Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Черноморский государственный университет им. Петра Могилы
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Вища математика.pdf
Скачиваний:
124
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
3.55 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§ 6.12. Поняття про подвійний інтеграл

Подвійним інтегралом від функції f(x, y) по області C нази+

n

вається границя, до якої прямує інтегральна сума f (xi , yi ) Ci

i 1

при необмеженому зростанні числа малих площадок Ci та при умові, що кожна з них стягується в точку.

6.12.1. Обчислення подвійного інтеграла

1. Якщо область інтегрування C обмежена кривою, яку будь+яка пряма, що паралельна осі Оу, перетинає не більше ніж в двох точках (рис. 6.15), то подвійний інтеграл області C обчислюється за фор+ мулою:

 

 

b

2

(x )

 

 

 

 

HH f (x, y)dxdy = Hdx

 

H f (x, y)dy .

 

(6.46)

 

C

a

1 (x )

 

 

 

Інтеграл в правій частині

Y

 

 

 

 

 

цієї формули називається по+

 

 

 

 

 

вторним. В формулі (6.46)

 

 

 

 

 

 

2

(x )

 

 

L

y 2 (x)

 

 

інтеграл

H f (x, y)dy нази+

 

 

 

C

 

 

1 (x )

 

 

K

 

 

 

вається внутрішнім. Тут межі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

інтегрування є функції змінної

 

 

 

y 1 (x)

 

 

х. При обчисленні внутрішнь+

 

 

 

 

 

 

ого інтегралу в підінтегральній

 

 

 

 

 

 

функції потрібно х розглядати

0 а

 

х

 

b

X

як величину сталу, а у —

 

 

 

Рис. 6.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змінну. В результаті першого (внутрішнього) інтегрування одержуємо функцію аргументу х. Після

2 (x )

того, як ця функція визначена Ф(x) H f (x, y)dy , необхідно ви+

1 (x )

458

Розділ VI. Інтегральне числення

конати зовнішнє (друге) інтегрування Hb Ф(x)dx . В результаті цього

a

другого інтегрування одержуємо уже не функцію, а число.

2. Якщо область інтегрування C обмежена кривою, яку будь+яка пряма, що паралельна осі Ох, перетинає не більше ніж в двох точках (рис. 6.16), то подвійний інтеграл області C обчислюється за фор+ мулою:

 

d

2

(y)

 

HH f (x, y)dxdy = Hdy

 

H f (x, y)dx .

(6.47)

C

c

1 ( y)

 

Інтеграл в правій частині

Y

 

 

 

цієї формули називається по

 

 

 

вторним. В формулі (6.47)

d

 

 

 

2 (y)

x 1(y)

x 2(y)

інтеграл H f (x, y)dx нази+

 

 

 

 

 

1 (y)

 

 

M

N

вається внутрішнім. Тут межі

y

 

 

 

 

інтегрування є функції змінної

 

 

 

 

у. При обчисленні внутрішнь+

c

 

 

 

ого інтегралу в підінтегральній

 

 

 

 

функції потрібно у розглядати

0

 

 

X

як величину сталу, а х —

 

 

Рис. 6.16.

 

 

 

 

 

змінну. В результаті першого (внутрішнього) інтегрування одержуємо функцію аргументу у. Після

 

2 (y)

того, як ця функція визначена Ф(y)

H f (x, y)dx , необхідно ви+

 

1 (y)

конати зовнішнє (друге) інтегрування

Hd Ф(y)dy .

 

c

В результаті цього другого інтегрування одержуємо уже не фун+ кцію, а число.

Доведено, що якщо підінтегральна функція неперервна в області C , то результат інтегрування не залежить від порядку інтегрування.

459

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

6.12.2. Приклади розв’язання задач

Задача 6.295. Обчислити подвійний інтеграл HH(x3 y3 )dxdy ,

C

якщо область C обмежена лініями y = 12 x; y = x; x = 4. Цей же

інтеграл обчислити, змінивши порядок інтегрування. Розв’язок. Зобразимо на рисунку область C .

Y

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x

 

 

 

 

 

y = x

 

 

 

 

 

 

 

C

 

4

 

 

 

C

 

 

 

 

N

 

 

y = 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A

C

2

 

y =

1

x

 

 

 

B

2

C1

 

B

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

х

4

 

Х

0

 

 

4

 

Х

 

 

Рис. 6.17.

