Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

3.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4033 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Розділ VIII. Ряди

Розділ VІІІ. Ряди

§ 8.1. Ряди. Основні означення рядів. Збіжність рядів. Ряд геометричної прогресії. Властивості збіжних рядів.

Необхідна умова збіжності. Гармонічний ряд

Нехай дано числову послідовність Un. Вираз вигляду
U1 + U2 + U3 + ... + Un + ...,	(8.1)

або, що теж саме, вигляду

Un = U1 + U2 + U3 + ... + Un + ...

n 1

називають числовим рядом (або просто рядом). Числа U1, U2, U3, ..., Un, ... називаються членами ряду, U1 — перший член, U2 — другий член, ... , Un — n+й або загальний член ряду. Для того, щоб задати ряд (8.1), досить задати його загальний член. Наприклад, взявши

U = (–1)n+1, U = n (n = 1, 2, 3, ...),

n(n 1)

дістанемо відповідно ряди:

+ ... +

+ ...,

(8.2)

1 2

2 3

3 4

n(n 1)

1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n+1 + ...,

(8.3)

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

(8.4)

З кожним рядом вигляду (8.1) будемо пов’язувати (ставити у відповідність) суми

S1	= U1,
S2	= U1	+ U2,
S3 = U1 + U2 + U3,			(8.5)
.............................		,	(8.5)
Sn = U1		+ U2 + U3 + ... + Un,
..................................		,

які називаються частковими сумами цього ряду. Часткові суми ряду утворюють деяку числову послідовність його часткових сум Sn. Ряд

495

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

(8.1) називається збіжним, якщо збігається послідовність його част+

кових сум S , тобто якщо існує скінчена границя lim Sn S . Число

n n9/

S при цьому називають сумою ряду (8.1) і записують S = U1 + U2 + U3

+ ... + Un, ... , або S Un . При цьому вважають також, що ряд

n 1

(8.1) збігається до числа S. Якщо ж послідовність часткових сум (8.5) ряду (8.1) розбігається, то ряд (8.1) називається розбіжним. У цьому випадку ряд не має суми.

Дослідимо на збіжність ряди (8.2) – (8.4). Оскільки

										1						1				1
															=			–					(n = 1, 2, ...),
									n(n 1)						=		n	–	n 1				(n = 1, 2, ...),
то n+ну часткову суму ряду (8.2) можна подати у вигляді
S =				1	+			1		+			1			+ ... +					1				= (1 –		1	) + (	1	–	1	) +
n		1 2						2 3				3 4								n(n 1)					2				2 3
		1 2						2 3				3 4								n(n 1)					2				2 3
+ (		1	–			1	) + (			1	–			1			) = 1 –				1			.
	3				4					n				n 1							n 1
Звідси зрозуміло, що ряд (8.2) збігається і має суму, яка дорівнює
										S = lim Sn = lim(1													1			) = 1.
										S = lim Sn = lim(1													n			) = 1.
													n9/					n9/					n		1
Часткову суму Sn ряду (8.3) запишемо у вигляді
																				1, якщо n непарне число
	Sn = 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n+1 =																					0, якщо n парне число									.
																						0, якщо n парне число

Ця послідовність Sn – розбігається, отже, і розбігається і ряд (8.3). Часткова сума Sn ряду (8.4), що дорівнює

S = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n 1) ,

n	2

прямує до / при n 9 / . Отже, і ряд (8.4) розбігається. Розглянемо ряд, що складений з елементів геометричної прогресії.

Такий ряд називають геометричним рядом:

496

Розділ VIII. Ряди

/
a + aq + aq2 + ... + aqn–1 + ... = aqn 1 .	(8.6)

n 1

Число q — знаменник геометричної прогресії. Покажемо, що гео+ метричний ряд (геометрична прогресія) збігається тоді і тільки тоді, коли знаменник прогресії за модулем менший від одинці. Позначи+ мо через Sn n ну часткову суму ряду (8.6), дістанемо:

Sn = a + aq + aq2 + ... + aqn–1. Snq = aq + aq2 + ... + aqn.

