Geom / AnGeom_2_7
.pdf
Аффинная классификация кривых
Аналитическая геометрия
Лекция 22. Аффинная классификация кривых второго порядка
Сбродова Елена Александровна
07 марта 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
Определение.
Две кривые называются эквивалентными относительно аффинных преобразований, если существует аффинное преобразование, переводящее уравнение одной кривой в уравнение другой кривой.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Аффинная классификация кривых второго порядка
Замечание.
Эквивалентность кривых относительно аффинных преобразований является отношением эквивалентности, поэтому относительно аффинных преобразований множество всех кривых второго порядка распадается на непересекающиеся классы.
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство.
Определение.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем свойствам.
1. |
l l l (рефлексивность) |
|
2. |
l1 |
, l2 l1 l2 l2 l1 (симметричность) |
3. |
l1 |
, l2, l3 l1 l2 и l2 l3 l1 l3 (транзитивность) |
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство.
Определение.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем свойствам.
1. |
l l l (рефлексивность) |
|
2. |
l1 |
, l2 l1 l2 l2 l1 (симметричность) |
3. |
l1 |
, l2, l3 l1 l2 и l2 l3 l1 l3 (транзитивность) |
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство.
Определение.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем свойствам.
1. |
l l l (рефлексивность) |
|
2. |
l1 |
, l2 l1 l2 l2 l1 (симметричность) |
3. |
l1 |
, l2, l3 l1 l2 и l2 l3 l1 l3 (транзитивность) |
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство
Проверим все три условия.
Рефлексивность
Любая кривая второго порядка эквивалентна себе относительно тождественного преобразования плоскости, т.е.
y |
= |
0 |
1 |
y00 |
x |
|
1 |
0 |
x |
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство
Симметричность
Пусть кривая второго порядка l1 эквивалентна кривой l2 относительно аффинного преобразования плоскости
y |
= T |
y00 |
+ |
y0 |
. |
x |
|
x |
|
x0 |
|
6 |
|
T −1. Тогда l2 переходит в |
|
Так как det T = 0, то существует |
|||
кривую l1 при обратном преобразовании |
. |
||
y00 |
= T −1 y |
− T −1 y0 |
|
x |
x |
x0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство
Транзитивность
Пусть кривая l1 переходит в l2 при аффинном преобразовании
y |
= T |
y00 |
+ |
y0 |
. |
x |
|
x |
|
x0 |
|
Кривая l2 переходит в l3 при аффинном преобразовании
|
|
x0 |
x00 |
x00 |
. |
|
|
|
y0 = T 0 |
y00 |
+ y00 |
|
|
Тогда l1 переходит в кривую l3 при преобразовании |
||||||
x |
|
x00 |
|
x00 |
x0 |
. |
y |
= T · T 0 y00 |
+ T y00 |
+ y0 |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 22
Аффинная классификация кривых
Доказательство
Так как det T 6= 0 и det T 0 6= 0, то det T · T 0 6= 0. Последнее преобразование является аффинным.
Доказательство завершено.
Аналитическая геометрия. Лекция 22