- •Передмова
- •Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
- •§1.1. Матриці, дії над матрицями
- •§1.2. Визначники
- •§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
- •§ 1.4. Обернена матриця
- •§1.5. Системи лінійних рівнянь
- •§1.6. Вектори
- •§1.7. Власні числа та власні вектора
- •§1.8. Квадратичні форми
- •Розділ ІІ. Аналітична геометрія
- •§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі
- •§2.2. Пряма лінія на площині
- •§2.3. Криві лінії другого порядку
- •§ 2.4. Задачі економічного змісту
- •§ 2.5. Площина та пряма в просторі
- •§ 2.6. Нерівності та їх геометричний зміст
- •§ 2.7. Поверхні другого порядку
- •Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу
- •§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення
- •§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •§4.8. Дослідження функцій та побудова їх графіків
- •§5.1. Основні поняття
- •§5.2. Екстремум функції двох змінних
- •§5.3. Метод найменших квадратів
- •Розділ VI. Інтегральне числення
- •§ 6.2. Методи інтегрування
- •§ 6.4. Інтегрування тригонометричних виразів
- •§ 6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональність
- •§6.8. Геометричні застосування визначенних інтегралів
- •§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла
- •§ 6.11. Невласні інтеграли. Інтеграл ЕйлераAПуассона
- •§ 6.12. Поняття про подвійний інтеграл
- •Розділ VIІ. Диференційні рівняння
- •§ 7.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •§ 7.2. Однорідні диференційні рівняння
- •§ 7.3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
- •Розділ VІІІ. Ряди
- •§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами
- •§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
- •§ 8.5. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена
- •§8.6. Застосування рядів до наближених обчислень
- •§8.7. Ряди Фур’є
- •Відповіді до задач та прикладів
- •Список використаної літератури
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§8.6. Застосування рядів до наближених обчислень
Степеневі ряди мають самі різні застосування. З їх допомогою обчислюють з заданою степеню точності значення функції, визначені інтеграли, які не виражаються через елементарні функції або є за+ надто складними для обчислень, інтегруються диференційні рівнян+ ня. Для обчислення наближених значень функції з заданою точні+ стю зручно користуватися рядами в тому випадку, якщо відповідний ряд є знакопереміжним. Для знакопереміжного збіжного ряду легко оцінити похибку наближеного значення суми — вона не перевищує абсолютного значення першого із відкинутих членів (ознака Лейбн+ іца). В інших випадках наближене значення функції з заданою точ+ ністю обчислюється за формулою Тейлора (Маклорена).
8.6.1. Розв’язання прикладів
Приклад 8.37. Обчислити |
|
|
1 |
з точністю до 0,001. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язок. Використаємо ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
x3 |
|
|
xn |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
ех = 1 + х + |
|
+ |
|
|
+ ... + |
|
+ ... |
|
= e |
4 . |
||||
2! |
3! |
|
n! |
4 e |
||||||||||
Отже, в цьому ряду необхідно взяти х = 14 . Одержимо знакопере+ міжний ряд:
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 2 |
1 |
|
|
|
1 n 1 |
||||
|
|
|
|||||||||||||||
e 4 |
= 1 – |
|
+ |
|
|
|
|
+ ... + (–1)n–1 |
|
|
|
|
|
+ ... = |
|||
|
2! |
|
(n |
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
1)! |
|
4 |
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
n 1 |
|
= 1 – |
|
+ |
|
– |
|
+ ... + (–1)n–1 |
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
4 |
|
32 |
|
384 |
|
(n |
1)! |
|
4 |
|
|
|
Якщо для обчислення взяти n перших членів, то, враховуючи, що ряд знакопереміжний, похибка від відкидання решти членів бу+ де менше абсолютної величини першого відкинутого члена, тобто
534
Розділ VIII. Ряди
|
|
1 |
|
1 |
n |
|
Rn |
< |
|
|
|
|
. За умовою повинно бути одержане число з точністю |
|
|
|||||
|
4 |
|||||
|
|
n! |
|
|
||
до 0,001, тобто загальна похибка від відкидання членів і від округ+ лення повинна бути менше 0,0005. якщо зберегти перші чотири чле+ на, то похибка від відкидання всіх останніх членів на основі ознаки
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
||
Лейбніца R4 |
< |
|
|
|
|
|
< 0,00016, через це: |
|
4! |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 2 |
1 |
|
1 3 |
||||||
|
|
# 1 – |
|
+ |
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
# 0,799. |
||
4 |
e |
4 |
2! |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
3! |
|
4 |
|
||||||
Обчислити з округленням треба тільки останній додаток. Якщо зберегти чотири десятичні знаки, то похибка округляється не більше 0,00005. Найвища межа загальної похибки дорівнює 0,00021. Отже,
1 # 0,799.
4 e
Приклад 8.38. Знайти наближене значення соs 10° з точністю до 0,0001.