Контур цієї області перетинається будь+якою прямою, яка пара+ лельна осі Оу, в двох точках. Використаємо спочатку формулу (6.46).

HH(x3 y3 )dxdy = H4 dx Hx

(x3 y3 )dy .

C

0

1

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Тут у повторному інтегралі внутрішнє інтегрування виконується по змінній у, а зовнішнє — по х. Межі інтегрування в повторному інтегралі одержано так: область C проектуємо на вісь Ох. Одержали відрізок [0; 4]. Тим самим були визначені нижня 0 межа і верхня межа — 4 зміни змінної х у зовнішньому інтегралі. Потім на відрізку [0; 4] осі Ох вибрана довільна точка х, через яку проведена пряма, що паралельна осі Оу, і на ній відрізок MN, який знаходиться в об+ ласті C . Область C обмежена знизу прямою y = x, а зверху — пря+

460

Розділ VI. Інтегральне числення

мою у = х. Змінна у змінюється в області C від її значень x на нижній частині контуру ОВС до її значень х на верхній частині контуру (рівняння ліній, що обмежують область C , повинні бути розв’язані відносно тієї змінної, по якій обчислюється внутрішній інтеграл).

Обчислення необхідно починати з внутрішнього інтеграла

Hx (x3 y3 )dy , в якому величина х повинна розглядатися як стала.

12 x

 

x

 

 

y

4

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

47

 

 

H (x3 y3 )dy = (x3y +

 

)

 

 

= x3(x –

 

x) +

x4(1 –

) =

x4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

4

 

 

2

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

16

 

64

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відмітимо, що одержали функцію змінної х, як це повинно було

бути. Обчислюємо тепер зовнішній інтеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 47

 

4

 

 

 

 

47 x5

 

 

 

 

47 45

 

752

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H0

 

x

 

dx =

 

 

 

 

0 =

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

5

 

64

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH(x3 y3 )dxdy = H4 dx Hx

(x3 y3 )dy =

752

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

x

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо знову той же подвійний інтеграл, змінивши порядок інтегрування і внутрішнє інтегрування будемо виконувати по змінній х, а зовнішнє — по змінній у.

Із малюнка видно, що ліва частина контуру області C — одна лінія, а саме у = х, а його права частина складається із двох ліній ОВ

і ВС, що визначена різними рівняннями (ОВ) y = 12 x; (ВС) х = 4. в

такому випадку область необхідно розбити на частини так, щоб кожна із них праворуч обмежувалась тільки однією лінією, тобто, лінією, що визначена одним аналітичним виразом. Такими частина+

ми будуть C1 — ОАВ і C2 — АВС. Область C являється сумою об+ ластей C1 і C2 . Інтеграл можна представити як суму інтегралів:

461

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

HH(x3 y3 )dxdy = HH(x3 y3 )dxdy + HH(x3 y3 )dxdy .

C

C1

C2

Так як тепер внутрішні будуть обчислюватися по змінній х, то рівняння ліній, що обмежують кожну із цих областей C1 і C2 по+ винні бути розв’язані відносно цієї змінної. Розв’язавши рівняння ліній, що обмежують області C1 і C2 відносно змінної х, одержує+

мо, що область C1 обмежена лініями: 1) х = у; 2) х = 2у; 3) у = 2. Точка В має координати (4; 2). Область обмежена лініями: 1) у = 2; 2) х = у; 3) х = 4. Спроектувавши кожну із цих областей C1 і C2 на

вісь Оу, одержимо межі зовнішніх інтегралів: в першому інтегралі — 0 і 2, а в другому інтегралі — 2 і 4. Вибравши на відрізку [0; 2] дов+ ільну точку у і провівши через неї пряму, яка паралельна осі Ох,

бачимо, що в області C1 змінна х змінюється від її значень, рівних

у на лівій частині контуру (тобто на ОА) до її значень 2у на його правій частині(тобто на ОВ). Таким чином, при інтегруванні по об+

ласті C1 у внутрішньому інтегралі межами будуть у та 2у. Маємо:

@1 HH(x3

2

2y

y3 )dxdy = Hdy H (x3 y3 )dx .

