§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

3.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4034 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Розділ VIII. Ряди

а) Маємо ряд

, його загальний член Un

Ряд

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ... = Un

n 1

називається додатним, якщо всі його члени невід’ємні, тобто Un & 0 (n = 1, 2, 3, ...).

8.2.1. Ознаки порівняння

Нехай маємо два ряди з додатними членами:

U1 + U2 + U3 + U4 + ...	+ Un + ...	(8.10)
V1 + V2 + V3 + V4 + ...	+ Vn + ...	(8.11)

Для них справедливі наступні твердження:

1. Якщо члени ряду (8.10) не більше відповідних членів ряду

(8.11), тобто Un Vn (n = 1, 2, 3, ...), і ряд (8.11) — збігається, то збігаєть+ ся і ряд (8.10).

							/			1
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд										1	.
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд								2	n	n	.
							n 1	2		n
Розв’язок. Порівняємо заданий ряд
	1	+	1	+	1	+ ... +	1			+ ...
	21 1	+	22 2	+	23 3	+ ... +	2n n			+ ...

з рядом геометричної прогресії, знаменник якої q = 12 ;

1	+	1		+	1		+ ... +	1		+ ...
1		2	2		2	3		2	n
2

Кожний член заданого ряду менше відповідного члена ряду гео+ метричної прогресії, який збігається, тому, що |q| < 1.

1	<	1	(n = 1, 2, 3, ...).
2n n		2n

Отже, заданий ряд збігається.

503

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

2. Якщо члени ряду (8.10) не менше відповідних членів ряду (8.11), тобто Un & Vn, і ряд (8.11) розбігається, то і ряд (8.10) розбі+ гається.

							/		1
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд									1	.
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд										.
							n 1		n
Розв’язок. Ряд
1 +	1	+	1	+	1	+ ... +	1	+ ...

	2		3		4		n

розбігається, так як його члени, починаючи з другого, більше відпо+ відних членів гармонічного ряду

1 +

+ ... +

+ ...

який, як відомо розбігається.

3. Нехай Vn > 0 і Un & 0 (n = 1, 2, 3, ...) і нехай існує границя

lim

= b

(0 < b < /).

(8.12)

n9/ V

Якщо ряд Vn збігається при 0 < b < / , то і ряд Un

n 1

збігається. Якщо ряд Vn

розбігається при 0 < b < /, то і ряд

n 1

Un розбігається.

n 1

Приклад 8.9. Дослідити на збіжність ряд (1 cos

) .

n 1

Розв’язок. Позначивши

504

Розділ VIII. Ряди

U = (1 – cos

)

V =

знайдемо границю:

1 cos

2sin2

lim

= lim

n9/ V

n9/

sin

lim

sin

= 2 lim

n9/

2 2

2 n

Оскільки ряд

, будучи гармонічним рядом, розбігається, то

n 1

розбігається і заданий ряд (1 cos

) .

n 1

8.2.2. Ознака Даламбера (теорема)

Якщо для ряду з додатними членами

U1 + U2 + U3 + U4 +...+ Un + Un+1 + ...,

відношення (n + 1)+го члену до n+ного має скінчену границю l при

n 9 / , тобто
lim	Un 1		= l,	(8.13)

n9/	U	n

то: 1) ряд збігається, якщо l < 1, 2) ряд розбігається, якщо l > 1.

(У випадку l = 1 відповідь на запитання про збіжність або розбіжність ряду теорема не дає. Треба застосувати іншу ознаку).

/	4n 3
Приклад 8.10. Дослідити на збіжність числовий ряд		.

n 1	n 3n

505

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Розв’язок. Маємо ряд

4n 3

4n 1

+ ... +

+ ...

n 1

n 3n

3 33

n3n

(n 1)3n 1

Тут

U =

4n 3

;

4n 1

n3n

n+1

(n 1)3n 1

4n 1

lim

Un 1

= lim

(n 1)3n 1

= lim

4n 1

lim

n 3n

4n 3

n9/ Un

n9/

n9/ (n 1) 3n 1

n*3n

= 1 lim

n 3n

lim

n9/ (n 1) 3n 1

3 n9/

Таким чином, l =

< 1, отже, заданий ряд збігається.

