Geom / AnGeom_2_5

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Доказательство.

Так как S является ортогональным полуинвариантом, то достаточно доказать, что в условиях, указанных в формулировке, S не изменится при параллельном переносе.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Любой параллельный перенос можно осуществить следующем образом: сначала выполним поворот на некоторый угол α, затем выполним параллельный перенос и повернем систему на угол −α.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Любой параллельный перенос можно осуществить следующем образом: сначала выполним поворот на некоторый угол α, затем выполним параллельный перенос и повернем систему на угол −α.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Любой параллельный перенос можно осуществить следующем образом: сначала выполним поворот на некоторый угол α, затем выполним параллельный перенос и повернем систему на угол −α.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Любой параллельный перенос можно осуществить следующем образом: сначала выполним поворот на некоторый угол α, затем выполним параллельный перенос и повернем систему на угол −α.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Сначала выполним такой поворот исходной системы координат, что матрица квадратичной части станет диагональной. Это всегда можно сделать (см. теорему о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду). При таком преобразовании параметр S не изменится, уравнение кривой примет вид

a11x2 + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

Так как δ = a11a22 = 0, то без ограничения общности можем считать, что a22 = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

a11x2 + 0y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

a11 0 b1

Тогда = 0 0 b2 =

b1 b2 c

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

a11x2 + 0y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

a11 0 b1

Тогда = 0 0 b2 = −a11(b2)2 = 0 b2 = 0.

b1 b2 c

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

a11x2 + 2b1x + c = 0.

x = x0 + x0

Выполним параллельный перенос y = y0 + y0 . a11(x0 + x0)2 + 2b1(x0 + x0) + c = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 20

Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка

a11x2 + 2b1x + c = 0.

x = x0 + x0

Выполним параллельный перенос y = y0 + y0 .

a11(x0 + x0)2 + 2b1(x0 + x0) + c = 0.

a11(x0)2 + 2(a11x0 + b1)x0 + (a11x20 + 2b1x0 + c) = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 20