C1

0

y

При обчисленні внутрішнього інтеграла змінна у повинна вважа+ тися величиною сталою (а межі інтегрування є функції змінної у, тоб+ то знову таки тієї змінної, яка при інтегруванні залишається сталою).

Обчислення починаємо з внутрішнього інтеграла:

2y

 

x4

 

2

 

1

 

19

 

 

 

 

 

 

H

(x3 y3 )dx = (

+ у3х)

=

((2у)4 – у4) + у3(2у – у) =

у4.

 

 

4

 

4

y

4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необхідно замітити, що одержали функцію змінної у, тобто тієї змінної, за якою обчислюється зовнішній інтеграл. Підставляємо одержаний вираз під знак інтеграла:

2

19

4

 

19 y5

 

2

 

152

 

 

 

 

@1 H0

 

 

y

dy =

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

4

4 5

 

0

 

5

 

 

 

 

462

Розділ VI. Інтегральне числення

Межі зовнішнього інтеграла при інтегруванні по області C2 були

визначені вище: змінна у в цій області змінюється на відрізку [2; 4], тобто від 2 до 4. Щоб визначити, в яких межах в цій області змінюєть+ ся змінна х візьмемо на відрізку [2; 4] довільну точку, проведемо через неї пряму, яка паралельна осі Ох, і бачимо, що на лівій частині АС

контуру області C2 х має значення, рівні у, а на ВС — правій його

частині х = 4. Таким чином в області

C2 межами інтегрування по х

будуть у і 4, а

 

 

 

@2 HH(x3

y3 )dxdy = H4 dy H4

(x3 y3 )dx .

C2

2

y

 

Внутрішній інтеграл (в ньому у – величина стала).

H4 (x3 y3 )dx = (

x4

+ у3х)

 

=

1

(44 – у4) + у3(4 – у) = 64 + 4у3 –

5

у4.

4

4

y

4

4

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зверніть увагу! Одержана функція змінної у, тобто тієї змінної, по котрій обчислюється зовнішній інтеграл. Підставляємо одержа+ ний вираз під знак зовнішнього інтеграла:

4

 

 

5

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

@2 H(64 4y

3

 

4

)dy = (64у + у4 –

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

у5)

 

= 120.

 

4

 

 

 

 

4

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шуканий інтеграл дорівнює сумі інтегралів:

 

 

 

 

@ = @

 

+

@

=

152

+ 120 =

752

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так як підінтегральна функція (х3 + у3) — неперервна, то резуль+ тати співпали: вони не залежать від порядку інтегрування.

Із цього прикладу видно, що вибір порядку інтегрування не бай+ дужий. Вибравши раціонально порядок інтегрування можна скоро+ тити обчислення.

Задача 6.296. Обчислити подвійний інтеграл HH(x3 y3 )dC ,

C

якщо область інтегрування C , є трикутник, який обмежений прями+ ми у = 0; х = 2; у = х/2.

463

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розв’язок. Побудуємо область C .

0

x 2;

Y

 

 

 

 

 

 

 

0

y

x

.

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

HH(x3 y3 )dC =

 

 

C

 

 

 

 

 

 

2

x / 2

 

 

= Hdx H (x2 y2 )dy .

0

00

Обчислимо внутрішній інтеграл, в якому х вважаємо сталою.

y = x/2

x = 2

 

12 Х

Рис. 6.18.

x / 2

 

 

 

 

y

3

 

 

x

x

(x / 2)

3

 

 

 

13

 

H (x2 y2 )dy = (x2y +

 

 

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = x2

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x3.

3

 

2

 

3

 

 

 

24

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH(x3 y3 )dC = H2

13

x3dx =

 

13

 

x4

 

 

 

13

.

