Geom / AnGeom_4

Скалярное произведение векторов

Аналитическая геометрия

Лекция 4. Скалярное произведение векторов

Сбродова Елена Александровна

28 сентября 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Угол между двумя векторами

Определение.

Углом между двумя векторами и ~ называется кратчайший

~a b

~ ~

угол поворота от ~a к b, если ~a и b отложены от одной точки.

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Определение.

~ скалярным произведением векторов.

(~a, b)

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Скалярная проекция

Определение.

−−→

Скалярной проекцией вектора AB на ось l называется число

−−→ −−0 →0

Прl(AB), равное длине вектора A B , взятой со знаком “+”,

−−→

если направление вектора A0B0 и l совпадают, и со знаком “−”, если нет.

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Векторная проекция

Определение.

−−→

Векторной проекцией вектора AB на ось l называется

−−→

вектор A0B0.

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Свойства скалярной проекции

1.Прl(~a) = (~a, ~e), где ~e единичный направляющий вектор оси l.

2.Прl(α~a) = αПрl(~a)

~ ~

3. Прl(~a + b) =Прl(~a)+Прl(b)

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Свойства скалярной проекции

1.Прl(~a) = (~a, ~e), где ~e единичный направляющий вектор оси l.

2.Прl(α~a) = αПрl(~a)

~ ~

3. Прl(~a + b) =Прl(~a)+Прl(b)

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Свойства скалярной проекции

1.Прl(~a) = (~a, ~e), где ~e единичный направляющий вектор оси l.

2.Прl(α~a) = αПрl(~a)

~ ~

3. Прl(~a + b) =Прl(~a)+Прl(b)

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Свойства скалярной проекции

1. Прl(~a) = (~a, ~e), где ~e единичный направляющий вектор оси l.

Заметим, что Прl(~a) = |~a| cos ϕ

(~a, ~e) = |~e||~a| cos ϕ = |~a| cos ϕ.

Аналитическая геометрия. Лекция 4

Скалярное произведение векторов

Проекции Свойства скалярного произведения

Свойства скалярной проекции

2. Прl(α~a) = αПрl(~a)

Рассмотрим случай, когда α > 0. Из подобия треугольников

AB00 |α~a|

следует: AB0 = |~a| = |α|

−−→ −−−→

Так как A0B0 A0B00, то Прl(α~a) = αПрl(~a). Случай, когда α ≤ 0, доказывается аналогично.

Аналитическая геометрия. Лекция 4