Geom / AnGeom_2_9
.pdf
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Аналитическая геометрия
Лекция 24. Поверхности второго порядка
Сбродова Елена Александровна
11 апреля 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Гиперболический параболоид
Определение.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат, называемой канонической, имеет уравнение
2z = |
x2 |
− |
y2 |
|
|
|
, |
||
a2 |
b2 |
|||
(a, b > 0), называемое каноническим.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
Исследуем форму гиперболического параболоида, рассмотрев его сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) xOy
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy имеет вид z = h = const.
|
2z = a2 |
− b2 |
|
|
x2 |
|
y2 |
z = h |
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
Исследуем форму гиперболического параболоида, рассмотрев его сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) xOy
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy имеет вид z = h = const.
|
x2 |
|
y2 |
2 |
2 |
|
||||
2z = |
|
− |
|
|
x |
|
y |
= 2h уравнение кривой в |
||
a2 |
b2 |
|||||||||
|
2 |
2 |
||||||||
z = h |
|
|
a |
− b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости xOy.
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
x2 |
− |
y2 |
|
|
|
= 2h |
|
a2 |
b2 |
||
•если h > 0, то гипербола;
•если h = 0, то пара пересекающихся прямых;
•если h < 0, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
x2 |
− |
y2 |
|
|
|
= 2h |
|
a2 |
b2 |
||
•если h > 0, то гипербола;
•если h = 0, то пара пересекающихся прямых;
•если h < 0, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
x2 |
− |
y2 |
|
|
|
= 2h |
|
a2 |
b2 |
||
•если h > 0, то гипербола;
•если h = 0, то пара пересекающихся прямых;
•если h < 0, то гипербола.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
2) xOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOz имеет вид y = h = const.
h2 |
x2 |
||
2z + |
|
= |
|
b2 |
a2 |
||
Данное уравнение задает параболу.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
3) yOz
Уравнение плоскости, параллельной плоскости yOz имеет вид x = h = const.
2z − h2 = −y2 a2 b2
Данное уравнение задает параболу.
Аналитическая геометрия. Лекция 24
Гиперболический параболоид Конические поверхности
Форма гиперболического параболоида
Аналитическая геометрия. Лекция 24