Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розділ VIІ. Диференційні рівняння

Рівняння виду:

називається диференційним рівнянням 1,го порядку, яке розв’яза+ не відносно похідної, де f(х, у) задана і неперервна функція в деякій області площини хОу.

Якщо в частковому випадку f (x, y) K f1 (x) , то рівняння (7.1) матиме вигляд:

тобто знаходження розв’язку рівняння (7.2) зводиться до обчислен+ ня інтегралу (7.3).

яка задовольняє рівняння (7.1) при довільному С, тобто:

При конкретному значенні С = С0 розв’язок y (x,C0 ) нази+

вається частковим. Якщо загальний розв’язок записаний в неявному вигляді F(х, у, С) = 0, то його називають загальним інтегралом дифе ренційного рівняння (7.1), а при С = С0 — частковим інтегралом. Іноді шукають не загальний розв’язок рівняння (7.1), а розв’язок, який задовольняє умову

468

Розділ VII. Диференційні рівняння

Геометрично умова (7.5) означає, що шукається розв’язок (7.1), який би проходив через точку (х0, у0).Ця задача називається задачею Коші. Може трапитись, що існує розв’язок рівняння (7.1), який не належить сім’ї розв’язків (7.4), такий розв’язок називається особли+ вим. Якщо рівняння (7.1) помножити на dх і проінтегрувати по х обидві частини (7.1), то одержимо:

і може здатися, що формулою (7.6) відразу дається загальний розв’я+ зок (7.1), але це не так, тому що інтеграл у за формулою (7.6) не можна шукати, оскільки ми не знаємо як у залежить від х.

Тому природно спочатку вказати методику розв’язання частко+ вих випадків рівняння (7.1).

§ 7.1. Рівняння з відокремленими змінними

Рівняння з відокремленими змінними це рівняння вигляду:

і тоді говорять, що ми змінні відокремили. В загальному випадку рівняння (7.1) є частковим випадком рівняння

Рівняння (7.9) називають рівнянням записаним в диференціалах і

воно є більш зручним для розв’язання. Оскільки змінні х і у входять в (7.9) симетрично, тому одну довільну змінну приймаємо за неза+ лежну, а другу за функцію.

7.1.1. Розв’язання прикладів

Приклад 7.1. Розв’язати рівняння xdx + ydy = 0.

Розв’язок. В цьому рівнянні змінні відокремлені. Інтегруючи обидві частини рівняння, одержимо:

469

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

x2 y2 C ,

2 2 2

або

х2 + у2 = С,

і загальним інтегралом даного рівняння буде сім’я кіл з центром в початку координат.

Приклад 7.2. Розв’язати рівняння dxdy xy .

Розв’язок. Очевидно, що y K 0 буде розв’язком цього рівняння. Нехай y 0 . Тоді приведене рівняння можна записати у вигляді

dyy dxx .

Інтегруючи, одержимо:

ln |y| = ln |x| + ln C, або у = Сх.

Ми знайшли загальний розв’язок рівняння. При С = 0 загальний розв’язок запишеться у вигляді:

у = 0.

Отже, значення у = 0 не буде особливим розв’язком цього рівняння.

Приклад 7.3. Розв’язати рівняння y' = (х – у)2 + 1.

Розв’язок. Тут легко здогадатися, яку потрібно зробити заміну змінних, щоб звести це рівняння до рівняння з відокремленими змінними. Робимо заміну х – у = z. Продиференціюємо цю рівність по х, вважаючи, що у і z – функції від х.

1 – y' = z', y' = 1 – z'. І задане рівняння запишеться у вигляді:

1 – z' = z + 1, z' = –z, z 0 , dzz dx ,

ln |z| = –x + ln C,

470

Розділ VII. Диференційні рівняння

z = Ce–x. Повернемось до початкової функції:

х – у = Се–х, у = х – Се–х.

Це є загальний розв’язок приведеного рівняння.

7.1.2. Приклади для самостійного розв’язку

Розв’язати диференціальні рівняння.

7.4.(1 + у2)dx + xydy = 0.

7.5.xyy' 1 x 2 .

7.6.y' tgx – у = а.

7.7.xy' + у = у2.

7.8.x 1 y2 dx y 1 x2 dy 0 .

7.9.(1 + ех)у y' = ех.

7.10.(ху2 + х)dx + (y – x2 y' )dy = 0.

7.11.y' = 10х+у.

7.12.х2уdx + x3dy = 0.

Знайти розв’язок задачі Коші.

471