	2		, заданий степеневий ряд перетворюєть+
	2
ся в числовий ряд
1 –		1		+	1	–	1	+ ...,
1 –	32			+	52	–	72	+ ...,
	32				52		72
який збігається за ознакою Лейбніца. В правому кінці, при х =									3	,

									2
одержуємо ряд
1 +	1			+	1	+	1	+ ...,

	32				52		72

який збігається.

Таким чином, заданий степеневий ряд збігається на відрізку

[ 23 ; 23 ].

Приклад 8.24. Знайти область збіжності степеневого ряду

/ (x 8)3n

n 1 n2 .

Розв’язок. Маємо

U =	(x 8)3n	;	U	=	(x 8)3n 3	.
	n2
n			n+1		(n 1)2

Знайдемо

523

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Un 1(x)

(x 8)3n 3

lim

(n 1)2

n2 (x 8)3

n9/

Un (x)

= lim

=|x+8| lim

n9/

(x 8)

n9/

(n 1)

n9/ n 1

= |x + 8|3 1 < 1.

Звідки

|x + 8|3 < 1,

|x + 8| < 1, –1 < x + 8 <1,

–9 < x < –7.

Дослідимо межі інтервалу. При х = –9 одержуємо числовий зна+

копереміжний ряд з загальним членом a =

( 1)3n

( 1)n

, який

збігається згідно ознаки Лейбніца. При х = –7 одержуємо ряд з додат+

ними членами a =

. Досліджуючи його за інтегральною ознакою

/ dx

= lim

/ dx

= lim (

)

= lim (

+ 1) = 1,

H1 x2

n9/

H1 x2

b9/

з’ясуємо, що він збігається. Отже, областю збіжності заданого ряду є відрізок [–9; –7].

8.4.2. Приклади для самостійного розв’язку

8.25. Знайти область збіжності степеневих рядів: а) 10x + 100x2 + ... + 10nxn + ...;

б) x +	x2		x3		xn
		+		+ ... +		+ ...;
	20		300		n 10n 1

в) 1 + x + 2!x2 + ... + n!xn + ...;

г) 1 + 2x2 + 4x4 + ... + 2n–1x2(n–1) + ...;

д) 1 +

x +

x2 + ... +

xn + ...;

ж) x –

x2n 1

– ... + (–1)n–1

+ ... .

(2n 1) (2n 1)!

3 3!

5 5!

524

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4035 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015161.79 Кб12В начале было слово или след на воде.doc
#
23.03.2015201.73 Кб12ВАРІАНТИ_для_Excel 105-106.doc
#
23.03.2015481.28 Кб33ВДЛ.Переклад.doc
#
08.03.201689.83 Кб19ВДЛ.Філологія-2015.docx
#
23.03.2015274.59 Кб13вентиляція.docx
#
23.03.20153.55 Mб124Вища математика.pdf
#
23.03.201536.86 Кб9Вопросы к экзамену по вышмат.doc
#
23.03.2015123.39 Кб42Вплив на людину джерел - реферат.doc
#
23.03.2015305.66 Кб12ВСДС_Білети.doc
#
23.03.201584.61 Кб3ВСТУП 3.docx
#
23.03.201593.04 Кб5ВСТУП 5.docx