Приклад 8.11. Дослідити на збіжність числовий ряд

n 1 n!

Розв’язок. Маємо ряд

/ nn

(n 1)n 1

n 1

+ ... +

+ ...

(n 1)!

Тут

(n 1)n 1

(n 1)!

n+1

(n 1)n 1

lim

n 1

= lim

(n 1)!

= lim

(n 1)n 1 n!

= lim

(n 1)n

(n 1)n!

n9/

1)!nn

n9/

n!(n

1)nn

506

Розділ VIII. Ряди

	n 1		n		1	n
= lim				= lim 1			= е.

n9/		n		n9/	n

Таким чином, l = е > 1 і, отже, заданий ряд розбігається.

8.2.3. Радикальна ознака Коші (теорема).

Якщо для ряду з додатними членами

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ...

величина	n U	n	має скінчену границю l при n 9 / , тобто lim n Un = l,
		n	n9/

то:

1)у випадку l < 1 ряд збігається,

2)у випадку l >1 ряд розбігається.

Приклад 8.12. Дослідити на збіжність ряд

2 2

3 3

n n

+ ... +

+ ...

2n 1

Розв’язок. Застосуємо ознаку Коші:

lim n Un

= lim

= lim n

< 1.

n9/

2n 1

n9/

2n 1

Ряд збігається.

8.2.4. Інтегральна ознака Коші збіжності ряду

Нехай члени ряду
U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ...	(8.15)

додатні і не зростають, тобто

U1 & U2 & U3 & U4 & ...,

і нехай f(x) — така неперервна не зростаюча функція, що

f(1) = U1; f(2) = U2; f(3) = U3; ... f(n) = Un.

Тоді справедливі наступні твердження:

507

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

1) якщо невласний інтеграл /H f (x)dx збігається, то збігається і

ряд (8.15); 2) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд

(8.15).

/ n

Приклад 8.13. Дослідити на збіжність ряд n 1 (n 1)3 .

Розв’язок. Маємо, що f(x) = (x 1)3 . Знаходимо невласний інтег+ рал

x 1

H f (x)dx = H

dx = limb9/

= limb9/ H

(x 1)

=limb9/

– limb9/

= limb9/ Hb

(x 1) 2 dx – limb9/ Hb (x 1) 3 dx =

(x 1)

= –lim

+ lim

0 +

+ 0 –

b9/ x 1

b9/

2(x 1)2

Невласний інтеграл дорівнює 38 (збігається), отже, збігається і заданий ряд.

8.2.5. Розв’язання прикладів

Приклад 8.14. Використовуючи признаки порівняння дослідити на збіжність наступні ряди:

/	1		/	1		/	1
а)		;	б)		;	в) sin		.
	n(n 1)			n 1
n 1			n 1	n3		n 1	n

508

Розділ VIII. Ряди

Розв’язок.

Для порівняння візьмемо гармонічний ряд, який є розбіжним, і за+

гальний член якого V =

. U > V , так як

n(n 1)

Отже, заданий ряд розбігається.

б) Задано ряд

, його загальний член Un =

. Для

n 1

n 1 n3

порівняння виберемо геометричний ряд

, який є збіжним.

n 1

Загальний член останнього ряду V =

. Маємо U < V , так як

3n 1

. Отже, заданий ряд збігається.

3n 1

n3n 1

в) Задано ряд sin

, його загальний член Un = sin

. Викори+

n 1

стаємо граничну форму ознаки порівняння

sin

lim

= lim

= 1 > 0,

n9/ Vn

n9/

/ 1

так як гармонічний ряд n 1 n розбіжний, то і заданий ряд розбіж+ ний.

