Розділ II. Аналітична геометрія

§ 2.7. Поверхні другого порядку

Означення. Поверхнею другого порядку називають геометрич+ не місце точок простору, декартові координати яких задовольняють рівнянню другого степеня.

2.7.1. Сфера та її рівняння

Сферою називається геометричне місце точок простору, рівновід+ далений від заданої точки+центра сфери.

Якщо центр сфери є точка С(a; b; c), а радіус R, тоді рівняння сфери буде:

Якщо центр сфери знаходиться в початку координат О(0; 0; 0) і радіус є R, тоді рівняння сфери буде:

x2 + y2 + z2 = R2.

2.7.2. Циліндричні поверхні

Поверхня називається циліндричною, якщо вона утворена пря+ мою (твірна), паралельною до заданої прямої а і яка проходить через задану лінію l (напрямна лінія). Приклад циліндричної лінії зобра+ жено на рис. 2.24.

Якщо твірна циліндричної поверхні паралельна осі Оz, а напрям+ на l лежить в площині хОу і задана рівнянням:

155

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

F(y, z) = 0 — циліндричну поверхню з твірною, що паралельна осі Ох.

2.7.3. Циліндри другого порядку

Z а) Еліптичним циліндром називається поверхня (рис. 2.25), канонічне рівняння якої має вигляд

156

Розділ II. Аналітична геометрія

півосями еліпсоїда.

Y

X

Рис. 2.28.

157

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

б) Гіперболічним параболоїдом (рис. 2.32) називається поверх+ ня, канонічне (найпростіше) рівняння якої має вигляд:

x2 y2 2z . p q

Z

2.7.7. Поверхні обертання

Нехай в площині xOz задана лінія l, що має рівняння F(x, z) = 0. Тоді щоб одержати рівняння поверхні, що утворена обертанням лінії

158

Розділ II. Аналітична геометрія

l, що лежить в площині xOz навколо осі Ох, треба в рівняння цієї

лінії замінити z на ) y2 z2 . Шукане рівняння поверхні обертання

буде F(x, ) y2 z2 ) = 0.

Аналогічні правила будуть мати місце і по відношенню до повер+ хонь, які утворюються обертанням плоских ліній навколо інших координатних осей.

Приклади: 1) Рівняння поверхні, що утворюється обертанням

(двохпорожнинний гіперболоїд).

2.7.8. Приклади розв’язання задач

Задача 2.126. Визначити координати центра сфери і її радіус

х2 + у2 + z2 – 6x + 8y + 10z + 25 = 0.

Розв’язок. Представимо задане рівняння в вигляді (2.43), для цього:

1)об’єднаємо в групи члени, які містять однойменні координати;

2)виділимо в групах повні квадрати (ми раніше так само визна+ чали координати центра кола і його радіус). Одержимо:

х2 – 6х + у2 + 8у + z2 + 10z + 25 = 0;

х2 – 2+3х + 32 – 32 + у2 + 2+4у + 42 – 42 + z2 + 25z + 52 – 52 +25= 0; (х – 3)2 – 9 + (у + 4)2 – 16 + (z + 5)2 – 25 + 25 = 0;

(х – 3)2 + (у + 4)2 + (z + 5)2 = 25.

Порівнюючи з (2.43), маємо а = 3, b = –4, с = –5, R2 = 25. Отже, центр сфери — точка С(3; –4; –5), радіус R = 5.

Задача 2.127. Еліпс з півосями 5 та 3 обертається навколо своєї великої осі, яка співпадає з початком координат. Скласти рівняння поверхні, що описує еліпс при обертанні.

Розв’язок. Складемо канонічне рівняння еліпса з центром в по+ чатку координат, який розміщений в площині yOz: а = 5, b = 3.

159

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Щоб одержати рівняння поверхні, яка утворена обертанням елі+ пса, що розміщений в площині yOz, навколо осі Оу, необхідно в

рівняння еліпса замінити z на ) x2 z2 . Одержуємо еліпсоїд обер+ тання, який витягнуто вздовж осі Оу:

Задача 2.128. Скласти рівняння конуса з вершиною в початку координат і напрямною:

x2 y2 a2 ,

z c.

Розв’язок. Канонічні рівняння твірних, що проходять через вер+ шину О(0; 0; 0) конуса і точку (х; у; z) напрямної, будуть:

Xx Yy Zz .

Виключимо х, у, z із заданих рівнянь. Замінюючи z через с, виз+

начимо х і у із останніх двох рівнянь: x c Xz , y cYz .

Підставимо одержані значення х і у в перше рівняння напрямної, будемо мати:

160

Розділ II. Аналітична геометрія

Розв’язок. Кожне із цих рівнянь містить тільки дві змінні х і z, та визначає на площині хОz криві: 1) коло; 2) еліпс; 3) параболу; 4) гі+ перболу.

В просторі ж кожне із них визначає циліндричну поверхню з твірними, що паралельні осі Оу, так як ці рівняння не містять змінної у. Напрямними цих циліндричних поверхонь являються вказані криві:

1) x2 + z2 = 16 — рівняння прямого кругового циліндра;

2)x2 z2 1 — рівняння еліптичного циліндра;

6 4

3)x = 2z2 — рівняння параболічного циліндра;

Задача 2.130. Гіпербола з півосями 3 і 4 обертається навколо своєї уявної осі, яка співпадає з віссю Оz. Центр гіперболи співпадає з початком координат. Скласти рівняння поверхні, яку одержуємо при обертанні гіперболи.

Розв’язок. Складемо канонічне рівняння гіперболи з центром в початку координат, що знаходяться в площині yOz: а = 3; b = 4;

x 0.

Щоб скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням гіпербо+ ли, що знаходиться в площині yOz, навколо осі Oz, необхідно в рівнян+

Отже, одержуємо однопорожнинний гіперболоїд обертання:

161