Розв’язок. Переведемо градусну міру в радіанну 10°= 18$ # 0,1745. Скористуємося розкладом cos х в степеневий ряд
cos x = 1 – |
x2 |
x4 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n 2 |
|||||||
|
+ |
|
|
|
– |
|
+ ... + (–1)n–1 |
|
|
|
+ ... |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n 2)! |
||||||||||||||
2! |
|
4! |
6! |
|||||||||||||||||
Одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 2 |
|
|
$ 4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos 10° = cos |
|
= 1 – |
|
18 |
+ |
|
18 |
– ... |
||||||||||||
18 |
|
2! |
|
|
4! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
цей ряд є рядом Лейбніца, через це, прийнявши за наближене зна+ чення cos 10° суму перших двох членів розкладу, виконаємо похиб+ ку R3 за абсолютною величиною меншу третього члена
535
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
|
|
|
|
$ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,2) |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|R | < |
|
|
18 |
< |
|
< 0,0001. |
||||||||||
|
|
|
4! |
|
24 |
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,1745) |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos 10° # 1 – |
18 |
# |
1 – |
|
# 0,9948. |
|||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
24 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
З точністю до 0,0001, з недостачею, так як третій член розкладу додатний. Обчислюючи суму перших двох членів з точністю до 10+4
ззалишком (для того, щоб обчислити другий член з тією ж точністю
знедостачею), одержимо абсолютну похибку, тобто повну похибку,
меншу 0,0001, відповідно з завданням (таке як обидві похибки були менше 10+4 і мають різні знаки). Отже, cos 10° # 0,9948.
Приклад 8.39. Обчислити 4 17 з точністю до 0,001. Розв’язок. Перетворимо заданий корінь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||
|
17 |
= |
|
|
16 1 |
= |
4 16 |
1 |
|
|
= 2 |
1 |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
16 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для обчислення |
1 |
|
|
використаємо біноміальний ряд |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 + x)m = 1 + mx + |
m(m 1) |
x2 |
+ |
m(m 1)(m 2) |
x3 |
+ ... + |
||||||
|
|
3! |
||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
||
+ |
m(m 1)(m 2)...(m n 1) |
xn + ..., |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
підставляючи х = |
1 |
, m = |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
536
Розділ VIII. Ряди
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 3 |
|
|
1 3 7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 |
|
|
= 2(1 + |
|
– |
|
|
+ |
|
|
– ...). |
||
|
4 16 |
4 8 16 |
2 |
4 8 12 16 |
3 |
|||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Щоб визначити, скільки необхідно взяти перших членів цього
знакопереміжного ряду для обчислення 4 17 з точністю до 0,0001,
обчислимо декілька послідовних перших членів ряду: а1 = 1; а2 # 0,01562; а3 # –0,00037; а4 # 0,00001. Згідно властивості знакоперем+ іжного збіжного ряду, якщо обмежитися сумою трьох перших членів ряду, то похибка шуканого наближеного значення кореня буде мен+ шою 2а4 # 20,00001 < 0,0001. Отже,
4 17 # 2(1 + 0,1562 – 0,00037) # 2,0305.
1/ 4 |
sin x |
|
|
Приклад 8.40. Обчислити інтеграл H |
dx з точністю до |
||
|
|||
0 |
x |
||
|
|
||
0,00001.
Розв’язок. Невизначений інтеграл H sinx xdx не виражається че+
рез елементарні функції, через це при обчисленні даного визначено+ го інтегралу формулу Ньютона+Лейбніца застосовувати не можна. Обчислимо інтеграл наближено. Розділивши почленно ряд
|
|
|
|
sin x = х – |
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
– |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
на х, одержимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin x |
|
= 1 – |
x2 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3! |
5! |
7! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Інтегруємо цей ряд почленно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1/ 4 sin x |
|
1/ 4 |
|
|
x2 |
x4 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 3 |
|||||||||||||
H |
|
dx = |
H |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... dx |
= |
|
|
– |
|
|
|
|
+ |
|||||||
0 |
x |
|
0 |
|
3! 5! 7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 3! |
4 |
|
|||||||||||||||
11 5
+– ...
5 5! 4
537
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Так як
1 |
1 |
5 |
1 |
< 0,00001, |
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
614400 |
||||
5 5! |
|
|
|
|||
то за ознакою Лейбніця, щоб виконати задану точність, досить взяти суму перших двох членів:
1/ 4 sin x |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
3 |
||
H |
|
# |
|
– |
|
|
|
|
= 0,25 – 0,00087 = 0,24913. |
x |
|
4 |
|
3 3! |
4 |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.6.2. Приклади для самостійного розв’язку
7.41. Обчислити визначені інтеграли з точністю до 0,001.
|
1/ 2 arctg x |
|
|
1/10 ln(1 |
x) |
|||
а) |
H |
|
dx ; |
б) |
H |
|
|
dx ; |
x |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1/ 4 |
|
|
|
в) |
Hsin2 xdx ; |
г) |
H e x2 dx . |
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
538