Звідси

Sn – Snq = a – aqn,

	a aqn			a			aqn
S =		=			–				.
S =	1 q	=	1 q		–				.
n	1 q		1 q			1		q
n
Якщо \|q\| < 1, то S = lim Sn		=		a	. Таким чином, якщо \|q\| < 1,
Якщо \|q\| < 1, то S = lim Sn		=	1 q		. Таким чином, якщо \|q\| < 1,
	n9/		1 q

то геометрична прогресія (8.6) збігається і її сума дорівнює S 1 a q . Якщо |q| > 1, то

S = lim Sn	= lim(	a		aqn	) 9 /.
S = lim Sn	= lim(	1 q			) 9 /.
n9/	n9/	1 q	1 q
Якщо q = 1, то
Sn = a + a + a + ... + a = nа 9 / ( n 9 / ).
Якщо q = –1, то
		a, якщо n непарне число
S = a – a + a – ... + (–1)n–1a =						,
n		0, якщо n парне число
n

і отже, послідовність Sn — розбігається.

Таким чином, у всіх трьох інших випадках геометрична прогре+ сія розбігається.

Ряд вигляду

1 +	1	+	1	+ ... +	1	+ ...	(8.7)
	2		3		n

497

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

називаються гармонічним рядом. Доведено, що гармонічний ряд розбігається.

Числовий ряд вигляду

/	1		1		1		1
		= 1 +		+		+ ... +		+ ...	(8.8)
	p		p		p		p
n 1	n		2		3		n

називається узагальненим гармонічним рядом. Доведено, що при

р 1 узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р > 1 цей ряд збігається. При р = 1 маємо гармонічний ряд (8.7).

Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд Un збігається,

n 1

то його n+ний член Un — прямує до нуля при n 9 / ;

limUn

0 .

(8.9)

n9/

Якщо n+ний член не прямує до нуля при n 9 / , то ряд розбі+

гається.

Наприклад, ряд

1 2

+ ... +

+ ...

2n 1

— розбігається, так як

limU

= lim

n9/

n9/ 2n 1

Підкреслимо, що розглянута ознака є лише необхідною, але не є достатньою, тобто із того, що n+ний член ряду прямує до нуля, не слідує, що ряд збігається, ряд може і розбігатися.

Наприклад, гармонічний ряд

1 +	1	+		1	+ ... +			1	+ ...
				3				n
2
розбігається, незважаючи на те, що
limU				= lim		1	= 0.
			n
n9/					n9/ n

498

Розділ VIII. Ряди

8.1.1. Розв’язування прикладів

Приклад 8.1. За заданим загальним членом Un = n(n 1) запи+

сати ряд і знайти його суму.

Розв’язок. Надаючи n послідовно значень 1, 2, 3, ..., одержуємо:

1		1		1			1	/	1
1	+	1	+	1		+ ... +	1	+ ... =	1	.
1 2		2 3	3		4		n(n 1)	n 1	n(n 1)

Для знаходження суми ряду необхідно знайти границю при n 9 / n+ної часткової суми заданого ряду:

S =		1	+	1	+	1	+ ... +	1	.

n	1	2 2		3 3		4		n(n 1)

Для того, щоб придати Sn більш зручний вигляд, скористаємося тотожністю:

												1						=	1		–	1					.
											k(k 1)							=		k	–		k 1				.
Надаючи тут послідовно k = 1, 2, 3, 4,..., n, одержуємо:
1		1		1				1				1				1					1	1						1			1			1
	= 1–		;			=				–				;					=			–				; ...					=		–		.
1 2	= 1–	2	;	2 3		=		2		–			3	;		3 4			=		3	–			4	; ...		n(n 1)			=	n	–	n 1	.
Отже,
	S = (1 –				1		) + (			1		–			1		) + (			1	–		1	) + ... + (					1	–	1		).
	n			2					2			3							3			4							n		n 1
				2					2			3							3			4							n		n 1

Очевидно, що в цій сумі всі доданки попарно знищуються, крім першого та останнього, маємо:

	S = 1 –		1		.
	S = 1 –				.
	n	n 1
	n
Звідки
lim Sn = lim(1				1		) = 1.
lim Sn = lim(1						) = 1.
n9/	n9/			n 1

Тобто, ряд збігається, і його сума дорівнює 1.

