Geom / AnGeom_6

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

~

~

~

3) ~a b ~c

< ~a, b, ~c >= 0

{~a, b, ~c}

компланарны

~

Пусть {~a, b, ~c} компланарны. Обозначим через α

плоскость, в которой они лежат.

~

~

~

Если bk~c, то [b, ~c] = 0. Тогда по свойству скалярного

~

~

произведения (~a, [b, ~c]) = 0 < ~a, b, ~c >= 0.

~

~

~

~

Если b , ~c, то [b, ~c]

6= 0

и α [b, ~c]. Т.о. так как ~a лежит

в α, то ~a

~

~

[b, ~c]

< ~a, b, ~c >= 0.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

~

~

~

3) ~a b ~c

< ~a, b, ~c >= 0

{~a, b, ~c}

компланарны

~

Пусть {~a, b, ~c} компланарны. Обозначим через α

плоскость, в которой они лежат.

~

~

~

Если bk~c, то [b, ~c] = 0. Тогда по свойству скалярного

~

~

произведения (~a, [b, ~c]) = 0 < ~a, b, ~c >= 0.

~

~

~

~

Если b , ~c, то [b, ~c]

6= 0

и α [b, ~c]. Т.о. так как ~a лежит

в α, то ~a

~

~

[b, ~c]

< ~a, b, ~c >= 0.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

~

~

~

3) ~a b ~c

< ~a, b, ~c >= 0

{~a, b, ~c}

компланарны

~

Пусть {~a, b, ~c} компланарны. Обозначим через α

плоскость, в которой они лежат.

~

~

~

Если bk~c, то [b, ~c] = 0. Тогда по свойству скалярного

~

~

произведения (~a, [b, ~c]) = 0 < ~a, b, ~c >= 0.

~

~

~

~

Если b , ~c, то [b, ~c]

6= 0

и α [b, ~c]. Т.о. так как ~a лежит

в α, то ~a

~

~

[b, ~c]

< ~a, b, ~c >= 0.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

~

4) Объем параллелепипеда, натянутого на векторы ~a, b,

~

~c, равен | < ~a, b, ~c > |.

~

~

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

~

4) Объем параллелепипеда, натянутого на векторы ~a, b,

~

~c, равен | < ~a, b, ~c > |.

~

~

По определению, | < ~a, b, ~c > | = |(~a, [b, ~c])| =

~

|~a||[b, ~c]|| cos ϕ| = S(~b,~c)h = V.

~

, |~a|| cos ϕ| = h высота параллелепипеда.

|[b, ~c]| = S(~b,~c)

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение

Направляющие косинусы

Свойства смешанного произведения

Вектор ~v = {1, 1, 1} имеет направляющие косинусы

cos α =

√

3

, cos β =

√

3

, cos γ =

√

3

.

3

3

3