Geom / AnGeom_3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Аналитическая геометрия

Лекция 3. Геометрический смысл линейно зависимой системы векторов

Сбродова Елена Александровна

21 сентября 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Геометрический смысл линейно зависимой системы векторов

1.Система векторов, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор является нулевым.

2.Система векторов, состоящая из двух векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

3.Система векторов, состоящая из трех векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются компланарными.

4.В трехмерном пространстве любая система векторов, состоящая из четырех или большего числа векторов, является линейно зависимой.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Геометрический смысл линейно зависимой системы векторов

1.Система векторов, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор является нулевым.

2.Система векторов, состоящая из двух векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

3.Система векторов, состоящая из трех векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются компланарными.

4.В трехмерном пространстве любая система векторов, состоящая из четырех или большего числа векторов, является линейно зависимой.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Геометрический смысл линейно зависимой системы векторов

1.Система векторов, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор является нулевым.

2.Система векторов, состоящая из двух векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

3.Система векторов, состоящая из трех векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются компланарными.

4.В трехмерном пространстве любая система векторов, состоящая из четырех или большего числа векторов, является линейно зависимой.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Геометрический смысл линейно зависимой системы векторов

1.Система векторов, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор является нулевым.

2.Система векторов, состоящая из двух векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

3.Система векторов, состоящая из трех векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются компланарными.

4.В трехмерном пространстве любая система векторов, состоящая из четырех или большего числа векторов, является линейно зависимой.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

1. Система векторов, состоящая из одного вектора, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор является нулевым.

Система {~a1} является линейно зависимой существует

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

2. Система векторов, состоящая из двух векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

Система {~a1, ~a2} является линейно зависимой существует такой ненулевой набор α1, α2 чисел (положим, что α1 6= 0),

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Определение.

Векторы называются компланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они лежат в одной плоскости.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

3. Система векторов, состоящая из трех векторов, является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы являются компланарными.

Пусть система {~a1, ~a2, ~a3} является линейно зависимой. Тогда один из векторов, допустим ~a1, линейно выражается через остальные, т.е. ~a1 = β2~a2 + β3~a3. Следовательно, векторы {~a1, ~a2, ~a3},будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Пусть векторы {~a1, ~a2, ~a3} являются компланарными. Если векторы ~a1, ~a2 коллинеарны, то ~a1 = β~a2, и,

следовательно, имеет место равенство 1 − 2 3 ~. Т.о.

~a β~a + 0~a = 0

{~a1, ~a2, ~a3} являются линейно зависимыми.

Пусть векторы ~a1, ~a2 не коллинеарны. Так как все векторы, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости, то найдутся такие числа β1 и β2, что

~a3 = β1~a1 + β2~a2.

В этом случае имеет место равенство 1 − 2 2 3 3 ~.

~a β ~a + β ~a = 0

Т.о. {~a1, ~a2, ~a3} являются линейно зависимыми.

Аналитическая геометрия. Лекция 3