Geom / AnGeom_2_5
.pdf
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Аналитическая геометрия
Лекция 20. Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Сбродова Елена Александровна
02 марта 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
Пусть в некоторой прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением
( ) |
x y |
A |
y |
+ 2(b1 b2) |
y |
+ c = 0. |
|
|
|
x |
|
x |
|
Обозначим через
δ= det A,
|
A |
b1 |
|
, |
|
= det |
b2 |
||||
22. |
|||||
T r = a11 |
|
|
|||
|
b1 b2 |
c |
|
|
+ a
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
Теорема о центральных кривых.
Пусть центральная кривая второго порядка в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение ( ). Тогда
|
= 0 |
|
· T r > 0 |
Мнимый эллипс |
|
||
δ > 0 |
|
Эллипс |
|
||||
6 |
· |
T r < 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
= 0 |
|
|
|
Точка |
|
|
δ < 0 |
|
6= 0 |
|
|
Гипербола |
|
|
|
Пара пересекающихся прямых |
|
|||||
|
= 0 |
|
|
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
Доказательство
Всегда существует такая прямоугольная система координат, в которой уравнение кривой имеет вид
λ1x2 + λ2y2 + · · · = 0
(смотри лемму о приведении симметрической матрицы к диагональному виду).
Заметим, что так как кривая является центральной, то δ = det A 6= 0, и, следовательно, λ1λ2 = δ 6= 0. Тогда из
доказательства теоремы о приведении уравнения кривой к каноническому виду следует, что существует прямоугольная система координат, в которой уравнение примет вид
λ1x2 + λ2y2 + c = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
1. |
δ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 одного знака. Так как |
= λ1λ2c, то |
|||||||||||||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= 0. |
||||||||||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||
b) |
6 |
· |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|||
= 0. Если |
|
T r > 0, то c |
и λ1, λ2 одного знака. |
|||||||||||||||
|
Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= −1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если · T r < 0, то2 c и |
21 |
, |
|
|
2 разного знака. Кривая |
||||||||||||
|
имеет уравнение |
x |
+ |
y |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
1. |
δ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 одного знака. Так как |
= λ1λ2c, то |
|||||||||||||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= 0. |
||||||||||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||
b) |
6 |
· |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|||
= 0. Если |
|
T r > 0, то c |
и λ1, λ2 одного знака. |
|||||||||||||||
|
Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= −1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если · T r < 0, то2 c и |
21 |
, |
|
|
2 разного знака. Кривая |
||||||||||||
|
имеет уравнение |
x |
+ |
y |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
1. |
δ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 одного знака. Так как |
= λ1λ2c, то |
|||||||||||||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= 0. |
||||||||||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||
b) |
6 |
· |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|||
= 0. Если |
|
T r > 0, то c |
и λ1, λ2 одного знака. |
|||||||||||||||
|
Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= −1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если · T r < 0, то2 c и |
21 |
, |
|
|
2 разного знака. Кривая |
||||||||||||
|
имеет уравнение |
x |
+ |
y |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
1. |
δ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 одного знака. Так как |
= λ1λ2c, то |
|||||||||||||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= 0. |
||||||||||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||
b) |
6 |
· |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|||
= 0. Если |
|
T r > 0, то c |
и λ1, λ2 одного знака. |
|||||||||||||||
|
Кривая имеет уравнение |
|
+ |
|
= −1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если · T r < 0, то2 c и |
21 |
, |
|
|
2 разного знака. Кривая |
||||||||||||
|
имеет уравнение |
x |
+ |
y |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
2. |
δ < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 разного знака. Так как |
|
= λ1λ2c, то |
|||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) |
= 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 0. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||
b) |
6= 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 1. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
2. |
δ < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 разного знака. Так как |
|
= λ1λ2c, то |
|||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) |
= 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 0. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||
b) |
6= 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 1. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20