Geom / AnGeom_2_8
.pdf
Поверхности второго порядка
Аналитическая геометрия
Лекция 23. Поверхности второго порядка
Сбродова Елена Александровна
28 марта 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Поверхности второго порядка
Определение.
Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+
+2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0,
где a211 + a222 + a233 + a212 + a213 + a223 6= 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Поверхности второго порядка
Матричная форма записи.
(x y z) |
a12 |
a22 |
a23 |
y |
+ 2(b1 b2 b3) |
y |
+ c = 0 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
x |
|
x |
|
|
a13 a23 a33 |
z |
|
z |
|
|||
где A = |
a12 |
a22 |
a23 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
6 |
|
|
|
|
|
a13 |
a23 |
a33 |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Поверхности второго порядка
Корректность определения.
Рассмотрим любую другую аффинную систему координат, связанную с исходной при помощи уравнения
x |
|
|
x0 |
y |
= T |
y0 |
|
|
|
|
|
zz0
x0
+ y0 , z0
T матрица перехода (det T 6= 0).
В новой системе координат уравнение примет вид:
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
(x0 y0 z0)T tAT |
y0 |
+ 2(b10 |
b20 b30 ) |
y0 |
+ c0 |
= 0 |
||
|
z0 |
|
|
|
z0 |
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Поверхности второго порядка
Матрица квадратичной части имеет вид A0 = T tAT . Так как A ненулевая матрица, и det T 6= 0, то A0 ненулевая матрица.
Определение корректно.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Примеры.
•Уравнение x2 = 0 задает плоскость yOz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 = 0 задает прямую Oz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 задает точку O.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 1 задает сферу единичного радиуса с центром в начале координат.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Примеры.
•Уравнение x2 = 0 задает плоскость yOz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 = 0 задает прямую Oz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 задает точку O.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 1 задает сферу единичного радиуса с центром в начале координат.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Примеры.
•Уравнение x2 = 0 задает плоскость yOz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 = 0 задает прямую Oz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 задает точку O.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 1 задает сферу единичного радиуса с центром в начале координат.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Примеры.
•Уравнение x2 = 0 задает плоскость yOz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 = 0 задает прямую Oz в пространстве.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 задает точку O.
•Уравнение x2 + y2 + z2 = 1 задает сферу единичного радиуса с центром в начале координат.
Аналитическая геометрия. Лекция 23
Эллипсоид
Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид
Эллипсоид
Определение.
Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат, называемой канонической, имеет уравнение
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= 1, |
a2 |
b2 |
c2 |
|||
(a, b, c > 0), называемое каноническим.
Аналитическая геометрия. Лекция 23