Geom / AnGeom_2_4
.pdf
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Аналитическая геометрия
Лекция 19. Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Сбродова Елена Александровна
29 февраля 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Пусть в некоторой прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением
( ) |
x y |
A |
y |
+ 2(b1 b2) |
y |
+ c = 0. |
|
|
|
x |
|
x |
|
Лемма об определителе расширенной матрицы
Пусть кривая второго порядка в некоторой прямоугольной системе координат имеется уравнение ( ). Тогда
|
|
|
b1 |
|
|
определитель |
= det |
A |
b2 |
|
является |
|
|
||||
|
|
b1 b2 |
c |
|
|
ортогональным |
инвариантом кривой. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Доказательство
Заметим, что любое ортогональное преобразование системы координат может быть представлено как композиция параллельного переноса и ортогональной замены, оставляющей центр на месте.
Сначала докажем, что |
не изменится при ортогональной |
|
замене, оставляющей центр на месте. |
|
|
y |
= T y00 |
, |
x |
x |
|
где T ортогональная матрица, т.е. T t = T −1.
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
В новой системе координат уравнение кривой примет вид
x0 y0 |
T tAT |
y00 |
+ 2(b1 b2)T |
y00 |
+ c = 0. |
|
|
x |
|
x |
|
Матрица квадратичной части равна T tAT ,
коэффициенты при линейных слагаемых имеют вид
(b01 b02) = (b1 b2)T .
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Определитель расширенной матрицы равен
|
|
A0 |
b10 |
|
0 = det |
b20 |
|||
|
b10 b20 |
c |
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Определитель расширенной матрицы равен |
|
|
. |
||||||
0 = det A0 |
b0 |
|
= det |
|
T |
AT T |
|
b1 |
|
b20 |
t |
b2 |
|||||||
b10 b20 |
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
c |
|
(b1 b2)T |
|
c |
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Рассмотрим матрицу
|
T |
0 |
|
|
T1 = |
0 |
|
||
|
||||
0 0 1 |
||||
Заметим, что T1 ортогональная матрица. Действительно,
T1 (T1)t = |
T 0 |
T t |
0 |
= T · T t |
0 |
= |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
· |
0 0 1 |
0 0 1 |
0 0 |
1 |
|||
= |
0 |
1 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Рассмотрим матрицу
|
T |
0 |
|
|
T1 = |
0 |
|
||
|
||||
0 0 1 |
||||
Заметим, что T1 ортогональная матрица. Действительно,
T1 (T1)t = |
T 0 |
T t |
0 |
= T · T t |
0 |
= |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
· |
0 0 1 |
0 0 1 |
0 0 |
1 |
|||
= |
0 |
1 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Рассмотрим матрицу
|
T |
0 |
|
|
T1 = |
0 |
|
||
|
||||
0 0 1 |
||||
Заметим, что T1 ортогональная матрица. Действительно,
T1 (T1)t = |
T 0 |
T t |
0 |
= T · T t |
0 |
= |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
· |
0 0 1 |
0 0 1 |
0 0 |
1 |
|||
= |
0 |
1 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Аналитическая геометрия. Лекция 19
Ортогональные инварианты кривых второго порядка Распознавание центральных кривых
Ортогональные инварианты кривых второго порядка
Докажем, что расширенная матрица A01 равна (T1)tA1T1.
T t |
0 |
|
A |
b2 |
T 0 |
= |
|
0 |
b1 b2 |
b1 |
0 |
|
|
0 0 1 |
c |
0 0 1 |
||||
= T tA T t b2 |
T |
0 |
= |
||
b1 b2 |
b1 |
|
|
0 |
|
c |
0 0 1 |
||||
= |
T tAT T t b2 |
. |
|
||
(b1 b2)T |
b1 |
|
|
|
|
c |
|
|
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 19