509

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Приклад 8.15. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність ряди:

а)

;

б)

n 1

Розв’язок.

(n 1)3

а) Задано ряд

. Тут Un =

, Un+1 =

. Знайдемо

n 1

lim

Un 1

n9/ U

(n 1)3

2n (n 1)3

n 1 3

Un 1

2n 1

lim

= lim

lim

n 1

n9/

2 n9/

lim 1

1 =

< 1.

n9/

Отже, ряд збігається.

3n n!

3n 1(n 1)!

б) Задано ряд

. Тут Un =

, Un+1

. Знай+

(n 1)

n 1

демо

3n 1(n 1)!

lim

Un 1

lim

(n 1)n 1

= lim

3n 1(n 1)!nn

n9/

(n 1)

n 1

n9/

= lim

3n!(n 1)nn

= lim

3(n)n

= 3lim

> 1, так

n9/

1)n (n 1)n!

n9/

(n 1)n

n9/

)

як е = 2,718..., і через це ряд розбігається.

510

Розділ VIII. Ряди

Приклад 8.16. Дослідити на збіжність ряди, використовуючи ознаку Коші:

а)

;

б)

n 2 (ln n)n

n 2

3 (2n 3)2

Розв’язок.

а) Для дослідження заданого ряду

використаємо ра+

(ln n)

n 2

дикальну ознаку Коші

lim n U

= lim n

= lim

= 0 < 1,

(ln n)n

n9/

n9/ ln n

отже, ряд збіжний.

б) Для дослідження заданого ряду

використаємо

n 2

3 (2n 3)2

інтегральну ознаку Коші. Маємо f(x) =

. Знаходимо не+

(2x 3)2 / 3

власний інтеграл

= limb9/

Hb (2x 3) 2/ 3dx = lim

3(2x – 3)1/3

b =

2/ 3

2 (2x

b9/ 2

= lim

2x 3

b =

( lim 3

2b 3

– 1) =

/ = /.

b9/

Невласний інтеграл розбігається. Отже, розбігається і заданий ряд.

511

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

8.2.6. Приклади для самостійного розв’язку

8.18. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність ряди:

2n 1

а)

;

б)

;

n 1

(2n

в)

;

г)

;

n 1

n 1 3

(n 1)!

д)

n tg

;

ж)

;

n 1

з)

n2 sin

;

и)

(2n)!

n 1

8.18. Користуючись радикальною ознакою Коші, дослідити на збіжність ряди:

/	1 n					n2
а)							;
а)	3	n					;
n 1	3		n 1
/				$
в) sinn				$	;
в) sinn				n	;
n 1		2

/	n n
б)		;

n 1	2n 1

/
г) arctgn 1 .
n 1	n

8.19. Дослідити збіжність заданих рядів з допомогою інтеграль+ ної ознаки збіжності:

а)

;

б)

;

3 n

n(ln n)

n 1

n 2

в)

;

г)

;

n 1

3n 1

n 1

1 n

д)

; ж)

(2n 1)(2n 3)

n 1

n 2

n ln n

512

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4034 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015161.79 Кб12В начале было слово или след на воде.doc
#
23.03.2015201.73 Кб12ВАРІАНТИ_для_Excel 105-106.doc
#
23.03.2015481.28 Кб33ВДЛ.Переклад.doc
#
08.03.201689.83 Кб19ВДЛ.Філологія-2015.docx
#
23.03.2015274.59 Кб13вентиляція.docx
#
23.03.20153.55 Mб124Вища математика.pdf
#
23.03.201536.86 Кб9Вопросы к экзамену по вышмат.doc
#
23.03.2015123.39 Кб42Вплив на людину джерел - реферат.doc
#
23.03.2015305.66 Кб12ВСДС_Білети.doc
#
23.03.201584.61 Кб3ВСТУП 3.docx
#
23.03.201593.04 Кб5ВСТУП 5.docx