499

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Приклад 8.2. Знайти суму ряду

/				1							1			1				1								1
				1				=			1	+		1		+		1		+ ...+						1				+ ...
						n 1
				2		n 1					3			6				12								2			n 1
n 1 3				2							3			6				12					3			2
Розв’язок. Спільний співмножник																					1			для кожного члену ряду
Розв’язок. Спільний співмножник																				3				для кожного члену ряду
																				3
винесемо за дужки:
1								1				1				1							1
			(1 +								+			+					+ ... +									+ ...).
		3	(1 +					2			+	22		+		23			+ ... +						2n 1			+ ...).
В дужках одержали ряд, що являє собою нескінченно спадну гео+
метричну прогресію, знаменник якої q =																								1	. Сума членів нескінчен+
метричну прогресію, знаменник якої q =																							2		. Сума членів нескінчен+
																							2
но спадної геометричної прогресії
									S =				a			=			1				= 2.
									S =			1 q				=		1		1			= 2.
																		1		2
Отже, сума заданого ряду
												S =			1		2 =			2		.
												S =					2 =					.
														3						3
Приклад. 8.3. Перевірити, чи виконується необхідна умова
/							2n
збіжності ряду							2n			.
збіжності ряду					n		2			.
	n 1				n		1
Розв’язок. Загальний член заданого ряду є U																													=	2n		. Знайдемо
Розв’язок. Загальний член заданого ряду є U																													=	n2		. Знайдемо
																											n			n2	1

границю загального члена Un при необмеженому зростанні його но+ мера n:

limU

= lim

= 0.

n9/

n9/ n2 1

n9/

500

Розділ VIII. Ряди

Для заданого ряду необхідна умова збіжності виконується, внас+ лідок чого ряд може бути або збіжним, або розбіжним. Це можна встановити лише після додаткових досліджень.

Приклад. 8.4. Перевірити, чи виконується необхідна умова

/ 2n 1

збіжності для ряду n 1 3n 2 .

2n 1

Розв’язок. Загальний член заданого ряду є Un = 3n 2 . Знайде+

мо границю загального члена, при необмеженому зростанні його номера n:

					2	1
limU		= lim	2n 1	= lim			n	=	2	0.

	n

n9/		n9/	3n 2	n9/		2		3

					3
							n

Необхідна ознака збіжності заданого ряду не виконується. Через це заданий ряд розбігається.

8.1.2. Приклади для самостійного розв’язання

8.5. Знайти суми наступних рядів:


	1		1		1			1		/		1
а)		+		+			+ ... +			+ ... =			;
	1 3		2 4			3 5			n(n 2)
												n(n 2)
											n 1
б)	1	+	1	+	1		+ ... +	1			+ ... =
	1 3		3 5		5 7			(2n 1)(2n 1)

=n 1 (2n 1)(2n 1) .

8.6.Чи виконується необхідна ознака збіжності рядів:

а)

+ ... +

+ ... =

;

2n 1

n 1

501

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

				3			5						2n 1								/ 2n 1
б)	1 +				+			+ ... +								+ ... =										;
б)	1 +			4	+		9	+ ... +					n	2		+ ... =							n	2		;
				4			9						n								n 1		n
			1					2				3									n						/		2n
в)			1		+			2		+		3				+ ... +					n		+ ... =						2n	;
				2			1 2		2		1 3				2					1 n		2
				2					2						2							2
		1 1																									n 1 2n 1
		1					2				3										n						/		n
г)		1			+		2		+		3			+ ... +							n				+ ... =				n		;
г)	1001				+	2001			+	3001				+ ... +				1000 n				1			+ ... =			1000		n 1	;
	1001					2001				3001								1000 n				1					n 1	1000		n 1
							3			4							n 1								/		n 1
д)	2 +						3	+		4	+ ... +						n 1				+ ... =								.
д)	2 +						2	+		3	+ ... +								n		+ ... =								.
							2			3									n						n 1		n

502

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4033 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015161.79 Кб12В начале было слово или след на воде.doc
#
23.03.2015201.73 Кб12ВАРІАНТИ_для_Excel 105-106.doc
#
23.03.2015481.28 Кб33ВДЛ.Переклад.doc
#
08.03.201689.83 Кб19ВДЛ.Філологія-2015.docx
#
23.03.2015274.59 Кб13вентиляція.docx
#
23.03.20153.55 Mб124Вища математика.pdf
#
23.03.201536.86 Кб9Вопросы к экзамену по вышмат.doc
#
23.03.2015123.39 Кб42Вплив на людину джерел - реферат.doc
#
23.03.2015305.66 Кб12ВСДС_Білети.doc
#
23.03.201584.61 Кб3ВСТУП 3.docx
#
23.03.201593.04 Кб5ВСТУП 5.docx