Geom / AnGeom_2_8
.pdf
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма эллипсоида
3) yOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz имеет вид x = h = const.
y2 |
+ |
z2 |
= 1 − |
h2 |
b2 |
c2 |
a2 |
•если |h| > a, то пустое множество;
•если |h| = a, то точка;
•если |h| < a, то эллипс.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма эллипсоида
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Однополостный гиперболоид
Определение.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат, называемой канонической, имеет уравнение
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
+ |
|
− |
|
= 1, |
a2 |
b2 |
c2 |
|||
(a, b, c > 0), называемое каноническим.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
Исследуем форму однополостного гиперболоида, рассмотрев его сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) xOy
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy имеет вид z = h = const.
|
x2 |
y2 |
− |
z2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||
z = h |
c2 |
|||||
|
a2 |
+ b2 |
|
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
Исследуем форму однополостного гиперболоида, рассмотрев его сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) xOy
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy имеет вид z = h = const.
|
x2 |
y2 |
|
z2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||
|
+ |
|
− |
|
= 1 |
|
x |
+ |
y |
= 1 + |
h |
уравнение |
||
a2 |
b2 |
c2 |
||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
z = h |
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кривой в плоскости xOy.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
x2 |
|
y2 |
h2 |
|
|
+ |
|
= 1 + |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||
Для любого h уравнение задает эллипс. При h = 0 получаем эллипс минимального размера, так называемое горловое сечение.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
2) xOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOz имеет вид y = h = const.
x2 |
|
z2 |
h2 |
|
|
− |
|
= 1 − |
|
a2 |
c2 |
b2 |
||
•если |h| > b, то гипербола;
•если |h| = b, то пара пересекающихся прямых;
•если |h| < b, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
2) xOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOz имеет вид y = h = const.
x2 |
|
z2 |
h2 |
|
|
− |
|
= 1 − |
|
a2 |
c2 |
b2 |
||
•если |h| > b, то гипербола;
•если |h| = b, то пара пересекающихся прямых;
•если |h| < b, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
2) xOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOz имеет вид y = h = const.
x2 |
|
z2 |
h2 |
|
|
− |
|
= 1 − |
|
a2 |
c2 |
b2 |
||
•если |h| > b, то гипербола;
•если |h| = b, то пара пересекающихся прямых;
•если |h| < b, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Форма однополостного гиперболоида
3) yOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz имеет вид x = h = const.
y2 |
z2 |
|
h2 |
|
|
− |
|
= 1 − |
|
b2 |
c2 |
a2 |
||
•если |h| > a, то гипербола;
•если |h| = a, то пара пересекающихся прямых;
•если |h| < a, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 23