Geom / AnGeom_9

Уравнение плоскости

Аналитическая геометрия

Лекция 9. Уравнение плоскости

Сбродова Елена Александровна

09 ноября 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Определение.

Направляющим вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, параллельный этой плоскости.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости

Замечание.

Пара неколлинеарных векторов и точка однозначно задает плоскость в пространстве.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости

Теорема.

Пусть плоскость α проходит через точку M0 = (x0, y0, z0) и имеет два неколлинеарных направляющих вектора

{ } ~ { }

~e = ex, ey, ez и f = fx, fy, fz . Тогда α задается уравнением

x = x0 + u · ex + v · fx,

y = y0 + u · ey + v · fy,

z = z0 + u · ez + v · fz.

Данное уравнение называется параметрическим.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости

Доказательство.

Пусть M(x, y, z) произвольная точка. Точка M принадлежит плоскости α тогда и только тогда, когда

−−−→ ~

векторы M0M, ~e и f компланарны.

Перейдя к координатному равенству получим:

x = x0 + u · ex + v · fx, y = y0 + u · ey + v · fy,

z = z0 + u · ez + v · fz.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости

Теорема.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0, где A2 + B2 + C2 6= 0, задает плоскость в пространстве. Любая плоскость может быть задана таким уравнением.

Данное уравнение называется общим.

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Доказательство.

Любая плоскость может быть задана уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

Пусть плоскость α проходит через точку M0 = (x0, y0, z0) и имеет два неколлинеарных направляющих вектора

{ } ~ { }

~e = ex, ey, ez и f = fx, fy, fz .

Произвольная точка M(x, y, z) принадлежит плоскости

По теореме о записи смешанного произведения через координаты

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Разложим определитель по первой строке.

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Заметим, что A, B, C одновременно в ноль не обращаются,

так как иначе по критерию коллинеарности k ~.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Разложим определитель по первой строке.

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Заметим, что A, B, C одновременно в ноль не обращаются,

так как иначе по критерию коллинеарности k ~.

~e f

Аналитическая геометрия. Лекция 9

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости

Доказательство.

Раскроем скобки и приведем подобные.

Ax + By + Cz + (−Ax0 − By0 − Cz0) = 0.

Обозначив через D = −Ax0 − By0 − Cz0, получим требуемое.

Аналитическая геометрия. Лекция 9