 

 

 

 

 

 

2 =

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

6

 

 

 

C

0

24

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використаємо для

обчислення

 

 

подвійного

інтегралу

HH(x3 y3 )dC формулу (6.47), межі інтегрування будуть:

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 y 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2y x 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH(x3 y3 )dC = H1 dy H2 (x2 y2 )dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

0

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так як

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H2 (x

2 y2 )dx = (

x3

 

 

= (

8

+ 2у2) – (

8y3

 

 

 

+ у2х)

2

+ 2у3) =

2y

3

 

 

 

 

 

2y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

464

B X

Розділ VI. Інтегральне числення

=

8

 

+ 2у2 –

14

у3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

1

8

 

2

 

14

 

3

 

8

 

 

2y3

(x

 

y

 

)dC = H

 

2y

 

 

 

 

y

dy

= (

 

у +

 

–

 

 

3

 

3

3

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–

7y4

)

 

 

=

13

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

0

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6.297. Знайти площу фігури, що обмежена лініями

у = 4 – х2,

3х – 2у – 6 = 0, за допомогою подвійного інтеграла.

Розв’язок. Якщо фігура, обме+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жена лініями,

рівняння яких

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

віднесені до прямокутної системи

 

 

 

 

C

 

4

 

 

координат, то площа такої фігури

 

 

 

 

 

 

 

 

y = (3x–6)/2

обчислюється

 

за

формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S HHdxdy . Побудуємо цю фігу+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ру. Лінія у = 4 – х2 — парабола, лінія 3х – 2у – 6 = 0 є пряма (рис. 6.19).

Розв’язавши систему рівнянь

y 4 x2 ,

3x 2y 6 0,

знайдемо координати точок пере+ тину параболи з прямою

y 4 x2 ,

y 3x 6 ,

2

3x 6 = 4 – х2;

2

x2

0

 

/2x

 

–

 

=

–3

4

y

 

y =

 

A

Рис. 6.19.

2x2 + 3x – 14 = 0;

465

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

x =

7

 

; x = 2; y =

 

33

; y = 0.

 

 

 

 

1

2

 

2

 

1

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Маємо точки А(

7

;

 

33

) і В(2; 0).

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Необхідно обчислити площу фігури АВС. В області АВС змінна

у змінюється від значень у =

3x 6

на прямій АВ до значення

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = 4 – х2 на параболі АСВ. (Знайдено межі для внутрішнього інтег+

рування). Змінна у змінюється від хА = 72 до хВ = 2. (Знайдено межі для зовнішнього інтегрування). Таким чином, за формулою

S = HH dxdy одержуємо:

 

ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HH dxdy =

 

2

 

 

 

 

 

4 x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

H dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

dx

 

H

dx у

 

 

3 x 6

=

 

 

 

 

 

 

ABC

 

 

 

 

 

 

 

7 / 2

 

 

 

 

3 x 6

 

7 / 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= H2

(4 x2

3x 6

)dx = H2

(7 x2

 

3x

)dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 / 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

7 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (7х –

x

3

 

–

3x

2

)

 

2

= (7 2+ 7

7

 

–

8

 

 

–

343

– 3 +

3

 

49

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

3

 

24

 

 

4 4

 

=

1331

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

27

 

(кв. од).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.12.3. Задачі для самостійного розв’язку

Задача 6.298. Обчислити задані подвійні інтеграли, для яких за+ дана прямокутна область інтегрування D в дужках.

а) HH xydxdy ; (0 x 1; 0 y 2);

D

466

Розділ VI. Інтегральне числення

б)

HHex y dxdy ;

(0 x 1; 0 y 1);

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

в)

HH

x2

dxdy ;

(0 x 1; 0 y 1).

 

 

 

1 y2

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6.299. Обчислити подвійний інтеграл HH

y

2

 

 

dxdy , де об+

x

2

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

ласть C обмежена лініями у =

1

х; у =

x ; х = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Задача 6.300. Обчислити подвійний інтеграл HH(x y)dxdy , де

C

область C обмежена лініями: х = 0; у = 32 х (х & 0); у = 4 – (х – 1)2. Цей же інтеграл обчислити, змінивши порядок інтегрування.

Задача 6.301. Обчислити подвійний інтеграл HH(x2 y)dxdy ,

C

де область s обмежена лініями: у = 12 х; у = 2х; ху = 2 (х > 0).

Задача 6.302. Подвійним інтегралом обчислити площі фігур, що задані лініями:

а) xy = 4; y = x; x = 4; б) y2 = 4 + x; x + 3y = 0;

в) y = ln x; x – y = 1; y = –1;

г) y = x + 2; y2 = x; –2 y 2; д) y = sin x; y = cos x; x = 0;

ж) 3x2 = 25y; 5y2 = 9x.

467

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности