Geom / AnGeom_6
.pdf
Смешанное произведение векторов Направляющие косинусы
Аналитическая геометрия
Лекция 6. Смешанное произведение векторов
Сбродова Елена Александровна
12 октября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Смешанное произведение
Определение.
~
Смешанным произведением векторов ~a, b и ~c называется
~
число, равное (~a, [b, ~c]).
Обозначение.
~ смешанное произведение.
< ~a, b, ~c >
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Теорема о записи смешанного произведения в координатах.
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы
|
|
|
|
~ |
|
|
своими координатами ~a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2} и |
||||||
~c = {x3, y3, z3}. Тогда |
|
|
|
|
|
. |
< ~a, ~b, ~c >= |
x2 |
y2 |
z2 |
|||
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
||
x |
y |
3 |
z |
3 |
||
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Доказательство.
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
По определению < ~a, b, ~c >= (~a, [b, ~c]). Тогда |
|
|
|||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ~a, b, ~c >= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= x1 |
|
y2 z2 |
|
+ y1 |
− |
|
x2 z2 |
|
+ z1 |
|
x2 y2 |
|
= |
y3 z3 |
x3 z3 |
x3 y3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 y1 z1
= x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Доказательство.
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
По определению < ~a, b, ~c >= (~a, [b, ~c]). Тогда |
|
|
|||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ~a, b, ~c >= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= x1 |
|
y2 z2 |
|
+ y1 |
− |
|
x2 z2 |
|
+ z1 |
|
x2 y2 |
|
= |
y3 z3 |
x3 z3 |
x3 y3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 y1 z1
= x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Свойства смешанного произведения
1.Кососимметричность При перестановке любых двух векторов смешанное
произведение изменит знак на противоположный.
2.Линейность
|
|
~ |
~ |
|
|
|
1) ~a b ~c |
d |
|
||
~ |
~ |
~ |
|
~ ~ |
|
|
< ~a + b, ~c, d >=< ~a, ~c, d > + < b, ~c, d > |
||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
2) α ~a b ~c < α~a, b, ~c >= α < ~a, b, ~c > |
||||
3. Критерий компланарности |
|
||||
|
~ |
~c |
~ |
|
~ |
|
~a b |
< ~a, b, ~c >= 0 |
{~a, b, ~c} компланарны. |
||
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Свойства смешанного произведения
1.Кососимметричность При перестановке любых двух векторов смешанное
произведение изменит знак на противоположный.
2.Линейность
|
|
~ |
~ |
|
|
|
1) ~a b ~c |
d |
|
||
~ |
~ |
~ |
|
~ ~ |
|
|
< ~a + b, ~c, d >=< ~a, ~c, d > + < b, ~c, d > |
||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
2) α ~a b ~c < α~a, b, ~c >= α < ~a, b, ~c > |
||||
3. Критерий компланарности |
|
||||
|
~ |
~c |
~ |
|
~ |
|
~a b |
< ~a, b, ~c >= 0 |
{~a, b, ~c} компланарны. |
||
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Свойства смешанного произведения
1.Кососимметричность При перестановке любых двух векторов смешанное
произведение изменит знак на противоположный.
2.Линейность
|
|
~ |
~ |
|
|
|
1) ~a b ~c |
d |
|
||
~ |
~ |
~ |
|
~ ~ |
|
|
< ~a + b, ~c, d >=< ~a, ~c, d > + < b, ~c, d > |
||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
2) α ~a b ~c < α~a, b, ~c >= α < ~a, b, ~c > |
||||
3. Критерий компланарности |
|
||||
|
~ |
~c |
~ |
|
~ |
|
~a b |
< ~a, b, ~c >= 0 |
{~a, b, ~c} компланарны. |
||
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Свойства смешанного произведения
4. Объем параллелепипеда, натянутого на векторы , ~, ,
~a b ~c
| ~ |
равен < ~a, b, ~c > .
Аналитическая геометрия. Лекция 6
Смешанное произведение векторов |
Смешанное произведение |
Направляющие косинусы |
Свойства смешанного произведения |
Доказательство свойств смешанного произведения
1. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит знак на противоположный.
Следует из того, что при перестановке двух строк, определитель меняет знак.
Аналитическая геометрия. Лекция 6